第１問
2つの放物線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=x^2\ \ ,\ \ C_2:\ y=-\left(x-1\right)^2\end{align*}}$
がある。aは0でない実数とし、C1上の2点P(a，a2)、Q(－2a，4a2)
を通る直線と平行なC1の接線をLとする。
(１) Lの方程式をaで表せ。
(２) C2とLが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(３) C2とLが異なる2つの共有点R、Sをもつとする。線分PQの長さと
線分RSの長さが等しくなるとき、aの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a≠0より直線PQの傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a^2-a^2}{-2a-a}=-a\end{align*}}$ ．
C1の導関数は、y’＝2xなので、PQ//Lのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x=-a\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{a}{2}\end{align*}}$
よって、接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-\left(-\frac{a}{2}\right)^2=-a\left\{x-\left(-\frac{a}{2}\right)\right\} \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-ax-\frac{a^2}{4}\ }\end{align*}}$
(２)
C2とLの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(x-1\right)^2=-ax-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\left(a+2\right)x+1-\frac{a^2}{4}=0\end{align*}}$ ……(#)
(#)が異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式Dを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(a+2\right)^2-4\left(1-\frac{a^2}{4}\right)=2a^2+4a>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a<-2\ ,\ 0\lt a\ }\end{align*}}$
(３)
C2とLの2つの共有点Ｒ、Ｓのx座標をそれぞれr、sとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(r\ ,\ -ar-\frac{a^2}{4}\right)\ \ ,\ \ S\left(s\ ,\ -as-\frac{a^2}{4}\right)\end{align*}}$ ．
またr、sは(#)の2解なので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r+s=a+2\ \ ,\ \ rs=1-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ ……(*)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=RS\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{\left\{a-\left(-2a\right)\right\}^2+\left(a^2-4a^2\right)^2}=\sqrt{\left(r-s\right)^2+\left\{\left(-ar-\frac{a^2}{4}\right)-\left(-as-\frac{a^2}{4}\right)\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9a^2+9a^4=\left(r-s\right)^2+a^2\left(r-s\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2+1\right)\left\{\left(r+s\right)^2-4rs\right\}=9a^2\left(a^2+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+2\right)^2-4\left(1-\frac{a^2}{4}\right)=9a^2\end{align*}}$ ←a2＋1≠0と(*)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 7a^2-4a=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{4}{7}\ \ \left(\ne 0\right)\ }\end{align*}}$
上から順に計算していきましょう。
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第２問
pは0でない実数とし
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{1}{p}\ a_n-\left(-1\right)^{n+1}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定まる数列{an}がある。
(１) bn＝pnanとする。bn+1をbn、n、pで表せ。
(２) 一般項anを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与えられた漸化式の両辺にpn+1（≠0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{n+1}a_{n+1}=p^na_n-\left(-p\right)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}=b_n-\left(-p\right)^{n+1}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、数列{bn}の階差が－(－p)n+1になるので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1-\sum_{k=1}^{n-1}\left(-p\right)^{k+1}\end{align*}}$ ……(#)
(ⅰ) 公比≠1 すなわち p≠－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=pa_1-\frac{p^2\left\{1-\left(-p\right)^{n-1}\right\}}{1-\left(-p\right)}=\frac{p+\left(-p \right)^{n+1}}{1+p}\end{align*}}$
(ⅱ) p＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=-a_1-\left(n-1 \right)=-n\end{align*}}$
これらの式はn＝1のときも成り立つ。
よって、
(ⅰ) p≠－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{b_n}{p^n}=\underline{\ \frac{1-\left(-p \right)^n}{\left(1+p \right)p^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(ⅱ) p＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{b_n}{\left(-1 \right)^n}=\underline{\ \frac{n}{\left(-1\right)^{n-1}}\ }\end{align*}}$
公比＝1となる場合を別で考える必要があります。
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第３問
平面において、一直線上にない3点O、A、Bがある。Oを通り
直線OAと垂直な直線上にOと異なる点Pをとる。Oを通り直線
OBと垂直な直線上にOと異なる点Qをとる。ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ は
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ に垂直であるとする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ を示せ。
(２) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\alpha}$ とする。0＜$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。
このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ のなす角が$\small\sf{\pi}$ －$\small\sf{\alpha}$ であることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|\overrightarrow{\sf OP} \right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|}=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OQ} \right|}{\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|}\end{align*}}$ を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
OP⊥OA かつ OQ⊥OB より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
ベクトル$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ は垂直なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ} \right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA} \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\ }\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
(２)
3点O、A、Bに対する点P、Qの位置関係は、次の2つの場合が
考えられる。
(ア)の場合
∠POQ＝∠ＰＯＡ＋∠ＱＯＢ－∠ＡＯＢ
＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\alpha\end{align*}}$
＝$\scriptsize\sf{\pi-\alpha}$
(イ)の場合
∠POQ＝2$\scriptsize\sf{\pi}$ －(∠ＰＯＡ＋∠ＱＯＢ＋∠ＡＯＢ)
＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} 2\pi-\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\end{align*}}$
＝$\scriptsize\sf{\pi-\alpha}$
以上より、題意は示された。
(３)
(ア)の場合
∠POB＝∠QOA＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{\pi}{2}-\alpha\end{align*}}$
(イ)の場合
∠POB＝∠QOA＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{\pi}{2}+\alpha\end{align*}}$
なので、いずれの場合も、
cos∠POB＝cos∠QOA
が成り立つ。よって、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|\ \cos\angle POB=\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|\ \cos\angle QOA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left|\overrightarrow{\sf OP} \right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|}=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OQ} \right|}{\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)の場合分けに気をつけましょう。
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第４問
ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる試行を
考える。
(１) 番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ。
(２) 番号7のカードが2枚ずつ隣り合い、4枚連続しては並ばない確率
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
52枚のカードの並べ方の総数は52P52通りある。
(１)
7のカード4枚を1まとめにし、これと残り48枚のカードの並べ方は
49P48通りある。
また、4枚の7のカードの並べ方は4P4通りある。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{49}P_{49}\cdot _4P_4}{_{52}P_{52}}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{52\cdot 51\cdot 50}=\underline{\ \frac{1}{5525}\ }\end{align*}}$
(２)
7のカードを2枚ずつ2つの組に分ける分け方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_2}{2}\end{align*}}$ 通り。
これら2組および残り48枚のカードの並べ方は50P50通りある。
2組に分けた2枚の7の並び方は、それぞれ2P2通り。
7のカードが4枚連続してはいけないので、これらと(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{_4C_2}{2}\cdot _{50}P_{50}\cdot _2P_2\cdot _2P_2}{_{52}P_{52}}-\frac{1}{5525}=\frac{6\cdot 2\cdot 2}{52\cdot 51}-\frac{1}{5525}=\underline{\ \frac{24}{5525}\ }\end{align*}}$
(２) 2つの組に分ける分け方が、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_2}{2}\end{align*}}$ 通りになることに注意が必要です。
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