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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015東北大 文系数学1



第1問

  次の性質をもつ数列{an}を考える。
      a1=3
      an+1>an   (n=1,2,3,…)
      an2-2anan+1+an+12=3(an+an+1)  (n=1,2,3,…)

 (1) n=1,2,3,…に対し、an+an+2をan+1を用いて表せ。

 (2) bn=an+1-an (n=1,2,3,…)により定まる数列{bn}の一般項
    を求めよ。

 (3) 数列{an}の一般項を求めよ。



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  1. 2018/10/27(土) 01:17:00|
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2015東北大 文系数学2



第2問

  t>0を実数とする。座標平面において、3点A(-2,0)、B(2,0)、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf P(t,\sqrt3\ t)\end{align*}}$ を頂点とする三角形ABPを考える。

 (1) 三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ。

 (2) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ。

 (3) 辺AB、BP、PAの中点をそれぞれM、Q、Rとおく。tが(1)で求めた
    範囲を動くとき、三角形ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてでき
    る四面体の体積の最大値と、そのときのtの値を求めよ。



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2015東北大 文系数学3



第3問

  サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、
  xの2次方程式
        2p1x2+p2x+2p3=0  ……(*)
  を考える。

 (1) 方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ。

 (2) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
    かつ$\small\sf{\alpha\beta=1}$ が成り立つ確率を求めよ。




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  1. 2018/10/27(土) 01:19:00|
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2015東北大 文系数学4



第4問

  a>0を実数とする。関数f(t)=-4t3+(a+3)tの0≦t≦1に
  おける最大値をM(a)とする。

 (1) M(a)を求めよ。

 (2) 実数x>0に対し、g(x)=M(x)2とおく。xy平面において、
    関数y=g(x)のグラフに点(s,g(s))で接する直線が原点を
    通るとき、実数s>0とその接線の傾きを求めよ。

 (3) aが正の実数全体を動くとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}}\end{align*}}$
    の最小値を求めよ。



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