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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2007大阪大 理系数学1




第1問

  nを自然数とする.関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt x\end{align*}}$ のグラフをCとし、C上の2点$\small\sf{\begin{align*} \sf (n,\ \sqrt n)\end{align*}}$
  と$\small\sf{\begin{align*} \sf (n+1,\ \sqrt {n+1})\end{align*}}$ を通る直線をLとする。CとLで囲まれた部分をx軸
  のまわりに1回転させてできる回転体の体積をVとする.このとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^aV=b\end{align*}}$
  を満たす正の数a、bを求めよ.



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  1. 2011/12/17(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2007
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2007大阪大 理系数学2




第2問

  次の問いに答えよ.

 (1) xが正の数のとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\log x|\leqq\frac{|x-1|}{\sqrt x}\end{align*}}$
    を示せ.

 (2) p、q、rが$\small\sf{\sf p+q+r=1}$ を満たす正の数のとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2+r^2\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
    を示せ.

 (3) a、b、cが相異なる正の数で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a +\sqrt b +\sqrt c=1\end{align*}}$ を満たすとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
    を示せ.



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  1. 2011/12/18(日) 23:57:00|
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2007大阪大 理系数学3




第3問

  xy平面において、原点Oを通る半径r(r>0)の円をCとし、その中心を
  Aとする.Oを除くC上の点Pに対し、次の条件(a)、(b)で定まる点$\small\sf{\sf Q}$ を
  考える.
    (a) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ の向きが同じ.
    (b) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\ |\overrightarrow{\sf OQ}|=1.\end{align*}}$   
  以下の問いに答えよ.

 (1) 点PがOを除くC上を動くとき、点$\small\sf{\sf Q}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ に直交する直線上を動く
    ことを示せ.

 (2) (1)の直線をLとする。LがCと2点で交わるとき、rのとりうる値の範
    囲を求めよ.
   



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  1. 2011/12/19(月) 23:57:00|
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2007大阪大 理系数学4




第4問

  $\small\sf{\sf f(x)=x^3-x}$ とし、tを実数とする.xy平面において、曲線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ を
  C1とし、直線x=tに関してC1と対称な曲線
             $\small\sf{\sf y=f(2t-x)}$
  をC2とする.

 (1) C1とC2が3点で交わるとき、tのとりうる値の範囲を求めよ.

 (2) tが(1)で求めた範囲を動くとき、C1とC2で囲まれた部分の面積S
    の最大値を求めよ.



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  1. 2011/12/20(火) 23:57:00|
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2007大阪大 理系数学5



第5問

  nを2以上の自然数とする.4個の行列
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ \ \ B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf C=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\-1 & 1 \\1 & -1 \end{array}\right)\ \ \ \ D=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) \end{align*}}$
  を重複を許してn個並べたものを
        M1、M2、・・・、Mn
  とする.

 (1) 積M1M2・・・Mnが定義できる場合は何通りあるか.その数をnの式で表せ.

 (2) 積M1M2・・・Mnが定義できて、その積が零行列でない2×3行列となる
    場合は何通りあるか.その数をnの式で表せ.

 (3) 積M1M2・・・Mnが定義できて、その積が零行列とならない場合は何通り
    あるか.その数をnの式で表せ.



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  1. 2011/12/21(水) 23:57:00|
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