第1問
nを自然数とする．関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt x\end{align*}}$ のグラフをCとし、C上の2点$\small\sf{\begin{align*} \sf (n,\ \sqrt n)\end{align*}}$
と$\small\sf{\begin{align*} \sf (n+1,\ \sqrt {n+1})\end{align*}}$ を通る直線をLとする。CとLで囲まれた部分をx軸
のまわりに1回転させてできる回転体の体積をVとする．このとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^aV=b\end{align*}}$
を満たす正の数a、bを求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf A(n,\ f \sqrt{n} )\ ,\ \ B(n+1,\ \sqrt {n+1})}$ とおく．
まず、直線Lの方程式を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{(n+1)-n}\ (x-n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ y=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)x+(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)x+\sqrt{n(n+1)}\left(\sqrt {n+1}-\sqrt{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(x+\sqrt{n(n+1)}\right)\end{align*}}$．
Lとx軸の交点をPとおくと、
$\scriptsize\sf{\sf P(-\sqrt{n(n+1)}\ ,\ 0)}$ ．
曲線C、2直線$\scriptsize\sf{\sf x=n\ ,\ x=n+1}$ およびx軸で囲まれた部分
(右図の赤色部分)の回転体の体積をV1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_n^{n+1}\ \left(\sqrt x\ \right)^2dx=\pi\left[\frac{1}{2}\ x^2\right]_n^{n+1}=\frac{\pi}{2}(2n+1)\end{align*}}$．
直線L、2直線x=n、x=n+1およびx軸で囲まれた部分
(右図の青色部分)を回転させてできる円錐台の体積V2は、
下図のように2つの円錐の体積の差として求めることが
できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\frac{\pi}{3}\left(\sqrt{n+1}\right)^2\{(n+1)-\sqrt{n(n+1)}\}-\frac{\pi}{3}\left(\sqrt{n}\right)^2\{n-\sqrt{n(n+1)}\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}\left(2n+1+\sqrt{n(n+1)}\right)\end{align*}}$．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=V_1-V_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}(2n+1)-\frac{\pi}{3}\left(2n+1+\sqrt{n(n+1)}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}\left(2n+1-2\sqrt{n(n+1)}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2\end{align*}}$
円錐台の体積を積分で求めようとすると、計算がえらいことになります＾＾；；
このVに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^aV\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^a\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^a\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2\times\frac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n^a}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}\end{align*}}$．
分子・分母をnで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{\pi}{6}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n^{a-1}}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{24}\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^{a-1}\end{align*}}$．
ここで、
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt a\lt 1}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf -1\lt a-1\lt 1}$ より $\scriptsize\sf{\sf n^{a-1}=0}$
$\scriptsize\sf{\sf a=1}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf a-1=0}$ より $\scriptsize\sf{\sf n^{a-1}=1}$
$\scriptsize\sf{\sf 1\lt a}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt a-1}$ より $\scriptsize\sf{\sf n^{a-1}=+∞}$
bは正の定数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=1\ \ ,\ \ b=\frac{\pi}{24}\ \ }\end{align*}}$
極限を求める処理は大丈夫ですか？？
∞－∞の不定形を解消するために
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}\end{align*}}$
をかけるのは、よくある手法ですよね。
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- 2011/12/17(土) 23:57:00|
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第2問
次の問いに答えよ．
(1) xが正の数のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\log x|\leqq\frac{|x-1|}{\sqrt x}\end{align*}}$
を示せ.
(2) p、q、rが$\small\sf{\sf p+q+r=1}$ を満たす正の数のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2+r^2\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
を示せ.
(3) a、b、cが相異なる正の数で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a +\sqrt b +\sqrt c=1\end{align*}}$ を満たすとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
を示せ.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{|x-1|}{\sqrt x}-|\log x|\end{align*}}$ とおく。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf 1\leqq x}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf |x-1|=x-1\ ,\ \ |\log x|=\log x}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x-1}{\sqrt x}-\log x\end{align*}}$
xで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ' (x)=\frac{1\cdot \sqrt x-(x-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}}{x}-\frac{1}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x-2\sqrt x+1}{2x\sqrt x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sqrt x-1\right)^2}{2x\sqrt x}\geqq 0\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf 0\lt x\lt 1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\frac{x-1}{\sqrt x}+\log x\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{\left(\sqrt x-1\right)^2}{2x\sqrt x}< 0\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、f(x)の増減表を書くと下の通り。
| x | 0 | ･･･ | 1 | ･･･ |
| f’(x) | ／ | － | 0 | + |
| f(x) | ／ | ↘ | 0 | ↗ |
すべての正の数xに対して、$\scriptsize\sf{\sf f(x)\geqq 0}$ となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\log x|\leqq \frac{|x-1|}{\sqrt x}\end{align*}}$
(2)
コーシー・シュワルツの不等式より
$\scriptsize\sf{\sf (1^2+1^2+1^2)(p^2+q^2+r^2)\geqq (1\cdot p+1\cdot q+1\cdot r)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf p+q+r=1}$ なので、
$\scriptsize\sf{\sf 3(p^2+q^2+r^2)\geqq 1}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2+r^2\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=q=r=\frac{1}{3}\end{align*}}$
のときである。
コーシー・シュワルツの不等式
$\scriptsize\sf{\sf (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2}$
を用いれば一発ですが、思いつかなければ、
普通に1文字を消去して平方完成すればOKです。
(3)
(1)の不等式に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{b}{a}\ \ (>0)\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\log \frac{b}{a}\right|\leqq \frac{\left|\frac{b}{a}-1\right|}{\sqrt \frac{b}{a}}=\frac{|b-a|}{\sqrt{ab}}\end{align*}}$
a≠bより、両辺を|b－a|で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{\log \frac{b}{a}}{b-a}\right|\leqq \frac{1}{\sqrt{ab}}\end{align*}}$
任意の実数Aに対してA≦|A|が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log \frac{b}{a}}{b-a}\leqq \left|\frac{\log \frac{b}{a}}{b-a}\right|\leqq \frac{1}{\sqrt{ab}}\end{align*}}$
両辺×ab（＞0）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ab}{b-a}\ \log \frac{b}{a}\leqq \sqrt{ab}\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{bc}{c-b}\ \log \frac{c}{b}\leqq \sqrt{bc}\ \ ,\ \ \frac{ca}{a-c}\ \log \frac{a}{c}\leqq \sqrt{ca}\end{align*}}$
これら3つの不等式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ab}{b-a}\ \log \frac{b}{a}+\frac{ab}{b-a}\ \log \frac{b}{a}+\frac{ca}{a-c}\ \log \frac{a}{c}\leqq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\end{align*}}$ ････①
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a +\sqrt b +\sqrt c=1\end{align*}}$ の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ a+b+c=1-2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\end{align*}}$ ････②
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a +\sqrt b +\sqrt c=1\end{align*}}$ と(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2=a+b+c\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leqq \frac{1}{3}\end{align*}}$ ････③
①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
ここで、abcは異なる数なので、等号成立は成立しない。
(1)の使い方は、すぐに思い浮かぶでしょう。
(2)をうまく使えるかの勝負です。
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- 2011/12/18(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2007
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第4問
$\small\sf{\sf f(x)=x^3-x}$ とし、ｔを実数とする．xy平面において、曲線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ を
C1とし、直線x=ｔに関してC1と対称な曲線
$\small\sf{\sf y=f(2t-x)}$
をC2とする．
(1) C1とC2が3点で交わるとき、ｔのとりうる値の範囲を求めよ．
(2) ｔが(1)で求めた範囲を動くとき、C1とC2で囲まれた部分の面積S
の最大値を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1とC2の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\sf x^3-x=(2t-x)^3-(2t-x)}$
展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\sf 2\left\{x^3-3tx^2+(6t^2-1)x-4t^3\right\}=0}$
C1とC2は対称軸である直線$\scriptsize\sf{\sf x=t}$ 上で交わるので、
この方程式はx=tを解にもち、次のように因数分解できる。
$\scriptsize\sf{\sf 2(x-t)\left\{x^2-2tx+4t^2-1\right\}=0}$ ･･･①
①が異なる3つの実数解をもつためには、
二次方程式
$\scriptsize\sf{\sf x^2-2tx+4t^2-1=0}$ ････②
が$\scriptsize\sf{\sf x\ne t}$ の異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D/4=t^2-4^2+1\gt 0}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt3}\lt t<\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
一方、②がx=tを解にもつのは、
$\scriptsize\sf{\sf t^2-2t^2+4t^2-1=0}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
以上より、tの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ -\frac{1}{\sqrt3}\lt t<\frac{1}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたtの範囲において、②の方程式を解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=t\pm\sqrt{1-3t^2}\end{align*}}$．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\sqrt{1-3t^2}\end{align*}}$ ････③
とおくと、②の2解は$\scriptsize\sf{\sf x=t\pm p}$ と表せる．
図の対称性を考えると、求める面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_{t}^{t+p}\ \{f\ (2t-x)-f\ (x)\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf X=x-t}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^p\ \{f\ (-X+t)-f\ (X+t)\}\ dX\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^p\ \{\ -(X+t)^3-(X-t)^3+2X\ \}\ dX\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[-\frac{1}{4}(X+t)^4-\frac{1}{4}(X-t)^4+X^2\ \right]_0^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}(p+t)^4-\frac{1}{2}(p-t)^4+2p^2+\frac{1}{2}t^4+\frac{1}{2}t^4\end{align*}}$
展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-p^4-6p^2t^2+2p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-p^2(p^2+6t^2-2)\end{align*}}$
③を代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf S=(3t^2-1)^2}$
となるので、
t=0のとき、Sは最大値1をとる．
考え方は単純ですが、計算がヤヤコシイので、うまく工夫して計算してください。
上の解答では、対称軸がy軸になるように平行移動させるため、置換積分を行っています。
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- 2011/12/20(火) 23:57:00|
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第5問
nを2以上の自然数とする．4個の行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ \ \ B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf C=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\-1 & 1 \\1 & -1 \end{array}\right)\ \ \ \ D=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) \end{align*}}$
を重複を許してn個並べたものを
M1、M2、･･･、Mn
とする．
(1) 積M1M2･･･Mnが定義できる場合は何通りあるか．その数をnの式で表せ．
(2) 積M1M2･･･Mnが定義できて、その積が零行列でない2×3行列となる
場合は何通りあるか．その数をnの式で表せ．
(3) 積M1M2･･･Mnが定義できて、その積が零行列とならない場合は何通り
あるか．その数をnの式で表せ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
p×q行列全体の集合をM(p，q)、その要素をm(p，q)と書くことにする．
2つの行列m(p，q)とm(s，r)の積が定義できるのは、
q=rのときであり、このときの積はM(p，s)に属する．
A∈M(2，2)、B∈M(2，3)、C∈M(3，2)、D∈M(3，3)なので、
積が定義できるのは、
m(2，2) m(2，2)∈M(2，2) m(2，2) m(2，3)∈M(2，3)
m(2，3) m(3，2)∈M(2，2) m(2，3) m(3，3)∈M(2，3)
m(3，2) m(2，2)∈M(3，2) m(3，2) m(2，3)∈M(3，3)
m(3，3) m(3，2)∈M(3，2) m(3，3) m(3，3)∈M(3，3)
すなわち、
m(2，2)のすぐ後ろは、m(2，2)またはm(2，3)の2通り
m(2，3)のすぐ後ろは、m(3，2)またはm(3，3)の2通り
m(3，2)のすぐ後ろは、m(2，2)またはm(2，3)の2通り
m(3，3)のすぐ後ろは、m(3，2)またはm(3，3)の2通り
よって、積M1M2･･･Mnに関して、
M1はA、B、C、Dの4通りあり、
M2～Mnはそれぞれ2通りずつ考えられるので、
M1M2･･･Mnが定義できる場合は全部で、
4×2n-1=2n+1通りである。
(2)
A、B、C、Dについて積が定義できるのは、下の8通り．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AA=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}=B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BC=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1&-1 \end{matrix} \right )=\left (\begin{matrix}0 &0 \\ 0 &0 \end{matrix} \right )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{matrix} \right )=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}=B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CA=\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1 &-1 \end{matrix} \right )\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1 &-1 \end{matrix} \right )=C\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CB=\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1&-1 \end{matrix} \right )\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1 &\sf 1\end{pmatrix}=\left (\begin{matrix}1 &0 &-1 \\ -1 &0 &1 \\ 1&0&-1\end{matrix} \right )\end{align*}}$ これをD'とおく．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DC=\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right )\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1&-1 \end{matrix} \right )=\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1&-1 \end{matrix} \right )=C\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DD=\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right )\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right )=\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right )=D\end{align*}}$
D'については、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D'C=\left (\begin{matrix}1 &0 &-1 \\ -1 &0 &1 \\ 1&0&-1\end{matrix} \right )\left (\begin{matrix}1 &-1 \\ -1 &1 \\ 1&-1 \end{matrix} \right )=\left (\begin{matrix}0 &0 \\0&0 \\ 0&0 \end{matrix} \right )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D'D=\left (\begin{matrix}1 &0 &-1 \\ -1 &0 &1 \\ 1&0&-1\end{matrix} \right )\left (\begin{matrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right )=\left (\begin{matrix}1 &0 &-1 \\ -1 &0 &1 \\ 1&0&-1\end{matrix} \right )=D'\end{align*}}$
積M1M2･･･Mnが零行列でない2×3行列となるのは、
M1M2･･･Mn=B
となるときであるから、次の3通りの場合が考えられる．
(ア) AとBのみの場合
AAA････AAAB=B の1通り．
(イ) BとDのみの場合
BDDD････DDD=B の1通り．
(ウ) AとBとDのみの場合
A････ABD････D=B
Bの位置はM2からMn-1まで考えられるので、n-2通り．
(ア)～(ウ)より、
積M1M2･･･Mnが零行列でない2×3行列となるのは、
全部で n通り ある．
(3)
M1M2･･･Mn=A となるのは、AAA･･･AA=A の1通り．
M1M2･･･Mn=D となるのは、DDD･･･DD=D の1通り．
M1M2･･･Mn=B となるのは、(2)より n通り．
M1M2･･･Mn=C となるのは、
DDD････DDDC=C または
CAA････AAAA=C または
D･･･DCA･･･A=C
の場合が考えられ、(2)と同様にn通りある．
M1M2･･･Mn=D'となるときを考える．
Mk=Bとすると、
積M1M2･･･Mk-1=Cかつ、
Mk+1=Mk+2=･･･=Mn=D
であればよい．
ここで、kの範囲は、Bの位置を考えると、
2≦k≦n
であり、それぞれのkに対して、
M1M2･･･Mk-1=Cとなるのは、
k-1通りの場合が考えられるので、その総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\ (k-1)=\sum_{k=1}^{n-1}\ k=\frac{1}{2}\ n(n-1)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+1+n+n+\frac{1}{2}\ n(n-1)=\underline{\ \frac{1}{2}\left(n^2+3n+4\right)\ \ }\end{align*}}$ 通り
考えにくい問題ですねぇ。
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- 2011/12/21(水) 23:57:00|
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