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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都工芸繊維大 後期数学1



第1問

  t、x、y、z、wを実数とする。座標平面上の4つのベクトル
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=\left(2,3t-1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=\left(1,-t \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf r}=\left( x,y\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf s}=\left(z,w \right)\end{align*}}$
  について、次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を考える。
    (ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$のなす角$\small\sf{\alpha}$ は不等式0<$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす。
    (ⅱ) 内積についての等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf r}=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf r}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf s}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}\cdot\overrightarrow{\sf s}=1\end{align*}}$
       がすべて成り立つ。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) (ⅰ)が成り立つようなtの取り得る値の範囲を求めよ。

 (2) (ⅰ)と(ⅱ)が成り立つとき、x、y、z、wをtの式で表せ。

 (3) (ⅰ)と(ⅱ)が成り立つとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf s}\end{align*}}$のなす角$\small\sf{\beta}$ は不等式
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt \beta\lt\pi\end{align*}}$ を満たすことを証明せよ。




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  1. 2015/06/05(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2015
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2015京都工芸繊維大 後期数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) 定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\log\left(1+x^2 \right)dx\end{align*}}$
    の値を求めよ。

 (2) 自然数nに対して、n個の数n2+k2 (k=1,2,…,n)の積
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left(n^2+1^2 \right)\left(n^2+2^2 \right)\ldots\ldots\left(n^2+n^2 \right)\end{align*}}$
    を考える。極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[\sf n]{\sf a_n}}{n^2}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2015/06/06(土) 23:57:00|
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2015京都工芸繊維大 後期数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\sin^3x}{2\cos x+3}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 区間$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq\pi}$ におけるf(x)の最大値を求めよ。

 (2) xy平面上の曲線$\small\sf{\sf y=f(x)\ \ (0\leqq x\leqq\pi)}$ とx軸で囲まれた図形の
    面積を求めよ。



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  1. 2015/06/07(日) 23:57:00|
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2015京都工芸繊維大 後期数学4



第4問

  5つの箱A1、A2、A3、A4、A5があり、それぞれの箱に少なくとも
  1個の玉が入っているとき、次の操作(*)を考える。

  (*) 1から5までの5枚のカードを用意する。この中から1枚のカード
     を引いてそのカードの番号をmとし、残りの4枚のカードからもう
     1枚のカードを引いてそのカードの番号をnとするとき、箱Amから
     箱Anへ1個の玉を移す。

 (1) 操作(*)を1回行ったあとで、A1の中の玉の個数が、1だけ減る確
    率をp、1だけ増える確率をq、変わらない確率をrとする。p、q、rの
    値を求めよ。

 (2) A1、A2、A3、A4、A5のそれぞれに5個ずつ玉が入っているとする。
    このとき、次の問いに答えよ。
  (ⅰ) 操作(*)を5回行ったあとで、A1、A2、A3、A4、A5のいずれかの
     箱の中の玉の個数が0になる確率を求めよ。

  (ⅱ) 操作(*)を3回行ったあとで、A1の中の玉の個数が5である確率を
     求めよ。

  (ⅲ) 操作(*)を5回行ったあとで、A1の中の玉の個数が5である確率を
     求めよ。



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  1. 2015/06/08(月) 23:57:00|
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