第1問
平面上に三角形ABCと点Pがあり、点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4\left(\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf CP} \right)=\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
をみたしているとする。辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) ベクトルAPをベクトルbとベクトルcを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ とベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf NP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 線分の長さの比MP：NPを求めよ。
(4) 三角形PAB、PBC、PCAの面積をそれぞれS、T、Uとする。
面積の比S：TとT：Uを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left(\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf CP} \right)=\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\overrightarrow{\sf AP}+4\left(\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AC} \right)= \overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}=\frac{\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{8}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}}{8}}\end{align*}}$
(2)
M、NはそれぞれAB、ACの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AM}=\frac{\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}}{8}-\frac{\overrightarrow{\sf b}}{2}=\underline{\ -\frac{3\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)}{8}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf NP}=\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AN}=\frac{\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}}{8}-\frac{\overrightarrow{\sf c}}{2}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}}{8}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=-3\overrightarrow{\sf NP}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MP}|:|\overrightarrow{\sf NP}|=|-3\overrightarrow{\sf NP}|:|\overrightarrow{\sf NP}|=\underline{\ 3:1\ }\end{align*}}$
(4)
△AMN∽△ABC （相似比1：2）より、面積比は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle AMN:\triangle ABC=1^2:2^2=1:4\end{align*}}$
これと、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle PAB=2\triangle AMP=2\cdot \frac{3}{4}\triangle AMN=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\triangle ABC=\frac{3}{8}\triangle ABC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U=\triangle PCA=2\triangle ANP=2\cdot \frac{1}{4}\triangle AMN=2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\triangle ABC=\frac{1}{8}\triangle ABC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\triangle PBC=\triangle ABC-\frac{3}{8}\triangle ABC-\frac{1}{8}\triangle ABC=\frac{1}{2}\triangle ABC\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S:T=\frac{3}{8}:\frac{1}{2}=\underline{\ 3:4\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T:U=\frac{1}{2}:\frac{1}{8}=\underline{\ 4:1\ }\end{align*}}$
(2)の結果から
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=-3\overrightarrow{\sf NP}\end{align*}}$
に気づくと楽です。
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- 2015/08/26(水) 23:57:00|
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第2問
nを自然数とする。n個の白球、n個の赤球、1からnまでの数字が
1つずつ書かれたn枚のカードがある。次の(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の操作
を順に行う。
(ⅰ) n枚のカードから1枚取り出す。
(ⅱ) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と
n個の白球を袋に入れる。
(ⅲ) 袋から1個の球を取り出す。
このとき、取り出された球が白球である確率をPnとおく。
次の問いに答えよ。
(1) P1、P2をそれぞれ求めよ。
(2) 定積分を利用して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
操作(ⅰ)で取り出されたカードに書かれた数字をNとおく。
(1)
n=1のとき
必ずN=1なので、袋の中には、白球1個と赤球1個が入っている。
よって、操作(ⅲ)で白球を取り出す確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_1=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
n=2のとき
N=1のときは、袋の中に白球2個と赤球1個が入っている。
N=2のときは、袋の中に白球2個と赤球2個が入っている。
よって、操作(ⅲ)で白球を取り出す確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{4}=\underline{\ \frac{7}{12}\ }\end{align*}}$
(2)
N=k （k=1，2，…，n)のとき
袋の中に白球n個と赤球k個が入っている。
ここから白球を取り出す確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{n+k}\end{align*}}$ であり、
k=1，2，…，nの場合が考えられるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n+k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cdot\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg\log\left(1+x \right)\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log 2\ }\end{align*}}$
(2)は、「定積分を利用して」という大きなヒントがあります！
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- 2015/08/27(木) 23:57:00|
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第3問
a、bを正の実数とする。f(x)=x(x+a)(x-b)とする。区間
-a≦x≦0において曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の
面積をS1とし、区間0≦x≦bにおいて曲線y=f(x)とx軸で
囲まれた部分の面積をS2とする。次の問いに答えよ。
(1) S1をaとbを用いて表せ。
(2) S1=S2のとき、a=bとなることを示せ。
(3) S1=S2のとき、f(x)は奇関数となることを示せ。また、
f(x)が奇関数のとき、S1=S2となることを示せ。ただし、
f(x)が奇関数であるとは、どのようなxの値に対しても
等式f(-x)=-f(x)が成り立つことである。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
-a≦x≦0において、常にf(x)≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_{-a}^0x\left(x+a \right)\left(x-b \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-a}^0\left\{x^3+ \left(a-b \right)x^2-abx\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4}x^4+ \frac{1}{3}\left(a-b \right)x^3-\frac{1}{2}abx^2\right]_{-a}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}a^3\left(a+2b \right)\ }\end{align*}}$
(2)
0≦x≦bにおいて、常にf(x)≦0なので、(1)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^bx\bigg\{-\left(x+a \right)\left(x-b \right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[\frac{1}{4}x^4+ \frac{1}{3}\left(a-b \right)x^3-\frac{1}{2}abx^2\right]_0^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}b^3\left(b+2a \right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1-S_2=\frac{1}{12}a^3\left(a+2b \right)-\frac{1}{12}b^3\left(b+2a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(a^4-b^4+2a^3b-2ab^3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\bigg\{ \left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)+2ab\left(a^2-b^2\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(a-b\right)\left(a+b\right)^3\end{align*}}$ ……(#)
これとa+b≠0より、S1=S2のときは、a=bが成り立つ。
(3)
(2)より、S1=S2のとき、a=bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x\left(x-a \right)\left(x+a \right)=x^3-a^2x\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-x)=\left(-x \right)^3-a^2\cdot\left(-x \right)=-\left(x^3-a^2x \right)=-f(x)\end{align*}}$
となり、これが任意のxに対して成り立つので、
f(x)は奇関数である。
逆に、f(x)が奇関数であるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=-f(-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^2\left(a-b \right)=0\end{align*}}$
となり、a≠0より、a=bとなる。
これと(#)より、S1=S2となる。
(3)の後半
f(x)が奇関数であるという条件の使い方が難しいかもしれません。
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- 2015/08/28(金) 23:57:00|
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第4問
a、bを実数とする。f(x)=x2-6x+a、 g(x)=-x2+9x+bとする。
次の問いに答えよ。
(1) さいころを1個投げて出た目をkとするときf(k)≦0となる確率が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるaのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) さいころを1個投げて出た目をkとするときf(k)≦0かつg(k)≧0
となる確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるa、bのとり得る値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x-3 \right)^2+a-9\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(3)\lt f(2)=f(4)\lt f(1)=f(5)\lt f(6)\end{align*}}$ ……(#)
である。よって、 
f(k)≦0 かつ 1≦k≦6
を満たす自然数kがちょうど3個存在するためには
y=f(x)のグラフが右図のように
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(3)\lt f(2)=f(4)\leqq 0\lt f(1)=f(5)\lt f(6)\end{align*}}$
を満たしていればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(4)=16-24+a\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq 8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(5)=25-30+a> 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5\lt a\end{align*}}$
なので、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 5\lt a\leqq 8\ }\end{align*}}$
である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=-\left(x-\frac{9}{2} \right)^2+b+\frac{81}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(4)=g(5)>g(3)=g(6)>g(2)>g(1)\end{align*}}$
である。よって、
f(k)≦0 かつ g(k)≧0 かつ 1≦k≦6
を満たす自然数kがちょうど3個存在するのは、
次の(ⅰ)、(ⅱ)2つの場合がある。
(ⅰ) k=3，4，5の3個が条件を満たす場合
y=f(x)とy=g(x)のグラフが右図のように
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(3)\lt f(2)=f(4)\lt f(1)=f(5)\leqq 0\lt f(6)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(4)=g(5)>g(3)=g(6)\geqq 0>g(2)>g(1)\end{align*}}$
を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(5)=\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq 5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(6)=36-36+a>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(3)=-9+27+b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -18\leqq b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(2)=-4+18+b<0\ \ \Leftrightarrow\ \ b<-14\end{align*}}$ ．
よって、求めるa、bの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt a\leqq 5\ \ ,\ \ -18\leqq b<-14\ }\end{align*}}$
(ⅱ) k=2，3，4の3個が条件を満たす場合
y=f(x)とy=g(x)のグラフが右図のように
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(3)\lt f(2)=f(4)\leqq 0\lt f(1)=f(5)\lt f(6)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(4)=g(5)>g(3)=g(6)>g(2)\geqq 0\end{align*}}$
を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(4)=16-24+a\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq 8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(5)=25-30+a> 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5\lt a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(2)=-4+18+b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\geqq -14\end{align*}}$ ．
よって、求めるa、bの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 5\lt a\leqq 8\ \ ,\ \ -14\leqq b\ }\end{align*}}$
グラフを使わないと難しいです。
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- 2015/08/29(土) 23:57:00|
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第5問
原点を中心とする半径1の円Cと、点A(2，0)を中心とする半径1の
円C1がある。円C上の点P(cos$\small\sf{\theta}$ ，sin$\small\sf{\theta}$ )をとり、Pを中心とする
半径1の円をC2とする。次の問いに答えよ。
(1) 円C1と円C2が異なる2点で交わるとき、cos$\small\sf{\theta}$ のとり得る値の
範囲を求めよ。
(2) 円C1と円C2が異なる2点で交わるとき、その2点と点Pを頂点と
する三角形の面積をSとする。以下の(ⅰ)、(ⅱ)に答えよ。
(ⅰ) Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(ⅱ) Sの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2つの円が異なる2点で交わるのは、
中心間の距離＜2つの円の半径の和
を満たすときである。
中心間の距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{\left(\cos\theta-2 \right)^2+\sin^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta-4\cos\theta+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{5-4\cos\theta}\end{align*}}$ ……(#)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (0<)\ \sqrt{5-4\cos\theta}<2\end{align*}}$
であればよく、両辺を2乗すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5-4\cos\theta<4\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}<\cos\theta\end{align*}}$ ．
よって、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ の取り得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}<\cos\theta\leqq 1\ }\end{align*}}$ ．
(2)(ⅰ)
C1、C2の2つの交点をD、Eとすると、
四角形ADPEは一辺が1のひし形になる。
対角線の交点をMとすると、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PM=\frac{1}{2}AP=\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}{2}\end{align*}}$ ．
△PDMで三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DE=2\sqrt{PD^2-PM^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}{2} \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{4\cos\theta-1}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot PM\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{4\cos\theta-1}\cdot\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\sqrt{-16\cos^2\theta+24\cos\theta-5}\ }\end{align*}}$
(2)(ⅱ)
(ⅰ)で求めたSは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{4}\sqrt{-16\left(\cos\theta-\frac{3}{4}\right)^2+4}\end{align*}}$
と変形できるので、(1)で求めたcos$\scriptsize\sf{\theta}$ の範囲において
Sの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{max}=\frac{1}{4}\sqrt4=\underline{\ \frac{1}{2}}\ \ \ \ \left(\cos\theta=\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
(2)(ⅱ)でSが最大になるのは、∠DPE=90°になるときです。
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- 2015/08/30(日) 23:57:00|
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第6問
a、bを実数とする。f(x)=x2+ax+b、 g(x)=x2+bx+aとする。
2次方程式f(x)=0が実数解をもつとする。その実数解の1つが
2次方程式g(x)=0の1つの解の逆数であるとする。次の問いに
答えよ。
(1) f(x)=0の解とg(x)=0の解をそれぞれaを用いて表せ。
(2) a＞0とする。直線y=x-1と放物線y=f(x)で囲まれる図形の
面積をS1とし、直線y=x-1と放物線y=g(x)で囲まれる図形
の面積をS2とする。S1：S2=27:8となるとき、aの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=0の1つの実数解をpとし、pの逆数がg(x)=0の解に
なっているとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(p)=p^2+ap+b=0\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{1}{p} \right)=\frac{1}{p^2}+\frac{b}{p}+a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ ap^2+bp+1=0\end{align*}}$ ……②
①×a-②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( a^2-b\right)p+ab-1=0\end{align*}}$ ……③
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-b=0\end{align*}}$ のとき
③より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab-1=0\end{align*}}$ となり、これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ \ ,\ \ b=1\end{align*}}$
を得る。このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2+x+1=0\end{align*}}$
の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=1-4<0\end{align*}}$
となり、f(x)=0が実数解を持つことに矛盾する。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-b\ne 0\end{align*}}$ のとき
③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1-ab}{a^2-b}\end{align*}}$
となり、①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{1-ab}{a^2-b}\right)+a\cdot\frac{1-ab}{a^2-b}+b=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-ab \right)^2+a\left(1-ab \right)\left(a^2-b \right)+b\left(a^2-b \right)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^3+b^3+1-3ab=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b+1 \right)\left(a^2+b^2+1-ab-a-b \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(a+b+1 \right)\left\{ \left(a-b \right)^2+\left(a-1 \right)^2+\left(b-1 \right)^2\right\}=0\end{align*}}$ ……④
この式の{ }部=0となるのは、a=b=1のときであるが、
(ⅰ)と同様に矛盾する。
よって、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+1=0\end{align*}}$
となる。
このとき、f(x)=0の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2+ax-a-1=\left(x+a+1 \right)\left(x-1 \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=-a-1\ ,\ 1\ }\end{align*}}$ ．
また、g(x)=0の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=x^2-\left(a+1 \right)x+a=\left( x-1\right)\left(x-a \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=a\ ,\ 1\ }\end{align*}}$
(2)
y=f(x)とy=x-1の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+ax-a-1=x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left( a-1\right)x-a=\left(x+a \right)\left(x-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-a\ ,\ 1\end{align*}}$
y=g(x)とy=x-1の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(a+1\right)x+a=x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\left( a+2\right)x+a+1=\left(x-a-1 \right)\left(x-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a+1\ ,\ 1\end{align*}}$
よって、これらに位置関係は右図のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_{-a}^1\left\{x+1-f(x) \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-a}^1\left(x+a \right)\left(x-1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(1+a \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_1^{a+1}\left\{x+1-g(x) \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_1^{a+1}\left(x-a-1 \right)\left(x-1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\ a^3\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1:S_2=\frac{1}{6}\left(1+a \right)^3:\frac{1}{6}\ a^3=27:8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+a \right)^3:a^3=3^3:2^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+a \right):a=3:2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left( 1+a\right)=3a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=2\ }\end{align*}}$
(1)の計算がヘビーですね。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z \right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \right)}\end{align*}}$
の公式と、その後の
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} =\frac{1}{2}\bigg\{\left(x^2-2xy+y^2 \right)+\left(y^2-2yz+z^2 \right)+\left(z^2-2zx+x^2 \right)\bigg\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} =\frac{1}{2}\bigg\{\left(x-y \right)^2+\left(y-z \right)^2+\left(z-x \right)^2\bigg\}\geqq 0}\end{align*}}$ （等号成立は、x=y=zのとき）
の変形を知らないと厳しいでしょうね。
もっとも、もっと簡単な解法があるのかもしれませんが（笑）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/08/31(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2015
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