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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015東京大 文系数学1



第1問

  以下の命題A、Bのそれぞれに対し、その真偽を述べよ。また、
  真ならば証明を与え、偽ならば反例を与えよ。

 命題A nが正の整数ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{26}+100\geqq n^2\end{align*}}$ が成り立つ。

 命題B 整数n、m、Lが5n+5m+3L=1をみたすならば、
     10nm+3mL+3nL<0が成り立つ。



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  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2015
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2015東京大 文系数学2



第2問

  座標平面上の2点A(-1,1)、B(1,-1)を考える。また、Pを
  座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。
  次の条件(ⅰ)または(ⅱ)を満たす点Pの範囲を図示し、その面積
  を求めよ。

  (ⅰ) 頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで、
     点A、P、Bをすべて通るものがある。
  (ⅱ) 点A、P、Bは同一直線上にある。



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2015東京大 文系数学3



第3問

  Lを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに、
  以下の3条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)で定まる円C1、C2を考える。
    (ⅰ) 円C1、C2は2つの不等式x≧0、y≧0で定まる領域
       に含まれる。
    (ⅱ) 円C1、C2は直線Lと同一点で接する。
    (ⅲ) 円C1はx軸と点(1,0)で接し、円C2はy軸と接する。
  円C1の半径をr1、円C2の半径をr2とする。 8r1+ 9r2
  最小となるような直線Lの方程式と、その最小値を求めよ。

           図12
解答はこちら↓

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2015東京大 文系数学4



第4問

  投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のコインを1枚用意し、
  次のように左から順に文字を書く。コインを投げ、表が出たときは
  文字列AAを書き、裏が出たときは文字Bを書く。さらに繰り返し
  コインを投げ、同じ規則に従ってAA、Bをすでにある文字列の右側
  につなげて書いていく。たとえば、コインを5回投げ、その結果が
  順に表、裏、裏、表、裏であったとすると、得られる文字列は、
         A A B B A A B
  となる。このとき、左から4番目の文字はB、5番目の文字はAである。

 (1) nを正の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、
    文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。

 (2) nを2以上の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、
    文字列の左からn-1番目の文字がAで、かつn番目の文字がB
    となる確率を求めよ。



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