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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015東北大 理系数学1



第1問

  xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。
       x2+4y2=1、 x>0、 y>0
  PをC上の点とする。PでCに接する直線をLとし、Pを通りLと垂直な
  直線をmとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSと
  する。PがC上の点全体を動くとき、Sの最大値とそのときのPの座標
  を求めよ。



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  1. 2018/10/27(土) 01:11:00|
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2015東北大 理系数学2



第2問

  xy平面において、3次関数y=x3-xのグラフをCとし、不等式
        x3-x>y>-x
  の表す領域をDとする。またPをDの点とする。

 (1) Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ。

 (2) Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となる
    ようなPの座標を求めよ。



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2015東北大 理系数学3



第3問

  サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、
  xの2次方程式
        2p1x2+p2x+2p3=0  ……(*)
  を考える。

 (1) 方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ。

 (2) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
    かつ$\small\sf{\alpha\beta=1}$ が成り立つ確率を求めよ。

 (3) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
    かつ$\small\sf{\alpha\beta\lt 1}$ が成り立つ確率を求めよ。


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2015東北大 理系数学4



第4問

  a>0を実数とする。n=1,2,3,…に対し、座標平面上の3点
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2n\pi\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left( \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\ ,\ \frac{1}{\left\{ \left(2n+ \frac{1}{2}\right)\pi\right\}^a}\right)\ \ ,\ \ \left( \left(2n+1 \right)\pi\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
  を頂点とする三角形の面積をAnとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf B_n=\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin x}{x^a}\ dx\ \ ,\ \ C_n=\int_{2n\pi}^{\left(2n+1 \right)\pi}\frac{\sin^2 x}{x^a}\ dx\end{align*}}$
  とおく。

 (1) n=1,2,3,…に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\left\{\left(2n+1 \right)\pi \right\}^a}\leqq B_n\leqq\frac{2}{\left(2n\pi \right)^a}\end{align*}}$

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{B_n}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{C_n}\end{align*}}$ を求めよ。



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2015東北大 理系数学5



第5問

  t>0を実数とする。座標平面において、3点A(-2,0)、B(2,0)、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf P(t,\sqrt3\ t)\end{align*}}$ を頂点とする三角形ABPを考える。

 (1) 三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ。

 (2) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ。

 (3) 辺AB、BP、PAの中点をそれぞれM、Q、Rとおく。tが(1)で求めた
    範囲を動くとき、三角形ABPを線分MQ、QR、RMで折り曲げてでき
    る四面体の体積の最大値と、そのときのtの値を求めよ。



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2015東北大 理系数学6



第6問

  k≧2とnを自然数とする。nがk個の連続する自然数の和であるとき、
  すなわち、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf n=m+\left(m+1\right)+\ldots +\left(m+k-1\right)\end{align*}}$
  が成り立つような自然数mが存在するとき、nをk-連続和と呼ぶこと
  にする。ただし、自然数とは1以上の整数のことである。

 (1) nがk-連続和であることは、次の条件(A)、(B)の両方が成り立つ
    ことと同値であることを示せ。
        (A) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ は整数である。
        (B) 2n>k2が成り立つ。

 (2) fを自然数とする。n=2fのとき、nがk-連続和となるような自然数
    k≧2は存在しないことを示せ。

 (3) fを自然数とし、pを2でない素数とする。n=pfのとき、nがk-連続
    和となるような自然数k≧2の個数を求めよ。




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