第１問
次の性質をもつ数列{an}を考える。
a1＝3
an+1＞an （n＝1，2，3，…)
an2－2anan+1＋an+12＝3(an＋an+1) （n＝1，2，3，…)
(１) n＝1，2，3，…に対し、an＋an+2をan+1を用いて表せ。
(２) bn＝an+1－an （n＝1，2，3，…）により定まる数列{bn}の一般項
を求めよ。
(３) 数列{an}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}^{\ 2}-2a_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^{\ 2}=3\left(a_{n}+a_{n+1}\right)\end{align*}}$ ……(#)
(１)
(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^{\ 2}-2a_{n+1}a_{n+2}+a_{n+2}^{\ 2}=3\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\end{align*}}$
も成り立ち、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}^{\ 2}-a_{n}^{\ 2}-2a_{n+1}\left(a_{n+2}-a_n\right)=3\left(a_{n+2}-a_{n}\right)\end{align*}}$ ．
両辺を(an+2－an) （≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}+a_{n}-2a_{n+1}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_{n+2}+a_{n}=2a_{n+1}+3\ }\end{align*}}$
(２)
(#)にn＝1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}^{\ 2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{\ 2}=3\left(a_1+a_{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_2^{\ 2}-9a_2=0\ \ \ \left(\because\ a_1=3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=9\ \ \ \left(\because\ a_2>a_1=3\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=6\end{align*}}$ ．
また、(１)で得られた関係式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=b_{n}+3\end{align*}}$
と変形できるので、数列{bn}は、公差3の等差数列である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+3\left(n-1\right)=\underline{\ 3n+3\ }\end{align*}}$
(３)
(２)の{bn}は数列{an}の階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(3k+3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3+\frac{3}{2}\left(n-1\right)n+3\left(n-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n\ }\end{align*}}$
（この式はn＝1のときも成り立つ）
上手く変形していきましょう。
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第２問
t＞0を実数とする。座標平面において、3点A(－2，0)、B(2，0)、
$\small\sf{\begin{align*} \sf P(t,\sqrt3\ t)\end{align*}}$ を頂点とする三角形ABPを考える。
(１) 三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ。
(２) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ。
(３) 辺AB、BP、PAの中点をそれぞれM、Q、Rとおく。tが(１)で求めた
範囲を動くとき、三角形ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてでき
る四面体の体積の最大値と、そのときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
∠APBが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AP^2+BP^2>AB^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+\left\{\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}>4^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8t^2-8>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t>1\ \ \ \left(\because\ t>0\right)\end{align*}}$
∠PBAが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ BP^2+AB^2>AP^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+4^2>\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8t+16>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt t<2\end{align*}}$
∠PABが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AB^2+AP^2>BP^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+4^2>\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8t+16>0\end{align*}}$
t＞0よりこれは常に成り立つ。
以上より、△ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1\lt t<2\ }\end{align*}}$
(２)
△ABPの垂心をHとする。
直線PBの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt3 t}{t-2}\left(x-2\right)\end{align*}}$
であり、これと垂直な直線AHの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{t-2}{\sqrt3\ t}\left(x+2\right)\end{align*}}$ ．
AHとPH：x＝tの交点Hの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{t-2}{\sqrt3\ t}\left(t+2\right)=\frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(t\ ,\ \frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
PHとQRの交点をSとおくと、AB//RQより、PS⊥QRである。
△ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてできる四面体において、
3点A、B、Pが重なる点をCとすると（上の右図）、
CS⊥QR、SH⊥QRより、平面CSH⊥QRとなるので、CH⊥QR．
同様に考えると、CH⊥MQ、CH⊥MRとなるので、CH⊥平面MQR．
よって、四面体CMQRにおいて、CHは△MQRを平面としたときの
高さとなる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle MQR=\frac{1}{4}\triangle PAB=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt3\ t\right)=\frac{\sqrt3}{2}\ t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=\sqrt{CS^2-SH^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\ t\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\ t-\frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{-4t^4+20t^2-16}{3t^2}}\end{align*}}$
なので、四面体CMQRの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\ t\cdot\sqrt{\frac{-4t^4+20t^2-16}{3t^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sqrt{-t^4+5t^2-4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sqrt{-\left(t^2-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{5}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\sqrt{10}}{2}\ }\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
のときにVは最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{9}{4}}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
理系との共通問題です。(３)は厳しいでしょうねぇ・・・・
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第３問
サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、
xの2次方程式
2p1x2＋p2x＋2p3＝0 ……(*)
を考える。
(１) 方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ。
(２) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
かつ$\small\sf{\alpha\beta=1}$ が成り立つ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
サイコロを3回投げたときの目の出方の総数は、63通り。
(１)
(*)の判別式Dを考えると
p22－16p1p3≧0 ⇔ p22≧16p1p3≧16
より、p2≧4である必要がある。
・p2＝4のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝5のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝6のとき
p1p3＝1，2より、(p1，p3)＝(1，1)、(1，2)、(2，1)
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{1+1+3}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{216}\ }\end{align*}}$
(２)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\alpha\beta=\frac{2p_3}{2p_1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ p_1=p_3\end{align*}}$
であり、これを満たすような3回の目の出方は、62通り。
このうちで、実数解をもつものは、(１)より
(p1，p2，p3)＝(1，4，1)、(1，5，1)、(1，6，1)
の3通り。よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6^2-3}{6^3}=\underline{\ \frac{11}{72}\ }\end{align*}}$
数え上げるだけです。
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第４問
a＞0を実数とする。関数f(t)＝－4t3＋(a＋3)tの0≦t≦1に
おける最大値をM(a)とする。
(１) M(a)を求めよ。
(２) 実数x＞0に対し、g(x)＝M(x)2とおく。xy平面において、
関数y＝g(x)のグラフに点(s，g(s))で接する直線が原点を
通るとき、実数s＞0とその接線の傾きを求めよ。
(３) aが正の実数全体を動くとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}}\end{align*}}$
の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=-4t^3+\left(a+3\right)t\ \ \ \left(0\leqq t\leqq 1\right)\end{align*}}$
(１)
f(t)の導関数に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-12t^2+a+3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt{\frac{a+3}{12}}\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0<\sqrt{\frac{a+3}{12}}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\leqq 9\end{align*}}$ のとき
f(t)の増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\left(\sqrt{\frac{a+3}{12}}\right)=-3\left(\sqrt{\frac{a+3}{12}}\right)^3+\left(a+3\right)\sqrt{\frac{a+3}{12}}=\left(\sqrt{\frac{a+3}{3}}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ 1<\sqrt{\frac{a+3}{12}}\ \ \Leftrightarrow\ \ 9< a\end{align*}}$ のとき
区間0≦t≦1で常にf’(t)＞0なので、f(t)は単調に増加する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\left(1\right)=a-1\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ M(a)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \left(\sqrt{\frac{a+3}{3}}\right)^3 & (\sf 0\lt a\leqq 9) \\ \sf a-1 & (\sf 9\lt a) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \left(\frac{x+3}{3}\right)^3 & (\sf 0\lt x\leqq 9) \\ \sf \left(x-1\right)^2 & (\sf 9\lt x0) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
(ⅰ) 0＜s≦9のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(s)=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\end{align*}}$
より、点(s，g(s))における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(\frac{s+3}{3}\right)^3=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(x-s\right)\end{align*}}$
であり、これが原点を通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(\frac{s+3}{3}\right)^3=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(0-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(3-2s\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{3}{2}\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt s\leqq s\right)\end{align*}}$
このとき、接線の傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g '\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{\frac{3}{2}+3}{3}\right)^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$
(ⅱ) 9＜sのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(s)=2\left(s-1\right)\end{align*}}$
より、点(s，g(s))における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(s-1\right)^2=2\left(s-1\right)\left(x-s\right)\end{align*}}$
であり、これが原点を通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(s-1\right)^2=2\left(s-1\right)\left(0-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s-1\right)^2\left(s+1\right)=0\end{align*}}$
となるが、9＜sより、これを満たすことはない。
(ⅰ)、(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$ 接線の傾き＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9}{4}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2=\left\{\frac{M(a)}{\sqrt{a}}\right\}^2=\frac{g\ (a)}{a}=\frac{g\ (a)-0}{a-0}\end{align*}}$
と変形できるので、k2は、曲線y＝g(x)上の
点(a，g(a))と原点を結ぶ線分の傾きを表す。
曲線y＝g(x)の概形は右図のようになるので、
k2が最小になるのは、原点を通る直線が
y＝g(x)に接するときである。
よって、kの最小値は、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2_{min}=\frac{9}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k_{min}=\frac{3}{2}\ }\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
となる。
(３)で上手く(２)を活用できるでしょうか？
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