第1問
t、x、y、z、wを実数とする。座標平面上の4つのベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=\left(2,3t-1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=\left(1,-t \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf r}=\left( x,y\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf s}=\left(z,w \right)\end{align*}}$
について、次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を考える。
(ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$のなす角$\small\sf{\alpha}$ は不等式0＜$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす。
(ⅱ) 内積についての等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf r}=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf r}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf s}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf s}=1\end{align*}}$
がすべて成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) (ⅰ)が成り立つようなtの取り得る値の範囲を求めよ。
(2) (ⅰ)と(ⅱ)が成り立つとき、x、y、z、wをtの式で表せ。
(3) (ⅰ)と(ⅱ)が成り立つとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf s}\end{align*}}$のなす角$\small\sf{\beta}$ は不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt \beta\lt\pi\end{align*}}$ を満たすことを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
条件(ⅰ)を満たすとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}}{|\overrightarrow{\sf p}||\overrightarrow{\sf q}|}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}<|\overrightarrow{\sf p}||\overrightarrow{\sf q}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<2-t\left(3t-1 \right)<\sqrt{2^2+\left(3t-1 \right)^2}\ \sqrt{1^2+t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<-3t^2+t+2<\sqrt{9t^2-6t+5}\ \sqrt{t^2+1}\end{align*}}$
前の2項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<-3t^2+t+2=-\left(3t+2 \right)\left(t-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{2}{3}\lt t<1\end{align*}}$
このとき、後ろの2項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-3t^2+t+2\right)^2<\left(9t^2-6t+5\right)\left( t^2+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9t^4-6t^3-11t^2+4t+4<9t^4-6t^3+14t^2-6t+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 25t^2-10t+1=\left(5t-1 \right)^2>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\ne \frac{1}{5}\end{align*}}$
以上より、条件(ⅰ)を満たすtの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{2}{3}\lt t<\frac{1}{5}\ \ ,\ \ \frac{1}{5}\lt t<1\ }\end{align*}}$
(2)
条件(ⅱ)を満たすとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf r}=2x+\left(3t-1 \right)y=1\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf r}=x-ty=0\end{align*}}$ ……②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf s}=2z+\left(3t-1 \right)w=0\end{align*}}$ ……③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf s}=z-tw=1\end{align*}}$ ……④
①－②×2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(5t-1 \right)y=1\end{align*}}$
条件(ⅰ)より5t－1≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{1}{5t-1}\ }\end{align*}}$ ．
これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{t}{5t-1}\ }\end{align*}}$ ．
同様に③、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ z=\frac{3t-1}{5t-1}\ \ ,\ \ w=-\frac{2}{5t-1}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf r}\cdot\overrightarrow{\sf s}=xz+yw\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t}{5t-1}\cdot\frac{3t-1}{5t-1}+\frac{1}{5t-1}\cdot\frac{-2}{5t-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3t^2-t-2}{5t-1}<0\end{align*}}$ ←(1)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\beta=\frac{\overrightarrow{\sf r}\cdot\overrightarrow{\sf s}}{|\overrightarrow{\sf r}||\overrightarrow{\sf s}|}<0\end{align*}}$
より、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$
が成り立つ。
内積の計算です。
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\log\left(1+x^2 \right)dx\end{align*}}$
の値を求めよ。
(2) 自然数nに対して、n個の数n2+k2 （k=1，2，…，n）の積
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left(n^2+1^2 \right)\left(n^2+2^2 \right)\ldots\ldots\left(n^2+n^2 \right)\end{align*}}$
を考える。極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
求める定積分をＩとおくと、部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^1\log\left(1+x^2 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[x\log\left(1+x^2 \right)\bigg]_0^1-\int_0^1x\cdot\frac{2x}{1+x^2}+ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right) dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2+2\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\tan\theta\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\end{align*}}$
なので、積分区間も考慮に入れると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx=\int_0^{\pi /4}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\left(1+\tan^2\theta \right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /4}d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \rm I\sf =\log 2-2+\frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$
(2)
自然対数を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}=\frac{1}{n}\log\frac{a_n}{\left( n^2\right)^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\log\frac{\left(n^2+1^2 \right)\left(n^2+2^2 \right)\ldots\ldots\left(n^2+n^2 \right)}{\left( n^2\right)^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1^2}{n^2} \right)\left(1+\frac{2^2}{n^2} \right)\ldots\ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\left\{\log\left(1+\frac{1^2}{n^2} \right)+\log\left(1+\frac{2^2}{n^2} \right)+\ldots \ldots+\log\left(1+\frac{n^2}{n^2} \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left\{1+\left(\frac{k}{n} \right)^2\right\}\end{align*}}$
となるので、n→∞とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left\{1+\left(\frac{k}{n} \right)^2\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\log\left(1+x^2 \right)\end{align*}}$ ←区分求積法
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ←(1)より
関数exは連続関数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\log\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{\log 2-2+\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2e^{-2+\frac{\pi}{2}}\ }\end{align*}}$
この大問が一番難しいと思います。
(1)の結論を利用するために、(2)で自然対数をとるところがミソです。
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\sin^3x}{2\cos x+3}\end{align*}}$
を考える。
(1) 区間$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq\pi}$ におけるf(x)の最大値を求めよ。
(2) xy平面上の曲線$\small\sf{\sf y=f(x)\ \ （0\leqq x\leqq\pi)}$ とx軸で囲まれた図形の
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3\sin^2x\cos x\left(2\cos x+3 \right)-\sin^3x\cdot\left(-2\sin x \right)}{\left(2\cos x+3 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^2x\left(6\cos^2 x+9\cos x+2\sin^2 x \right)}{\left(2\cos x+3 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^2x\left\{6\cos^2 x+9\cos x+2\left(1-\cos^2 x\right) \right\}}{\left(2\cos x+3 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^2x\left(4\cos^2 x+9\cos x+2\right)}{\left(2\cos x+3 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^2x\left(4\cos x+1\right)\left(\cos x+2\right)}{\left(2\cos x+3 \right)^2}\end{align*}}$
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲に4cosx+1=0となるxがただ1つ存在し、
この値をAとおくと、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲におけるf(x)の増減は
次のようになる。
よって、この範囲におけるf(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{max}=f(A)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3A}{2\cos A+3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left( \sqrt{1-\cos^2A}\right)^3}{2\cos A+3}\ \ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq A\leqq \pi \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left( \sqrt{1-\left( -\frac{1}{4}\right)^2}\right)^3}{2\cdot \left( -\frac{1}{4}\right)+3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3\sqrt{15}}{32}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)の増減表より、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で常にf(x)≧0なので、
曲線y=f(x)とx軸で囲まれる図形の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi}f(x)\ dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin^3x}{2\cos x+3}\ dx\end{align*}}$
で求められる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=2\cos x+3\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-2\sin x\end{align*}}$
であり、x：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ に対してt：5→1と対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_5^1\frac{\sin ^3x}{t}\cdot\frac{dt}{-2\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_1^5\frac{\sin^2x}{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_1^5\frac{1-\cos^2x}{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_1^5\frac{1-\left( \frac{t-3}{2}\right)^2}{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\int_1^5\left(-t+6-\frac{5}{t}\right) dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left[-\frac{1}{2}t^2+6t-5\log t\right]_1^5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}-\frac{5}{8}\log 5\ }\end{align*}}$
よくある
(1) 微分して増減表
(2) 積分で面積
ってパターンのヤツです。
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第4問
5つの箱A1、A2、A3、A4、A5があり、それぞれの箱に少なくとも
1個の玉が入っているとき、次の操作(*)を考える。
(*) 1から5までの5枚のカードを用意する。この中から1枚のカード
を引いてそのカードの番号をmとし、残りの4枚のカードからもう
1枚のカードを引いてそのカードの番号をnとするとき、箱Amから
箱Anへ1個の玉を移す。
(1) 操作(*)を1回行ったあとで、A1の中の玉の個数が、1だけ減る確
率をp、1だけ増える確率をq、変わらない確率をrとする。p、q、rの
値を求めよ。
(2) A1、A2、A3、A4、A5のそれぞれに5個ずつ玉が入っているとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(ⅰ) 操作(*)を5回行ったあとで、A1、A2、A3、A4、A5のいずれかの
箱の中の玉の個数が0になる確率を求めよ。
(ⅱ) 操作(*)を3回行ったあとで、A1の中の玉の個数が5である確率を
求めよ。
(ⅲ) 操作(*)を5回行ったあとで、A1の中の玉の個数が5である確率を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
操作(*)を1回行ったあとで、A1の中の玉の個数が、
1だけ減る事象をP
1だけ増える事象をQ
変わらない事象をR
とする。
(1)
事象Pが起こるのは、m=1のときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\underline{\ \frac{1}{5}\ }\end{align*}}$
事象Qが起こるのは、m≠1かつn=1のときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{1}{5}\ }\end{align*}}$
事象Rが起こるのは、事象PおよびQが起こらないときなので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=\underline{\ \frac{3}{5}\ }\end{align*}}$
(2)
(ⅰ)操作(*)を5回行ったあとで、A1の箱の中の玉の個数が
0になるのは、事象Pが5回続けて起こるときなので、
その確率は、p5である。
他の箱A2～A5についても同様に考えられるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5p^5=\left(\frac{1}{5}\right)^4=\underline{\ \frac{1}{625}\ }\end{align*}}$
(ⅱ)操作(*)を3回行ったあとで、A1の箱の中の玉の個数が
5になるのは、次の2つの場合がある。
・事象Rが3回続けて起こるとき
・事象P、Q、Rが1回ずつ起こるとき
よって求める確率は、順序も考慮に入れると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^3+pqr\cdot 3!=\left( \frac{3}{5}\right)^3+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot 6=\underline{\ \frac{9}{25}\ }\end{align*}}$
(ⅲ)操作(*)を5回行ったあとで、A1の箱の中の玉の個数が
5になるのは、次の3つの場合がある。
・事象Rが5回続けて起こるとき
・事象P、Qが1回ずつ、事象Rが3回起こるとき
・事象P、Qが2回ずつ、事象Rが1回起こるとき
よって求める確率は、順序も考慮に入れると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^5+pqr^3\cdot \frac{5!}{3!}+p^2q^2r\cdot \frac{5!}{2!2!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{3}{5}\right)^5+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot 20+\left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot\frac{3}{5}\cdot 30\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{873}{3125}\ }\end{align*}}$
(1)がヒントになってます。
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