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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都工芸繊維大 前期数学1



第1問

  xyz空間の3点O(0,0,0)、A(0,0,1)、B(2,4,-1)を考える。
  直線AB上の点C1、C2はそれぞれ次の条件を満たす。
   直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ はCがC1に一致するとき最小となる。
   直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ はCがC2に一致するとき最大となる。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC_1}\cdot\overrightarrow{\sf OC_1}\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (3) 2つの三角形△AC1Oと△AOC2は相似であることを示せ。



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  1. 2015/06/01(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2015
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2015京都工芸繊維大 前期数学2



第2問

  eを自然対数の底とする。xy平面上で、曲線y=e2xの、点(t,e2t)
  Lにおける接線をLtとし、点(s,e2s)における接線をLsとする。Ls
  傾きがLtの傾きのe倍に等しいとする。

 (1) LtとLsの交点をtを用いて表せ。

 (2) Lsを、y軸に関して対称移動して得られる直線をLとする。Lと直線
    x=tとの交点をPtとする。Ptのy座標をtを用いて表せ。

 (3) aを正の実数とする。tが0≦t≦aの範囲を動くとき、(2)で定めた
    Ptが描く曲線をCとする。Cとx軸および直線x=aで囲まれた図形
    の面積を求めよ。




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  1. 2015/06/02(火) 23:57:00|
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2015京都工芸繊維大 前期数学3



第3問

  次の問いに答えよ

 (1) 0<x<2$\small\sf{\pi}$ の範囲において、方程式sin5x=sinxの解を
    をすべて求めよ。

 (2) (1)で求めた解のうちで最小のものをaとする。曲線
       y=sin5x-sinx (0≦x≦a)
    とx軸で囲まれた図形を、x軸のまわりに1回転してできる
    回転体の体積を求めよ。
   



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  1. 2015/06/03(水) 23:57:00|
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2015京都工芸繊維大 前期数学4



第4問

  次の問いに答えよ。

 (1) 数列{an}が次の条件を満たしているとき{an}の一般項を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n}+a_{n+1}-\frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$

 (2) 数列{bn}が次の条件を満たしているとき{bn}の一般項を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=2\ \ ,\ \ b_{n}+b_{n+1}-\frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$



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  1. 2015/06/04(木) 23:57:00|
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