第1問
以下の命題A、Bのそれぞれに対し、その真偽を述べよ。また、
真ならば証明を与え、偽ならば反例を与えよ。
命題A nが正の整数ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{26}+100\geqq n^2\end{align*}}$ が成り立つ。
命題B 整数n、m、Lが5n+5m+3L=1をみたすならば、
10nm+3mL+3nL＜0が成り立つ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
命題A
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^3}{26}-x^2+100\ \ \ \left(x\geqq 1\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{26}x^2-2x=\frac{1}{26}x\left(3x-52\right)\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(17\right)=\frac{17^3}{26}-17^2+100=-\frac{1}{26}<0\end{align*}}$
より、n=17のときは不等式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{26}+100\geqq n^2\end{align*}}$ 成り立たないので、
命題Aは偽である。
命題B
条件
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5n+5m+3L=1\end{align*}}$ ……(#)
を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10nm+3mL+3nL\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =10nm+m\left(1-5m-5n\right)+n\left(1-5m-5n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-5m^2-5n^2+m+n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left\{m\left(5m-1\right)+n\left(5n-1\right)\right\}\leqq 0\ \ \ \ \left(\because\ m\left(5m-1\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt m<\frac{1}{5}\right)\end{align*}}$
等号が成立するのは、m=n=0のときであるが、
そのときは(#)を満たす整数Lが存在しない。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10nm+3mL+3nL<0\end{align*}}$
となるので、命題Bは真である。
なんかスッキリしない問題ですね。
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第2問
座標平面上の2点A(－1，1)、B(1，－1)を考える。また、Pを
座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。
次の条件(ⅰ)または(ⅱ)を満たす点Pの範囲を図示し、その面積
を求めよ。
(ⅰ) 頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで、
点A、P、Bをすべて通るものがある。
(ⅱ) 点A、P、Bは同一直線上にある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
P(X，Y)とおくと、Pのx座標の絶対値は1以下なので、
－1≦X≦1
条件(ⅰ)について
3点A、B、Pを通る2次関数を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=ax^2+bx+c\ \ \ \left(a\ne 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=a-b+c\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1=a+b+c\end{align*}}$ ……②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=aX^2+bX+c\end{align*}}$ ……③
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=-a\ ,\ b=-1\end{align*}}$ ……④
となるので、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=ax^2-x-a=a\left(x-\frac{1}{2a}\right)^2-\frac{1}{4a}-a\end{align*}}$
と表される。
Cの頂点のx座標の絶対値は1以上なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{1}{2a}\right|\geqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\leqq a<0\ ,\ 0\lt a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ……⑤
一方、③、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=aX^2-X-a\end{align*}}$
となるので、
・X=1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a-1-a=-1\end{align*}}$
・X=－1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a+1-a=1\end{align*}}$
・－1＜X＜1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{X+Y}{X^2-1}\end{align*}}$
となり、これと⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\leqq \frac{X+Y}{X^2-1}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\left(X^2-1\right)>X+Y>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -X\lt Y<-\frac{1}{2}X^2-X+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -X\lt Y<-\frac{1}{2}\left(X+1\right)^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{X+Y}{X^2-1}\leqq \frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt X+Y<\frac{1}{2}\left(X^2-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}X^2-X-\frac{1}{2}\lt Y<-X\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(X-1\right)^2-1\lt Y<-X\end{align*}}$
条件(ⅱ)について
点P(X，Y)は、線分AB：
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-x\ \ \ \left(-1\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=-X\ \ \ \left(-1\leqq X\leqq 1\right)\end{align*}}$
以上より、(ⅰ)または(ⅱ)を満たすようなX、Yの条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(X-1\right)^2-1\lt Y<-\frac{1}{2}\left(X+1\right)^2+1\ \ \ \left(-1\leqq X\leqq 1\right)\end{align*}}$
となるので、点Pの範囲は下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
この面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1\left\{\left(-\frac{1}{2}X^2-X+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}X^2-X-\frac{1}{2}\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-1}^1\left(x-1\right)\left(x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot\left(1+1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$ ．
上の図に座標を書き込み忘れましたが、
問題文にもあるとおり A(－1，1)、B(1，－1)です！
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第4問
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のコインを1枚用意し、
次のように左から順に文字を書く。コインを投げ、表が出たときは
文字列AAを書き、裏が出たときは文字Bを書く。さらに繰り返し
コインを投げ、同じ規則に従ってAA、Bをすでにある文字列の右側
につなげて書いていく。たとえば、コインを5回投げ、その結果が
順に表、裏、裏、表、裏であったとすると、得られる文字列は、
A A B B A A B
となる。このとき、左から4番目の文字はB、5番目の文字はAである。
(1) nを正の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字がB
となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
表が出たときに書く文字列AAの2つのAを区別して
順にA1A2と書くことにする。
左からn番目の文字がA1およびA2である確率をそれぞれ
pn、qnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q_1=0\end{align*}}$
左からn+1番目がA1になるのは、n番目がA1以外で、
n+1回目のコインが表のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(1-p_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
一方、左からn番目（n≧2）がA2になるのは、n－1番目が
A1のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=p_{n-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\end{align*}}$ ．
この式はn=1のときもq1=0となり成り立つ。
以上より、左からn番目の文字がAになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}+\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
(2)
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字が
Bとなるのは、n－1番目がA2で、n回目のコインが
裏のときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ q_{n-1}=\underline{\ \frac{1}{6}+\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-3}\ \ \ \left(n\geqq 2\right)\ }\end{align*}}$
2つのAを区別するのがポイントです。
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