第１問
aは実数とし、2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\left(x-1\right)e^x\ \ ,\ \ C_2:\ y=\frac{1}{2e}\ x^2+a\end{align*}}$
がある。ただし、eは自然対数の底である。C1上の点(t，(t－1)et)
におけるC1の接線がC2に接するという。
(１) aをtで表せ。
(２) tが実数全体を動くとき、aの極小値、およびそのときのtの値を求
めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=e^x+\left(x-1\right)e^x=xe^x\end{align*}}$
なので、点(t，(t－1)et)におけるC1の接線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-\left(t-1\right)e^t=te^t\left(x-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=te^t\ x-\left(t^2-t+1\right)e^t\end{align*}}$
となる。LとC2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2e}\ x^2+a=te^t\ x-\left(t^2-t+1\right)e^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2e}\ x^2-te^t\ x+\left(t^2-t+1\right)e^t+a=0\end{align*}}$
となり、LとC2が接するので、この方程式の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=t^2e^{2t}-\frac{2}{e}\left\{\left(t^2-t+1\right)e^t+a\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\ \frac{1}{2}t^2e^{2t+1}-\left(t^2-t+1\right)e^t\ }\end{align*}}$
(２)
(１)で求めたaをtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\ '=\frac{1}{2}\cdot 2te^{2t+1}+\frac{1}{2}t^2\cdot 2e^{2t+1}-\left(2t-1\right)e^t-\left(t^2-t+1\right)e^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(t^2+t\right)e^{2t+1}-\left(t^2+t\right)e^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\left(t+1\right)\left(e^{t+1}-1\right)e^t\end{align*}}$
となるので、aの増減は次のようになる。
よってaは、t＝0のとき極小値－1をとる。
(２)で、t＝－1のときは極値となりません。
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第２問
p、qは正の実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ a_{n+1}=pa_n+\left(-q\right)^{n+1}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定める数列{an}がある。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{p^n}\end{align*}}$ とする。数列{bn}の一般項をp、q、nで表せ。
(２) q＝1とする。すべての自然数nについてan+1≧anとなるような
pの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与えられた漸化式の両辺をpn+1（≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=b_n+\left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\end{align*}}$
となり、数列{bn}の階差数列は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\end{align*}}$ である。
よって、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{q}{p}\right)^{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_1}{p}+\left(-\frac{q}{p}\right)^{2}\cdot\frac{1-\left(-\frac{q}{p}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{q}{p}\right)}\ \ \ \ \left(\because\ -\frac{q}{p}\ne 1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{q^2\left\{p^{n-1}-\left(-q\right)^{n-1}\right\}}{p^n\left(p+q\right)}\ }\end{align*}}$
これは、n＝1のときも成り立つ。
(２)
(１)の結論とq＝1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^nb_n=\frac{p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}}{p+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}\geqq a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{p^{n}-\left(-1\right)^{n}}{p+1}\geqq\frac{p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}}{p+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^{n}-\left(-1\right)^{n}\geqq p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}\ \ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(-1\right)^{n}\leqq p^{n}-p^{n-1}\end{align*}}$ ……(#)
(#)の右辺をqnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}-q_n=\left(p^{n+1}-p^n\right)-\left(p^{n}-p^{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^{n+1}-2p^n+p^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^{n-1}\left(p-1\right)^2\geqq 0\ \ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1\leqq q_2\leqq q_3\leqq q_4\leqq \ldots\end{align*}}$
が成り立つ。
また、(#)の左辺は、nが奇数のときは－2、偶数のときは2に
なるので、任意の自然数nに対して(#)が成り立つためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\leqq q_1=p-1\ \ \Leftrightarrow\ \ -3\leqq p\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq q_2=p^2-p\ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-p-2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\leqq -1\ ,\ 2\leqq p\end{align*}}$
であればよい。
よって、題意を満たすような正数pの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\leqq p\ }\end{align*}}$
である。
(２)は答案が書きにくいでしょうね。．
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第３問
空間の3点O(0，0，0)、A(1，1，1)、B(－1，1，1)の定める平面を
$\small\sf{\alpha}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおく。$\small\sf{\alpha}$ 上の点Cがあり、そのx座標が正で
あるとする。ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ に垂直で、大きさが1であるとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。
(１) Cの座標を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ をみたす実数s、tを求めよ。
(３) $\small\sf{\alpha}$ 上にない点P(x，y，z)から$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、$\small\sf{\alpha}$ との交点をHと
する。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=k\overrightarrow{\sf a}+L \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ をみたす実数k、Lをx、y、zで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=u\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}=\left(u-v,u+v,u+v\right)\end{align*}}$
とおく。題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\left(u-v\right)+\left(u+v\right)+\left(u+v\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ v=-3u\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\left(4u\ ,\ -2u\ ,\ -2u\right)\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ の大きさは1で、x成分は正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2=\left(4u\right)^2+\left(-2u\right)^2+\left(-2u\right)^2=24u^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ u=\frac{\sqrt6}{12}\ (>0)\ \ ,\ \ v=-\frac{\sqrt6}{4}\end{align*}}$
よって、Cの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ C\left(\frac{\sqrt6}{3},-\frac{\sqrt6}{6},-\frac{\sqrt6}{6}\right)\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\frac{\sqrt6}{12}\overrightarrow{\sf a}-\frac{\sqrt6}{4}\overrightarrow{\sf b}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf b}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\frac{2\sqrt6}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と係数比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ t=\frac{2\sqrt6}{3}\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OP}=k\overrightarrow{\sf a}+L\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
PH⊥平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ より、PH⊥OAかつPH⊥OCなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\left(k\overrightarrow{\sf a}+L\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=k\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+L\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\ \ \ldots\ldots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\left(k\overrightarrow{\sf a}+L\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\cdot\overrightarrow{\sf c}=k\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+L\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2-\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ \ \ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\left(1,1,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\frac{\sqrt6}{6}\left(2,-1,-1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}=\left(x,y,z\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf c}\right|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \Leftrightarrow\ \ 3k-\left(x+y+z\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=\frac{x+y+z}{3}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ L-\frac{\sqrt6}{6}\left(2x-y-z\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ L=\frac{\sqrt6}{6}\left(2x-y-z\right)\ }\end{align*}}$
上から順に計算していきましょう！
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第４問
初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。その袋に対して以下の
試行を繰り返す。
(ⅰ)まず同時に2個の玉を取り出す。
(ⅱ)その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれ
ば赤玉2個を袋に入れる。
(ⅲ)最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。
n回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数をXnとする。
(１) X1＝3となる確率を求めよ。
(２) X2＝3となる確率を求めよ。
(３) X2＝3であったとき、X1＝3である条件付き確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2回の試行によって玉の色・個数は次のように変化する。
X1＝3となる事象をA、X2＝3となる事象をBとする。
(１)
事象Aが起こるためには、1回目の試行で色違いの2個を
取り出せばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(A\right)=\frac{_2C_1\cdot _2C_1}{_4C_2}=\underline{\ \frac{2}{3}\ }\end{align*}}$
(２)
事象Bが起こるのは、次の2通りの場合が考えられる。
(ア)1回目に同色の2個、2回目に色違いの2個を取り出す場合
(イ)1回目に色違いの2個、2回目に同色の2個を取り出す場合
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(B\right)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{_2C_1\cdot _3C_1}{_5C_2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{_3C_2+_2C_2}{_5C_2}=\frac{3}{15}+\frac{4}{15}=\underline{\ \frac{7}{15}\ }\end{align*}}$
(２)
事象A∩Bが起こるのは、(２)の(イ)の場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(A\cap B\right)=\frac{4}{15}\end{align*}}$ ・
よって、求める条件付き確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{7}{15}}=\underline{\ \frac{4}{7}\ }\end{align*}}$
きちんと状況を整理さえすれば、難しくありません。
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第５問
nは自然数、aはa＞$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ をみたす実数とし、実数xの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\left(x-\theta\right)\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
を考える。ただし、n=1のときは$\small\sf{\sf \sin^{n-1}\theta=1}$ とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}\theta\ d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\theta\ d\theta\end{align*}}$ を示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\end{align*}}$ をみたすnとaの値を求めよ。
(３) (２)で求めたnとaに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta\ d\theta\end{align*}}$ とおく。
(１)
部分積分法を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\sin^{n}\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\cos\theta\sin^{n}\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\cdot n\sin^{n-1}\theta\cdot\cos\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\sin^{n-1}\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin^2\theta\right)\sin^{n-1}\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\rm I_{\sf n-1}\sf-n\rm I_{\sf n+1}\sf\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(n+1\right)\rm I_{\sf n+1}\sf =n\rm I_{\sf n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n+1}\sf=\frac{n}{n+1}\ \rm I_{\sf n-1}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\int_0^x\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta-\int_0^x\theta\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
xで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\int_0^x\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta+x\left(a\sin^{n+1}x-\sin^{n-1}x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x\left(a\sin^{n+1}x-\sin^{n-1}x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^x\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\rm I_{\sf n+1}\sf -\rm I_{\sf n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{an}{n+1}\ \rm I_{\sf n-1}\sf -\rm I_{\sf n-1}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{an}{n+1}-1\right)\ \rm I_{\sf n-1}\sf=0\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲では、$\scriptsize\sf{\sin\theta\gt 0}$ なので、
In-1＞0である。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{an}{n+1}-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{n+1}{n}\end{align*}}$
を得る。題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+1}{n}\gt\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ n<2\end{align*}}$
となり、nは自然数なので、n＝1、 a＝2
(３)
(２)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\left(2\sin^2\theta-1\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\cos 2\theta\ d\theta\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\sin 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta\ d\theta\end{align*}}$ ←部分積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
例年と同じような感じのセットです。
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