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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪教育大 前期数学1



第1問

  以下の問に答えよ。

 (1) 実数x,yが $\small\sf{\begin{align*} \sf x+y=1\end{align*}}$ を満たすとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2\geqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
    どのようなときか。

 (2) 実数x,y,zが $\small\sf{\begin{align*} \sf x+y+z=1\end{align*}}$ を満たすとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2+z^2\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
    どのようなときか。

 (3) 実数x1,x2,…,xnが $\small\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2+\ldots +x_n=1\end{align*}}$ を満たすとき、
    不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots +x_n^{\ 2}\geqq \frac{1}{n}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
    どのようなときか。
        



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/09/03(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2015
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2015大阪教育大 前期数学2



第2問

  xy平面において、ベクトル
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\left(1\ ,\ \sqrt3 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\left(x\ ,\ y \right)\end{align*}}$
  に対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}|\geqq 1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|\leqq 1\end{align*}}$
  を満たす点(x,y)の領域をDとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$の内積、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の長さを表す。以下の問に答えよ。

 (1) Dを図示せよ。

 (2) Dの面積を求めよ。



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  1. 2015/09/04(金) 23:57:00|
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2015大阪教育大 前期数学3



第3問

  a、bは0<a<bを満たす定数とし、関数y=logxのグラフをGとする。
  点Cが曲線G上を点A(a,loga)から点B(b,logb)まで動くとき、
  点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとし、線分CPの長さの
  最大値をLとする。このとき、以下の問に答えよ。ただし、logxは
  自然対数を表すものとする。

 (1) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{b-a}{\log b-\log a}\lt b\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{b}{a}\end{align*}}$ とおくとき、Lをhを用いて表せ。

 (3) 実数p、q、rがa<p<b、a<q<b、a<r<bを満たすとき、
    不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q+r}{3}\lt e^{L}\sqrt[3]{\sf pqr}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。ただし,eは自然対数の底とする。




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  1. 2015/09/05(土) 23:57:00|
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2015大阪教育大 前期数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$
  について、以下の問に答えよ。
  ただし、logxは自然対数を表すものとする。

 (1) f(x)が極値をとるxの値はただ1つであることを示し、
    そのときのxの値を求めよ。

 (2) (1)で求めたxの値をcとするとき、y=f(x)のグラフと
    x軸と直線x=cで囲まれた部分をDで表す。Dの面積を求めよ。

 (3) (2)で定めたDをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積
    を求めよ。




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  1. 2015/09/06(日) 23:57:00|
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