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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015奈良女子大 前期数学1



第1問

  平面上に三角形ABCと点Pがあり、点Pは
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\left(\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf CP} \right)=\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
  をみたしているとする。辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) ベクトルAPをベクトルbとベクトルcを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ とベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf NP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 線分の長さの比MP:NPを求めよ。

 (4) 三角形PAB、PBC、PCAの面積をそれぞれS、T、Uとする。
    面積の比S:TとT:Uを求めよ。




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  1. 2015/08/26(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2015
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2015奈良女子大 前期数学2



第2問

  nを自然数とする。n個の白球、n個の赤球、1からnまでの数字が
  1つずつ書かれたn枚のカードがある。次の(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の操作
  を順に行う。
    (ⅰ) n枚のカードから1枚取り出す。
    (ⅱ) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と
       n個の白球を袋に入れる。
    (ⅲ) 袋から1個の球を取り出す。
  このとき、取り出された球が白球である確率をPnとおく。
  次の問いに答えよ。

 (1) P1、P2をそれぞれ求めよ。

 (2) 定積分を利用して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n\end{align*}}$ を求めよ。
        



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  1. 2015/08/27(木) 23:57:00|
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2015奈良女子大 前期数学3



第3問

  a、bを正の実数とする。f(x)=x(x+a)(x-b)とする。区間
  -a≦x≦0において曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の
  面積をS1とし、区間0≦x≦bにおいて曲線y=f(x)とx軸で
  囲まれた部分の面積をS2とする。次の問いに答えよ。

 (1) S1をaとbを用いて表せ。

 (2) S1=S2のとき、a=bとなることを示せ。

 (3) S1=S2のとき、f(x)は奇関数となることを示せ。また、
    f(x)が奇関数のとき、S1=S2となることを示せ。ただし、
    f(x)が奇関数であるとは、どのようなxの値に対しても
    等式f(-x)=-f(x)が成り立つことである。




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  1. 2015/08/28(金) 23:57:00|
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2015奈良女子大 前期数学4



第4問

  a、bを実数とする。f(x)=x2-6x+a、 g(x)=-x2+9x+bとする。
  次の問いに答えよ。

 (1) さいころを1個投げて出た目をkとするときf(k)≦0となる確率が
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるaのとり得る値の範囲を求めよ。

 (2) さいころを1個投げて出た目をkとするときf(k)≦0かつg(k)≧0
    となる確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるa、bのとり得る値の範囲を求めよ。
        



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  1. 2015/08/29(土) 23:57:00|
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2015奈良女子大 前期数学5



第5問

  原点を中心とする半径1の円Cと、点A(2,0)を中心とする半径1の
  円C1がある。円C上の点P(cos$\small\sf{\theta}$ ,sin$\small\sf{\theta}$ )をとり、Pを中心とする
  半径1の円をC2とする。次の問いに答えよ。

 (1) 円C1と円C2が異なる2点で交わるとき、cos$\small\sf{\theta}$ のとり得る値の
    範囲を求めよ。

 (2) 円C1と円C2が異なる2点で交わるとき、その2点と点Pを頂点と
    する三角形の面積をSとする。以下の(ⅰ)、(ⅱ)に答えよ。
  (ⅰ) Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
  (ⅱ) Sの最大値を求めよ。



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  1. 2015/08/30(日) 23:57:00|
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2015奈良女子大 前期数学6



第6問

  a、bを実数とする。f(x)=x2+ax+b、 g(x)=x2+bx+aとする。
  2次方程式f(x)=0が実数解をもつとする。その実数解の1つが
  2次方程式g(x)=0の1つの解の逆数であるとする。次の問いに
  答えよ。

 (1) f(x)=0の解とg(x)=0の解をそれぞれaを用いて表せ。

 (2) a>0とする。直線y=x-1と放物線y=f(x)で囲まれる図形の
    面積をS1とし、直線y=x-1と放物線y=g(x)で囲まれる図形
    の面積をS2とする。S1:S2=27:8となるとき、aの値を求めよ。



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  1. 2015/08/31(月) 23:57:00|
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