第1問
正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\end{align*}}$
aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Cの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(x^2-1\right)a^2-4ya+1=0\end{align*}}$ ･･････(A)
と変形できる。
aについての方程式(A)を満たす正数aが存在するような
x、yの条件を求める。
(ⅰ) x=±1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ -4ya+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{4a}>0\ \ \left(\because\ a>0\right)\end{align*}}$
(ⅱ) x＜－1または1＜xのとき
(A)の左辺をf(a)とすると、x2－1＞0より
曲線b=f(a)は下に凸な放物線となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=4\left(x^2-1\right)\left\{a-\frac{y}{2\left(x^2-1\right)}\right\}^2+1-\frac{y^2}{x^2-1}\end{align*}}$ ．
また、f(0)=1＞0より、(*)が正の実数解をもつため
には、放物線の頂点の座標を考えることにより、
次の2つの条件を満たせばよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{2\left(x^2-1\right)}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ y>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{y^2}{x^2-1}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-y^2<1\end{align*}}$
(ⅲ) －1＜x＜1のとき
(A)の左辺をf(a)とすると、x2－1＜0より
曲線b=f(a)は上に凸な放物線となり、f(0)=1＞0
なので、(*)は必ず正の実数解をもつ。
(ⅰ)～(ⅲ)を満たすようなx、yの条件を図示すると下図のようになり、
これがCが通過する領域を表す。
ただし、2直線x=±1のy≦0の部分は含まない。
これは外せない問題です。
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第2問
どの目も出る確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ のさいころを1つ用意し、次のように左から
順に文字を書く。さいころを投げ、出た目が1、2、3のときは文字列
AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字
Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従ってAA、B、
C、Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。たとえば、
さいころを5回投げ、その出た目が順に2、5、6、3、4であったとする
と、得られる文字列は、
A A C D A A B
となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。
(1) nを正の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字がB
となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1、2、3の目が出たときに書く文字列AAの2つのAを区別して
順にA1A2と書くことにする。
左からn番目の文字がA1およびA2である確率をそれぞれ
pn、qnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q_1=0\end{align*}}$
左からn+1番目がA1になるのは、n番目がA1以外で、
n+1回目のさいころの目が1、2、3であるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(1-p_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
一方、左からn番目（n≧2）がA2になるのは、n－1番目が
A1のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=p_{n-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\end{align*}}$ ．
この式はn=1のときもq1=0となり成り立つ。
以上より、左からn番目の文字がAになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}+\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
(2)
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字が
Bとなるのは、n－1番目がA2で、n回目のさいころで4の目が
出るときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\ q_{n-1}=\underline{\ \frac{1}{18}+\frac{1}{36}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-3}\ \ \ \left(n\geqq 2\right)\ }\end{align*}}$
2つのAを区別するのがポイントです。
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第3問
aを正の実数とし、pを正の有理数とする。座標平面上の2つの曲線
y=axp （x＞0）とy=logx （x＞0）を考える。この2つの曲線の
共有点が1点のみであるとし、その共有点をQとする。以下の問いに
答えよ。必要であれば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^p}{\log x}=\infty\end{align*}}$ を証明なしに用いてよい。
(1) aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ。
(2) この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転して
できる立体の体積をpを用いて表せ。
(3) (2)で得られる立体の体積が2$\small\sf{\pi}$ になるときのpの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=ax^p\ \ \ \left(x>0\right)\ \ \ ,\ \ C_2:\ y=\log x\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$ とおく。
(1)
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=ax^p-\log x\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=apx^{p-1}-\frac{1}{x}=\frac{apx^p-1}{x}\end{align*}}$ ．
f’(x)=0となるxの値をqとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf apq^p-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q^p=\frac{1}{ap}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\left(\frac{1}{ap}\right)^{\frac{1}{p}}\ \left(>0\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=0-\left(-\infty\right)=+\infty\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\log x\right)\left(\frac{ax^p}{\log x}-1\right)=\infty\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
2曲線C1、C2がただ1点を共有点するのは、
方程式f(x)=0がただ1つの実数解をもつときなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(q\right)=aq^p-\log q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\cdot\frac{1}{ap}-\log\left(\frac{1}{ap}\right)^{\frac{1}{p}}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{p}+\frac{1}{p}\log ap=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log ap=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ap=e^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{ep}\ }\end{align*}}$ ．
このとき、2曲線の共有点Qのx座標はqに一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\left(\frac{1}{e^{-1}}\right)^{\frac{1}{p}}=\underline{\ e^{\frac{1}{p}}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より2曲線の位置関係は右図のようになり、
水色部分の回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^q\left(ax^p\right)^2dx-\pi\int_1^q\left(\log x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi a^2\int_0^qx^{2p}dx-\pi\left[x\left(\log x\right)^2\right]_1^q+\pi\int_1^q2\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi a^2\left[\frac{x^{2p+1}}{2p+1}\right]_0^q-\pi q\left(\log q\right)^2+2\pi\bigg[x\log -x\bigg]_1^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi a^2 q^{2p+1}}{2p+1}-\pi q\left(\log q\right)^2+2\pi\left(q\log -q+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi q\left\{\frac{q^{2p}}{e^2p^2\left(2p+1\right)}-\left(\log q\right)^2+2\log q-2\right\}+2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi q\left\{\frac{1}{p^2\left(2p+1\right)}-\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p}-2\right\}+2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi q\cdot\frac{1-\left(2p+1\right)+2p\left(2p+1\right)-2p^2\left(2p+1\right)}{p^2\left(2p+1\right)}+2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\pi\left(1-2p\right)e^{\frac{1}{p}}}{1+2p}+2\pi\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{2\pi\left(1-2p\right)e^{\frac{1}{p}}}{1+2p}+2\pi=2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-2p\right)e^{\frac{1}{p}}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=\frac{1}{2}\ }\ \ \ \left(\because \ e^{\frac{1}{p}}>0 \right)\end{align*}}$
(1)さえできれば、(2)、(3)は難しくありません。
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第4問
数列{pn}を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf p_1=1\ ,\ p_2=2\ ,\ p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_{n+1}^{\ 2}+p_n^{\ 2}+1}{p_{n+1}p_n}\end{align*}}$ がnによらないことを示せ。
(2) すべてのn=2，3，4，…に対し、pn+1+pn-1をpnのみを使って
表せ。
(3) 数列{qn}を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf q_1=1\ ,\ q_2=1\ ,\ q_{n+2}=q_{n+1}+q_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
すべてのn=1，2，3，…に対し、pn=q2n-1を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ ……(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+2}=q_{n+1}+q_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ ……(*)
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_{n+2}^{\ 2}+p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_{n+2}p_{n+1}}-\frac{p_{n+1}^{\ 2}+p_n^{\ 2}+1}{p_{n+1}p_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p_{n}\left(p_{n+2}^{\ 2}+p_{n+1}^{\ 2}+1\right)-p_{n+2}\left(p_{n+1}^{\ 2}+p_{n}^{\ 2}+1\right)}{p_np_{n+1}p_{n+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left\{p_np_{n+2}-\left(p_{n+1}^{\ 2}+1\right)\right\}\left(p_{n+2}-p_{n}\right)}{p_np_{n+1}p_{n+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left\{p_n\cdot\frac{p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_n}-\left(p_{n+1}^{\ 2}+1\right)\right\}\left(p_{n+2}-p_{n}\right)}{p_np_{n+1}p_{n+2}}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_{n+2}^{\ 2}+p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_{n+2}p_{n+1}}=\frac{p_{n+1}^{\ 2}+p_n^{\ 2}+1}{p_{n+1}p_n}\end{align*}}$
が成り立つので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_{n+1}^{\ 2}+p_n^{\ 2}+1}{p_{n+1}p_n}\end{align*}}$ の値はnによらず一定となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}+p_{n-1}=\frac{p_{n}^{\ 2}+1}{p_{n-1}}+p_{n-1}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p_{n}^{\ 2}+p_{n-1}^{\ 2}+1}{p_{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p_{n}^{\ 2}+p_{n-1}^{\ 2}+1}{p_np_{n-1}}\cdot p_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p_{2}^{\ 2}+p_{1}^{\ 2}+1}{p_2p_{1}}\cdot p_n\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2^2+1^2+1}{2\cdot 1}\cdot p_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3 p_n\ }\end{align*}}$
(3)
任意の自然数nに対して pn=q2n-1となることを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1、n=2のとき
p1=q1=1
q3=q2+q1=2=p2
となるのでOK
(ⅱ) pk=q2k-1 と pk+1=q2k+1 が成り立つと仮定すると、
pk+2=3pk+1－pk ←(2)より
=3q2k+1－q2k-1 ←仮定より
=3q2k+1－(q2k+1－q2k) ←(*)より
=2q2k+1+q2k)
=2q2k+1+(q2k+2－q2k+1) ←(*)より
=q2k++2+q2k+1)
=q2k+3 ←(*)より
となり、n=k+2のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して pn=q2n-1となる。
適当に式をいじっていれば出てきます。
これも外せない問題です。
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第5問
mを2015以下の正の整数とする。2015Cmが偶数となる最小のmを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{2015}C_m=\frac{2015!}{m!\left(2015-m\right)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2015\cdot 2014\cdot 2013\cdot \ldots\cdot\left(2016-m\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2016-1}{1}\cdot\frac{2016-2}{2}\cdot\frac{2016-3}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{2016-m}{m}\end{align*}}$
自然数kについて、
k=2Na （aは奇数、 N=0，1，2，3，…）
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2016-k}{k}=\frac{2^5\cdot 63-2^Na}{2^Na}=\frac{2^{5-N}\cdot 63-a}{a}\end{align*}}$ ……(#)
となり、aは奇数なので、0≦N≦4のとき(#)の分子は
奇数である。
N=5のとき、(#)の分子は偶数となり、このときのkの最小値は
kmin=25・1=32
である。
よって、(#)の分子は、k=1，2，3，……，31のときは奇数であり、
k=32のときに初めて偶数になるので、
2015Cmが偶数になるような最小のmは32である。
まずは、2015C1、2015C2、2015C3、……と順に計算してみましょう。
2015ではなく2016がカギになっていることに気づくと思います。
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第6問
nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数g(x)を次のように定める。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
|nx|＞1 すなわち |x|＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ のとき、g(nx)=0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^{-\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx+\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}g(nx)f(x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx\end{align*}}$ ……(ⅰ)
また、|x|≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\leqq f(x)\leqq q\ \ ,\ \ 0\leqq g(nx)=\frac{\cos\left(\pi nx\right)+1}{2}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pg(nx)\leqq g(nx)f(x)\leqq qg(nx)\end{align*}}$
が常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)dx\leqq \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx\leqq q\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)dx\end{align*}}$ ． ……(ⅱ)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)dx=\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}\frac{\cos\left(\pi nx\right)+1}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\pi n}\sin\left(\pi nx\right)+x\right]_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\end{align*}}$
なので、(ⅱ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{n}\leqq \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx\leqq \frac{q}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ p\leqq n\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g(nx)f(x)dx\leqq q\end{align*}}$
となり、これと(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\leqq n\int_{-1}^{1}g\left(nx\right)f\left(x\right)dx\leqq q\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=n^2\int_{-1}^1h\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)dx\end{align*}}$
とおく。
|nx|≦1 すなわち |x|≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(nx)=-\frac{\pi}{2}\sin\left(\pi nx\right)\end{align*}}$
であり、この範囲でg(nx)をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{ g\left(nx\right)\right\}'=\left\{\frac{\cos\left(\pi nx\right)+1}{2}\right\}'=-\frac{\pi n}{2}\sin\left(\pi nx\right)=nh\left(nx\right)\end{align*}}$
となる。
また、|nx|＞1 すなわち |x|＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ のとき、h(nx)=0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=n^2\int_{-1}^{-\frac{1}{n}}h\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)dx+n^2\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}h\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +n^2\int_{\frac{1}{n}}^{1}h\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n^2\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}h\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n^2\left[\frac{1}{n}g\left(nx\right)\log\left(1+e^{x+1}\right)\right]_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}-n^2\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}\frac{1}{n}g\left(nx\right)\cdot\frac{e^{x+1}}{\left(1+e^{x+1}\right)^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-n\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g\left(nx\right)\cdot\frac{e^{x+1}}{\left(1+e^{x+1}\right)^2}\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{e^{x+1}}{1+e^{x+1}}\ \ \ \left(-\frac{1}{n}\leqq x\leqq \frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=-n\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}g\left(nx\right)f\left(x\right)\ dx=-n\int_{-1}^1g\left(nx\right)f\left(x\right)\ dx\end{align*}}$ ．
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{e^{x+1}\left(1+e^{x+1}\right)-e^{x+1}\cdot e^{x+1}}{\left(1+e^{x+1}\right)^2}=\frac{e^{x+1}}{\left(1+e^{x+1}\right)^2}>0\end{align*}}$
なので、f(x)は単調に増加する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-\frac{1}{n}\right)\leqq f\ (x)\leqq f\left(\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
なので、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f\left(\frac{1}{n}\right)\leqq I\leqq -f\left(-\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
が成り立つ。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(-\frac{1}{n}\right)=-\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(0\right)\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ I=-\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(0\right)=\underline{\ -\frac{e}{1+e}\ }\end{align*}}$
(2)は、いかにして(1)を用いるかがポイントです。
{g(nx)}’=nh(nx)に気づくでしょうか?
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/22(木) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2015
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