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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015北海道大 理系数学1



第1問

  aは実数とし、2つの曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\left(x-1\right)e^x\ \ ,\ \ C_2:\ y=\frac{1}{2e}\ x^2+a\end{align*}}$
  がある。ただし、eは自然対数の底である。C1上の点(t,(t-1)et)
  におけるC1の接線がC2に接するという。

 (1) aをtで表せ。

 (2) tが実数全体を動くとき、aの極小値、およびそのときのtの値を求
    めよ。



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2015北海道大 理系数学2



第2問

  p、qは正の実数とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ a_{n+1}=pa_n+\left(-q\right)^{n+1}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  によって定める数列{an}がある。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{p^n}\end{align*}}$ とする。数列{bn}の一般項をp、q、nで表せ。

 (2) q=1とする。すべての自然数nについてan+1≧anとなるような
    pの値の範囲を求めよ。



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2015北海道大 理系数学3



第3問

  空間の3点O(0,0,0)、A(1,1,1)、B(-1,1,1)の定める平面を
  $\small\sf{\alpha}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおく。$\small\sf{\alpha}$ 上の点Cがあり、そのx座標が正で
  あるとする。ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ に垂直で、大きさが1であるとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。

 (1) Cの座標を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ をみたす実数s、tを求めよ。

 (3) $\small\sf{\alpha}$ 上にない点P(x,y,z)から$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、$\small\sf{\alpha}$ との交点をHと
    する。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=k\overrightarrow{\sf a}+L \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ をみたす実数k、Lをx、y、zで表せ。



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2015北海道大 理系数学4



第4問

  初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。その袋に対して以下の
  試行を繰り返す。
   (ⅰ)まず同時に2個の玉を取り出す。
   (ⅱ)その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれ
      ば赤玉2個を袋に入れる。
   (ⅲ)最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。
  n回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数をXnとする。

 (1) X1=3となる確率を求めよ。

 (2) X2=3となる確率を求めよ。

 (3) X2=3であったとき、X1=3である条件付き確率を求めよ。

 

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2015北海道大 理系数学5



第5問

  nは自然数、aはa>$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ をみたす実数とし、実数xの関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\left(x-\theta\right)\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
  を考える。ただし、n=1のときは$\small\sf{\sf \sin^{n-1}\theta=1}$ とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}\theta\ d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\theta\ d\theta\end{align*}}$ を示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\end{align*}}$ をみたすnとaの値を求めよ。

 (3) (2)で求めたnとaに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。



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