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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪教育大 後期数学1



第1問

  下図のように、東西および南北それぞれに6本の道が通っている。
  道は線分で表している。線分の交点を「地点」とよぶ。図中の記号
  O、P、Q、R、S、T、U、V、Wはすべて地点を表している。隣り合う
  任意の2つの地点の距離は1とする。例えば、地点Sと地点Tとの距
  離、地点Tと地点Uとの距離はともに1である。

         図08
解答はこちら↓

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  1. 2015/12/28(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2015
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2015大阪教育大 後期数学2



第2問

  次の条件によって定められる数列{an}、{bn}がある。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=12\ ,\ b_1=0\ ,\ a_{n+1}=\frac{3}{4}a_n+\frac{1}{2}b_n\ ,\ b_{n+1}=\frac{1}{4}a_n+\frac{1}{2}b_n\end{align*}}$
  以下の問いに答えよ。

 (1) a2、b2、a3、b3をそれぞれ求めよ。

 (2) すべての自然数nについて、an+bn=12が成り立つことを証明せよ。

 (3) 数列{an}、{bn}の一般項を求めよ。

 (4) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2015/12/29(火) 23:57:00|
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2015大阪教育大 後期数学3



第3問

  qは正の有理数とし、f(x)=x2-qx-q2とする。2次方程式f(x)=0
  の2つの実数解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ ($\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\beta}$ )とする。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\gamma}$ が無理数であるとき、有理数s、tに対してs$\small\sf{\gamma}$ +t=0が成り立
    つならば、s=t=0であることを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ は無理数であることを証明せよ。さらに$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ はともに無理数
    であることを証明せよ。

 (3) 有理数a、b、cに対してg(x)=x3+ax2+bx+cを考える。このとき、
    g($\small\sf{\alpha}$ )=0であるための必要十分条件はg($\small\sf{\beta}$ )=0であることを証明
    せよ。



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  1. 2015/12/30(水) 23:57:00|
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2015大阪教育大 後期数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{4\left(x-1 \right)}{\left(x^2-2 \right)\left(x^2-2x+2 \right)}\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) kを定数とする。方程式f(x)=0の異なる実数解の個数を調べよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{Ax+B}{x^2-2}+\frac{Cx+D}{x^2-2x+2}\end{align*}}$ が成り立つように定数A、B、C、Dの
    値を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1f\ (x)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2015/12/31(木) 23:57:00|
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