第1問
以下の問に答えよ。
(1) 実数x，yが $\small\sf{\begin{align*} \sf x+y=1\end{align*}}$ を満たすとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2\geqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
どのようなときか。
(2) 実数x，y，zが $\small\sf{\begin{align*} \sf x+y+z=1\end{align*}}$ を満たすとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2+z^2\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
どのようなときか。
(3) 実数x1，x2，…，xnが $\small\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2+\ldots +x_n=1\end{align*}}$ を満たすとき、
不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots +x_n^{\ 2}\geqq \frac{1}{n}\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは
どのようなときか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(3)
x1，x2，…，xnは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x_1- \frac{1}{n}\right)^2+\left(x_2- \frac{1}{n}\right)^2+\ldots +\left(x_n- \frac{1}{n}\right)^2\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots +x_n^{\ 2}-\frac{2}{n}\left(x_1+x_2+\ldots +x_n \right)+\frac{1}{n^2}\cdot n\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots +x_n^{\ 2}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}\geqq 0\ \ \ \ \left(\because\ x_1+x_2+\ldots +x_n=1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots +x_n^{\ 2}\geqq \frac{1}{n}\end{align*}}$ ．
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x_1- \frac{1}{n}\right)^2=\left(x_2- \frac{1}{n}\right)^2=\ldots =\left(x_n- \frac{1}{n}\right)^2= 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x_1=x_2=\ldots =x_n=\frac{1}{n}\ }\end{align*}}$
のときである。
(1)
(3)でn=2とすれば、不等式は成り立つ。
また、等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=y=\frac{1}{2}\end{align*}}$
のときである。
(2)
(3)でn=3とすれば、不等式は成り立つ。
また、等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=y=z=\frac{1}{3}\end{align*}}$
のときである。
(1)、(2)は1文字を消去して平方完成すればOKです。
(3)は、数学的帰納法を用いようと考えるのが自然でしょうか。
難しいですけど（笑）
コーシー・シュワルツの不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_1^{\ 2}+a_2^{\ 2}+\ldots a_n^{\ 2} \right)\left(x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots x_n^{\ 2} \right)\geqq \left(a_1x_1+a_2x_2+\ldots +a_nx_n \right)^2\end{align*}}$
において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}a_1=a_2=\ldots =a_n=1}\end{align*}}$
とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}n\left(x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots x_n^{\ 2} \right)\geqq \left(x_1+x_2+\ldots +x_n \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1^{\ 2}+x_2^{\ 2}+\ldots x_n^{\ 2}\geqq \frac{1}{n}\ \ \ \ \left(\because\ x_1+x_2+\ldots +x_n=1 \right)}\end{align*}}$
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- 2015/09/03(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2015
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第2問
xy平面において、ベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\left(1\ ,\ \sqrt3 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\left(x\ ,\ y \right)\end{align*}}$
に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}|\geqq 1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|\leqq 1\end{align*}}$
を満たす点(x，y)の領域をDとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$の内積、
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の長さを表す。以下の問に答えよ。
(1) Dを図示せよ。
(2) Dの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}|=|x+\sqrt3\ y|\geqq 1\end{align*}}$ 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq -\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}\ \ ,\ \ -\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3}\leqq y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|^2=x^2+y^2 \leqq 1\end{align*}}$
となるので、これらを同時に満たす点(x，y)の
領域Dは右図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(2)
円x2+y2=1と直線x+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$y=1の交点を
右図のようにA、Bとすると、
ABの傾き=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ =tan150°
なので、
∠OAB=∠OBA=30 °
∠AOB=120°
となる。
Dの面積は
(扇形OAB-△OAB)×2
として求めることができるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pi\cdot 1^2\cdot \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \sin 120^{\circ}\right)\times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
これは易しいですね。
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- 2015/09/04(金) 23:57:00|
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第3問
a、bは0＜a＜bを満たす定数とし、関数y=logxのグラフをGとする。
点Cが曲線G上を点A(a，loga)から点B(b，logb)まで動くとき、
点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとし、線分CPの長さの
最大値をLとする。このとき、以下の問に答えよ。ただし、logxは
自然対数を表すものとする。
(1) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{b-a}{\log b-\log a}\lt b\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{b}{a}\end{align*}}$ とおくとき、Lをhを用いて表せ。
(3) 実数p、q、rがa＜p＜b、a＜q＜b、a＜r＜bを満たすとき、
不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q+r}{3}\lt e^{L}\sqrt[3]{\sf pqr}\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。ただし，eは自然対数の底とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\log x\ \ \ \left(x>0 \right)\end{align*}}$ とおく。
(1)
g(x)は連続かつ微分可能な関数であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g\ '(c)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{b-a}{\log b-\log a}\end{align*}}$ ……①
となるような実数cが、a＜c＜b ……② の範囲に存在する。
①、②よりcを消去すると、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{b-a}{\log b-\log a}\lt b\end{align*}}$
が得られる。
(2)
曲線Gの第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(x)=-\frac{1}{x^2}<0\end{align*}}$
なので、曲線Gは上に凸である。
よって、線分ABは曲線Gより下側にある。
G上の点Cの座標を(t，logt) （a≦t≦b）とおく。
直線ABの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\log a=\frac{\log b-\log a}{b-a}\left(x-a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{\log b-\log a}{b-a}x+\frac{b\log a-a\log b}{b-a}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CP=\log t-\frac{\log b-\log a}{b-a}t-\frac{b\log a-a\log b}{b-a}\end{align*}}$
と表される。これをtの関数とみなしてf(t)とおくと、
導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\frac{1}{t}-\frac{\log b-\log a}{b-a}\end{align*}}$
となり。(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{b-a}{\log b-\log a}\lt b\end{align*}}$
なので、f(t)の増減は次のようになる。
CPの最大値がLなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=f\left( \frac{b-a}{\log b-\log a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{b-a}{\log b-\log a}-1-\frac{b\log a-a\log b}{b-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{ha-a}{\log ha-\log a}-1-\frac{ha\log a-a\log ha}{ha-a}\ \ \ \ \left(\because\ h=\frac{b}{a} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{a\left(h-1 \right)}{\log h}-1-\frac{h\log a-\left(\log h+\log a\right)}{h-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log a+\log\left(h-1 \right)-\log\left(\log h \right)-1-\log a+\frac{\log h}{h-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log\left(h-1 \right)-\log\left(\log h \right)+\frac{\log h}{h-1}-1\ }\end{align*}}$
(3)
G上の3点(p，logp)、(q，logq)、(r，logr)を頂点とする
三角形（Tとする）の重心（Hとする）の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H\left( \frac{p+q+r}{3}\ ,\ \frac{\log p+\log q+\log r}{3}\right)\end{align*}}$ ．
であり、HはTの内部にある。
また、曲線Gは上に凸であり、a＜p＜b、a＜q＜b、a＜r＜b
なので、三角形Tは曲線Gと線分ABで囲まれる領域（Uとする）
内にある。
よって、HはUの内部にある（線分AB上にはない）ので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt g\left( \frac{p+q+r}{3}\right)-\frac{\log p+\log q+\log r}{3}\lt L\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{p+q+r}{3}\lt L+\frac{\log p+\log q+\log r}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log e^L+\frac{1}{3}\log pqr\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log \left(e^L\sqrt[3]{\sf pqr}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{p+q+r}{3}\lt e^L\sqrt[3]{\sf pqr}\ \ \ \ \left(\because\ e>1 \right)\end{align*}}$
(3)は細かい部分を色々と誤魔化してます（笑）
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- 2015/09/05(土) 23:57:00|
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第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$
について、以下の問に答えよ。
ただし、logxは自然対数を表すものとする。
(1) f(x)が極値をとるxの値はただ1つであることを示し、
そのときのxの値を求めよ。
(2) (1)で求めたxの値をcとするとき、y=f(x)のグラフと
x軸と直線x=cで囲まれた部分をDで表す。Dの面積を求めよ。
(3) (2)で定めたDをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x}-\log x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{2-\log x}{2\left(\sqrt{x} \right)^3}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)はただ1つの極値をもち、そのときのxの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=e^2\ }\end{align*}}$
である。
(2)
(1)の増減表と、f(1)=0より、y=f(x)の
グラフの概形は右図のようになる。
よって、領域D（水色の部分）の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^c\frac{\log x}{\sqrt{x}}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[2x^{\frac{1}{2}}\log x\bigg]_1^c-\int_1^c2x^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[2\sqrt{x}\log x-4\sqrt{x}\bigg]_1^{e^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ }\end{align*}}$
(3)
Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_1^c\left(\frac{\log x}{\sqrt{x}}\right)^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^c\frac{\left(\log x\right)^2}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\bigg[\left(\log x \right)^3\bigg]_1^{e^2}-\pi\int_1^c\left(\log x \right)\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\pi-2V\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ V=\underline{\ \frac{8\pi}{3}\ }\end{align*}}$
logを含む積分は、とりあえず部分積分です！
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- 2015/09/06(日) 23:57:00|
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