第１問
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。
x2＋4y2＝1、 x＞0、 y＞0
PをC上の点とする。PでCに接する直線をLとし、Pを通りLと垂直な
直線をmとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSと
する。PがC上の点全体を動くとき、Sの最大値とそのときのPの座標
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
C上の点Pの座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left( \cos\theta\ ,\ \frac{1}{2}\sin\theta\right)\ \ \ \left(0<\theta< \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とおく。Pにおける接線Lは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \left(\cos\theta \right)x+\left(4\cdot \frac{1}{2}\sin\theta\right)y=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}\ x+\frac{1}{2\sin\theta}\end{align*}}$
なので、Pにおける法線mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{2}\sin\theta=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}\left(x-\cos\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}\ x-\frac{3}{2}\sin\theta\end{align*}}$
となる。
mとx軸、y軸との交点をそれぞれQ、Rとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(0\ ,\ -\frac{3}{2}\sin\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}\ x-\frac{3}{2}\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{3}{4}\cos\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ R\left( \frac{3}{4}\cos\theta\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\sin\theta\cdot \frac{3}{4}\cos\theta\ \ \ \left(\because\ \sin\theta >0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{16}\sin\theta\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{32}\sin 2\theta\end{align*}}$ ←倍角公式
ここで、$\scriptsize\sf{0\lt 2\theta\lt\pi}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
のとき、Sは最大となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{9}{32}\ }\end{align*}}$ ．
このときのPの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}\right)=\underline{\ \left( \frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1}{2\sqrt2}\right)\ }\end{align*}}$
これは難しくありません。
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第２問
xy平面において、3次関数y＝x3－xのグラフをCとし、不等式
x3－x＞y＞－x
の表す領域をDとする。またPをDの点とする。
(１) Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ。
(２) Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となる
ようなPの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Cの導関数は、y＝3x2－1なので、C上の点(t，t3－t)に
おける接線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-\left(t^3-t \right)=\left(3t^2-1 \right)\left(x-t \right)\end{align*}}$ ．
領域D内にある点Pの座標をP(X，Y)とおくと、
このX、Yは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^3-X>Y>-X\end{align*}}$ ……(ⅰ)
満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^3-X>-X\ \ \Leftrightarrow\ \ X^3>0\ \ \Leftrightarrow\ \ X>0\end{align*}}$ ．
接線LがPを通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y-\left(t^3-t \right)=\left(3t^2-1 \right)\left(X-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^3-3Xt^2+X+Y=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、(ⅱ)の左辺をtの関数とみなしてf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=2t^3-3Xt^2+X+Y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=6t^2-6Xt=6t\left( t-X\right)\end{align*}}$
よって、X＞0よりf(t)の増減は次のようになる。
これと(ⅰ)より
f(t)の極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=X+Y>0\end{align*}}$
f(t)の極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (X)=-X^3+X+Y<0\end{align*}}$
となるので、曲線y＝f(t)は直線y＝0と異なる3点で交わる。
よって、(ⅱ)を満たすような実数tが3つ存在するので、
Dを通るCの接線Lは3本存在する。
（3次曲線Cに1本の直線が2点で接することはない。）
(２)
(ⅰ)の3解をp、q、rとおくと、ＰからＣに引いた3本の接線の
傾きは、
3p2－1、 3q2－1、 3r2－1
となる。
また、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q+r=\frac{3}{2}X\ \ ,\ \ pq+qr+rp=0\ \ ,\ \ pqr=-\frac{X+Y}{2}\end{align*}}$ ……(ⅳ)
題意より、3本の接線の傾きの和が0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3p^2-1 \right)+\left(3q^2-1 \right)+\left(3r^2-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+q^2+r^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q+r \right)^2-2\left(pq+qr+rp \right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( \frac{3}{2}X\right)^2-0=1\end{align*}}$ ←(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X=\frac{2}{3}\ \ \left(>0 \right)\end{align*}}$ ……(ⅴ)
また、3本の接線の傾きの和が0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3p^2-1 \right)\left(3q^2-1 \right)\left(3r^2-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27p^2q^2r^2-9\left(p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2 \right)+3\left(p^2+q^2+r^2 \right)-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27\left(pqr \right)^2-9\left\{ \left(pq+qr+rp \right)^2-2pqr\left(p+q+r \right)\right\}+3\cdot 1-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27\left(-\frac{X+Y}{2}\right)^2+18\cdot\left(-\frac{X+Y}{2}\right)\cdot\frac{3}{2}X+2=0\end{align*}}$ ←(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27\left(\frac{1}{3}+\frac{Y}{2}\right)^2-18\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{Y}{2}\right)+2=0\end{align*}}$ ←(ⅴ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{27}{4}Y^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\pm\frac{2}{3\sqrt3}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅴ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{10}{27}>Y>-\frac{2}{3}\end{align*}}$
なので、題意を満たす点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( \frac{2}{3}\ ,\ -\frac{2}{3\sqrt3}\right)\ }\end{align*}}$
(２)の最後は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3p^2-1 \right)\left(3q^2-1 \right)\left(3r^2-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ p^2=\frac{1}{3}\ \ or\ \ q^2=\frac{1}{3}\ \ or\ \ r^2=\frac{1}{3}}\end{align*}}$
より(ⅱ)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}t=\frac{1}{\sqrt3}}\end{align*}}$ または、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}t=-\frac{1}{\sqrt3}}\end{align*}}$
を解にもつので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}2\left( \frac{1}{\sqrt3}\right)^3-3X\cdot \left( \frac{1}{\sqrt3}\right)^2+X+Y=0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=-\frac{2}{3\sqrt3}}\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}2\left( -\frac{1}{\sqrt3}\right)^3-3X\cdot \left(- \frac{1}{\sqrt3}\right)^2+X+Y=0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\frac{2}{3\sqrt3}}\end{align*}}$
とした方が楽ですね。
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第３問
サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、
xの2次方程式
2p1x2＋p2x＋2p3＝0 ……(*)
を考える。
(１) 方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ。
(２) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
かつ$\small\sf{\alpha\beta=1}$ が成り立つ確率を求めよ。
(３) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
かつ$\small\sf{\alpha\beta\lt 1}$ が成り立つ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
サイコロを3回投げたときの目の出方の総数は、63通り。
(１)
(*)の判別式Dを考えると
p22－16p1p3≧0 ⇔ p22≧16p1p3≧16
より、p2≧4である必要がある。
・p2＝4のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝5のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝6のとき
p1p3＝1，2より、(p1，p3)＝(1，1)、(1，2)、(2，1)
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+1+3}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{216}\ }\end{align*}}$
(２)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\alpha\beta=\frac{2p_3}{2p_1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ p_1=p_3\end{align*}}$
であり、これを満たすような3回の目の出方は、62通り。
このうちで、実数解をもつものは、(１)より
(p1，p2，p3)＝(1，4，1)、(1，5，1)、(1，6，1)
の3通り。よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6^2-3}{6^3}=\underline{\ \frac{11}{72}\ }\end{align*}}$
(３)
方程式(*)が実数解をもたないとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ の値には
次の3つの場合が考えられる。
(ア) $\scriptsize\sf{\alpha\beta=1}$
(イ) $\scriptsize\sf{\alpha\beta\gt 1}$
(ウ) $\scriptsize\sf{\alpha\beta\lt 1}$
(イ)となるのはp1＜p3のとき、(ウ)となるのはp1＞p3のとき
なので、これらの確率は等しい。この確率をqとおくと、
(１)、(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p+\frac{11}{72}=1-\frac{5}{216}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{\ \frac{89}{216}\ }\end{align*}}$
これは易しいので間違えないように。
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第４問
a＞0を実数とする。n＝1，2，3，…に対し、座標平面上の3点
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2n\pi\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left( \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\ ,\ \frac{1}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\right)\ \ ,\ \ \left( \left(2n+1 \right)\pi\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
を頂点とする三角形の面積をAnとし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf B_n=\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin x}{x^a}\ dx\ \ ,\ \ C_n=\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin^2 x}{x^a}\ dx\end{align*}}$
とおく。
(１) n＝1，2，3，…に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\left\{\left(2n+1 \right)\pi \right\}^a}\leqq B_n\leqq\frac{2}{\left(2n\pi \right)^a}\end{align*}}$
(２) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{B_n}\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{C_n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
（0＜） 2n$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦(2n＋1)$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲では、sinｘ≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left( 2n+1\right)\pi}\leqq \frac{1}{x}\leqq\frac{1}{2n\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\leqq \frac{1}{x^a}\leqq\frac{1}{\left(2n\pi\right)^a}\ \ \ \left(\because\ a>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin x}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\leqq \frac{\sin x}{x^a}\leqq\frac{\sin x}{\left(2n\pi\right)^a}\end{align*}}$ ．
この不等式は、2n$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦(2n＋1)$\scriptsize\sf{\pi}$ で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin x}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}dx\leqq \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin x}{x^a}dx\leqq\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin x}{\left(2n\pi\right)^a}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin x\ dx\leqq B_n \leqq\frac{1}{\left(2n\pi\right)^a}\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin x\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin x\ dx=\bigg[-\cos x\bigg]_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}=2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\leqq B_n \leqq\frac{2}{\left(2n\pi\right)^a}\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_n=\frac{1}{2}\left\{\left(2n+1\right)\pi-2n\pi\right\}\cdot\frac{1}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\end{align*}}$
これと(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\left(2n\pi\right)^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\leqq\frac{A_n}{B_n}\leqq\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\left\{\left(2n+1\right)\pi\right\}^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(2n\pi\right)^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{1+ \frac{1}{4n}}\right)^a=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\{\left(2n+1\right)\pi\right\}^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1+ \frac{1}{2n}}{1+ \frac{1}{4n}}\right)^a=1\end{align*}}$
となるので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$
(３)
(１)と同様に、（0＜） 2n$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦(2n＋1)$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin^2 x}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\leqq \frac{\sin^2 x}{x^a}\leqq\frac{\sin^2 x}{\left(2n\pi\right)^a}\end{align*}}$ ．
が常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin^2 x}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}dx\leqq \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin^2 x}{x^a}dx\leqq\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin^2 x}{\left(2n\pi\right)^a}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\left\{\left( 2n+1\right)\pi\right\}^a}\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin^2 x\ dx\leqq C_n \leqq\frac{1}{\left(2n\pi\right)^a}\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin^2 x\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\sin^2 x\ dx=\frac{1}{2} \int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\left(1-\cos 2x\right)dx\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2\left\{\left(2n+1 \right)\pi \right\}^a}\leqq C_n\leqq\frac{\pi}{2\left(2n\pi \right)^a}\end{align*}}$
が成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(2n\pi\right)^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\leqq\frac{A_n}{C_n}\leqq\frac{\left\{\left(2n+1\right)\pi\right\}^a}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\end{align*}}$
となり、(２)と同様にはさみうちの原理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{C_n}=1\ }\end{align*}}$
(２)まで解ければ(３)はオマケです。
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第５問
t＞0を実数とする。座標平面において、3点A(－2，0)、B(2，0)、
$\small\sf{\begin{align*} \sf P(t,\sqrt3\ t)\end{align*}}$ を頂点とする三角形ABPを考える。
(１) 三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ。
(２) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ。
(３) 辺AB、BP、PAの中点をそれぞれM、Q、Rとおく。tが(１)で求めた
範囲を動くとき、三角形ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてでき
る四面体の体積の最大値と、そのときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
∠APBが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AP^2+BP^2>AB^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+\left\{\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}>4^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8t^2-8>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\gt 1\ \ \ \left(\because\ t\gt 0\right)\end{align*}}$
∠PBAが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ BP^2+AB^2\gt AP^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+4^2>\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8t+16>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\gt t<2\end{align*}}$
∠PABが鋭角 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AB^2+AP^2>BP^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(t+2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\right\}+4^2>\left(t-2\right)^2+\left(\sqrt3\ t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8t+16>0\end{align*}}$
t＞0よりこれは常に成り立つ。
以上より、△ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1\gt t<2\ }\end{align*}}$
(２)
△ABPの垂心をHとする。
直線PBの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt3 t}{t-2}\left(x-2\right)\end{align*}}$
であり、これと垂直な直線AHの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{t-2}{\sqrt3\ t}\left(x+2\right)\end{align*}}$ ．
AHとPH：x＝tの交点Hの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{t-2}{\sqrt3\ t}\left(t+2\right)=\frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(t\ ,\ \frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
PHとQRの交点をSとおくと、AB//RQより、PS⊥QRである。
△ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてできる四面体において、
3点A、B、Pが重なる点をCとすると（上の右図）、
CS⊥QR、SH⊥QRより、平面CSH⊥QRとなるので、CH⊥QR．
同様に考えると、CH⊥MQ、CH⊥MRとなるので、CH⊥平面MQR．
よって、四面体CMQRにおいて、CHは△MQRを平面としたときの
高さとなる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle MQR=\frac{1}{4}\triangle PAB=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt3\ t\right)=\frac{\sqrt3}{2}\ t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=\sqrt{CS^2-SH^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\ t\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\ t-\frac{4-t^2}{\sqrt3\ t}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{-4t^4+20t^2-16}{3t^2}}\end{align*}}$
なので、四面体CMQRの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\ t\cdot\sqrt{\frac{-4t^4+20t^2-16}{3t^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sqrt{-t^4+5t^2-4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sqrt{-\left(t^2-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{5}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\sqrt{10}}{2}\ }\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
のときにVは最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{9}{4}}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(３)は、CH⊥平面MQRに気づかないと無理です。
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第６問
k≧2とnを自然数とする。nがk個の連続する自然数の和であるとき、
すなわち、
$\small\sf{\begin{align*} \sf n=m+\left(m+1\right)+\ldots +\left(m+k-1\right)\end{align*}}$
が成り立つような自然数mが存在するとき、nをk-連続和と呼ぶこと
にする。ただし、自然数とは1以上の整数のことである。
(１) nがk-連続和であることは、次の条件(A)、(B)の両方が成り立つ
ことと同値であることを示せ。
(A) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ は整数である。
(B) 2n＞k2が成り立つ。
(２) fを自然数とする。n＝2fのとき、nがk-連続和となるような自然数
k≧2は存在しないことを示せ。
(３) fを自然数とし、pを2でない素数とする。n＝pfのとき、nがk-連続
和となるような自然数k≧2の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
k≧2と自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=m+\left(m+1\right)+\ldots +\left(m+k-1\right)=\frac{k}{2}\left\{m+\left(m+k-1\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n=2km+k^2-k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)
nがk-連続和であるとき
(#)を満たす自然数mが存在するので、条件(A)を満たす。
さらに、k≧2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2n-k^2+k}{2k}\geqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2n-k^2\geqq k>0\end{align*}}$
となるので、条件(B)も満たす。
逆に、(A)と(B)を満たすとき
(#)で表されるmは整数であり、(B)より この整数mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2n-k^2+k}{2k}>\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
を満たすので自然数である。よって、nはk-連続和である。
以上より、nがk-連続和であることと (A)、(B)がともに成り
立つことは同値である。
(２)
n＝2fのとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2^f}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(k+2m-1\right)=2^{f+1}\end{align*}}$
と変形できる。
kとk＋2m－1の偶奇は一致せず、k≧2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2^f\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2m-1=1\end{align*}}$ ．
kを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^f+2m-1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ m=1-2^{f-1}\leqq 0\ \ \ \left(\because\ f\geqq 1\right)\end{align*}}$
となるので、これを満たすような自然数mは存在しない。
よって、n＝2fのとき、nがk-連続和となるような自然数
k≧2は存在しない。
(３)
n＝pfのとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{p^f}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(k+2m-1\right)=2p^{f}\end{align*}}$
と変形できるので、kは2pfの約数である。
また、pは2でない素数なので、pは3以上の奇数である。
(Ⅰ) fが偶数のとき
f＝2g （g：自然数）とおくと、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n=2p^{2g}>k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq k<\sqrt2\ p^g\end{align*}}$
となるので、これを満たすような2pfの約数k（≧2）を
考える。
奇数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt\sqrt2\lt 3\leqq p\ \ \Leftrightarrow\ \ p^g\lt \sqrt2\ p^g\lt p^{g+1} \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=p,p^2,p^3,\ldots ,p^g\end{align*}}$
偶数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{p}\leqq\frac{2}{3}<\sqrt2<2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^{g-1}<\sqrt2\ p^g<2p^g\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2,2p,2p^2,\ldots ,2p^{g-1}\end{align*}}$
よって、題意を満たすkの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g+g=2g=f\end{align*}}$ 個
(Ⅱ) fが奇数のとき
f＝2g－1 （g：自然数）とおくと、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n=2p^{2g-1}>k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq k<\sqrt2\ p^{g-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
となるので、これを満たすような2pfの約数k（≧2）を
考える。
奇数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{-\frac{1}{2}}\leqq\frac{1}{\sqrt3}\lt \sqrt2\lt \sqrt3\leqq p^{\frac{1}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ p^{g-1}\lt\sqrt2\ p^{g-\frac{1}{2}}\lt p^{g} \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=p,p^2,p^3,\ldots ,p^{g-1}\end{align*}}$
偶数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p^{-\frac{1}{2}}\leqq\frac{2}{\sqrt3}<\sqrt2<2\sqrt3\leqq 2p^{\frac{1}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^{g-1}<\sqrt2\ p^g<2p^g\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2,2p,2p^2,\ldots ,2p^{g-1}\end{align*}}$
よって、題意を満たすkの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(g-1\right)+g=2g-1=f\end{align*}}$ 個
(Ⅰ)、(Ⅱ)より、 題意を満たす自然数kはf個ある。
これは難しいでしょうね。どうにかして(２)ぐらいまでは解きたいものです。
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