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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015東京大 理系数学1



第1問

  正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\end{align*}}$
  aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。



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2015東京大 理系数学2



第2問

  どの目も出る確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ のさいころを1つ用意し、次のように左から
  順に文字を書く。さいころを投げ、出た目が1、2、3のときは文字列
  AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字
  Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従ってAA、B、
  C、Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。たとえば、
  さいころを5回投げ、その出た目が順に2、5、6、3、4であったとする
  と、得られる文字列は、
         A A C D A A B
  となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。

 (1) nを正の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
    文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。

 (2) nを2以上の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
    文字列の左からn-1番目の文字がAで、かつn番目の文字がB
    となる確率を求めよ。



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2015東京大 理系数学3



第3問

  aを正の実数とし、pを正の有理数とする。座標平面上の2つの曲線
  y=axp (x>0)とy=logx (x>0)を考える。この2つの曲線の
  共有点が1点のみであるとし、その共有点をQとする。以下の問いに
  答えよ。必要であれば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^p}{\log x}=\infty\end{align*}}$ を証明なしに用いてよい。

 (1) aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ。

 (2) この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転して
    できる立体の体積をpを用いて表せ。

 (3) (2)で得られる立体の体積が2$\small\sf{\pi}$ になるときのpの値を求めよ。



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2015東京大 理系数学4



第4問

  数列{pn}を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf p_1=1\ ,\ p_2=2\ ,\ p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^{\ 2}+1}{p_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_{n+1}^{\ 2}+p_n^{\ 2}+1}{p_{n+1}p_n}\end{align*}}$ がnによらないことを示せ。

 (2) すべてのn=2,3,4,…に対し、pn+1+pn-1をpnのみを使って
    表せ。

 (3) 数列{qn}を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf q_1=1\ ,\ q_2=1\ ,\ q_{n+2}=q_{n+1}+q_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
    すべてのn=1,2,3,…に対し、pn=q2n-1を示せ。



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2015東京大 理系数学5



第5問

  mを2015以下の正の整数とする。2015Cmが偶数となる最小のmを求めよ。




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2015東京大 理系数学6



第6問

  nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 関数g(x)を次のように定める。
        図07図08
解答はこちら↓

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