第1問
xyz空間の3点O(0，0，0)、A(0，0，1)、B(2，4，－1)を考える。
直線AB上の点C1、C2はそれぞれ次の条件を満たす。
直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ はCがC1に一致するとき最小となる。
直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ はCがC2に一致するとき最大となる。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC_1}\cdot\overrightarrow{\sf OC_1}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 2つの三角形△AC1Oと△AOC2は相似であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点Cは直線AB上の点なので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\left(1-s \right)\overrightarrow{\sf OA}+s\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-s \right)\left(0,0,1 \right)+s\left(2,4,-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2s,4s,1-2s \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf OC}-\ \overrightarrow{\sf OA}=\left(2s,4s,-2s \right)\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OC}\right|^2=\left(2s \right)^2+\left( 4s\right)^2+\left(1-2s \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =24s^2-4s+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =24\left(s-\frac{1}{12}\right)^2+\frac{5}{6}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{12}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ は最小となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf OC_1}|=\sqrt{\frac{5}{6}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
また、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_1}=\left(\frac{1}{6}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ \frac{5}{6} \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC_1}=\left(\frac{1}{6}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ -\frac{1}{6} \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC_1}\cdot\overrightarrow{\sf OC_1}=\frac{1}{36}+\frac{1}{9}-\frac{5}{36}=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf AC}\right|^2=\left(2s \right)^2+\left( 4s\right)^2+\left(-2s \right)^2=24s^2\end{align*}}$
より、s=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|^2}{|\overrightarrow{\sf OC}|^2}=0\end{align*}}$ ．
一方、s≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|^2}{|\overrightarrow{\sf OC}|^2}=\frac{24s^2}{24s^2-4s+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{24}{24-\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{24}{\left(\frac{1}{s}-2\right)^2+20}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s}=2\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のときに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ が最大となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC_2}|}{|\overrightarrow{\sf OC_2}|}=\sqrt{\frac{24}{20}}=\underline{\ \sqrt{\frac{6}{5}}\ \ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
また、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_2}=\left(1\ ,\ 2\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}=\left(0\ ,\ 0\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC_2}=0+0+0=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より、
∠AC1O=∠AOC2=90°
∠C1AO=∠OAC2
なので、△AC1Oと△AOC2は相似である。
(2)は、sで微分しても構いませんが、上のように処理できると楽です。
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第2問
eを自然対数の底とする。xy平面上で、曲線y=e2xの、点(t，e2t)
Lにおける接線をLtとし、点(s，e2s)における接線をLsとする。Lsの
傾きがLtの傾きのe倍に等しいとする。
(1) LtとLsの交点をtを用いて表せ。
(2) Lsを、y軸に関して対称移動して得られる直線をLとする。Lと直線
x=tとの交点をPtとする。Ptのy座標をtを用いて表せ。
(3) aを正の実数とする。tが0≦t≦aの範囲を動くとき、(2)で定めた
Ptが描く曲線をCとする。Cとx軸および直線x=aで囲まれた図形
の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
y=e2xの導関数は、y’=2e2xなので、
Lsの傾きがLtの傾きのe倍に等しいとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{2s}=e\cdot e^{2t}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2s=2t+1\ \ \Leftrightarrow\ \ s=t+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)
(1)
接線Lt、Lsの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_t:\ y-e^{2t}=2e^{2t}\left(x-t \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(2x-2t+1 \right)e^{2t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_s:\ y=\left(2x-2s+1 \right)e^{2s}=\left(2x-2t \right)e^{2t+1} \end{align*}}$
となり、これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2x-2t+1 \right)e^{2t}=\left(2x-2t \right)e^{2t}\cdot e\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x-2t+1 =e\left(2x-2t \right)\end{align*}}$ ←両辺÷e2t （≠0）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=t+\frac{1}{2\left(e-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left\{2\left( t+\frac{1}{2\left(e-1 \right)}\right)-2t+1 \right\}e^{2t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{e-1 }+1 \right)e^{2t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^{2t+1}}{e-1}\end{align*}}$
となるので、これら2本の接線の交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(t+\frac{1}{2\left(e-1 \right)}\ ,\ \frac{e^{2t+1}}{e-1}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
LはLsをy軸についた対称移動させたものなので、その方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=\left(-2x-2t\right)e^{2t+1}\end{align*}}$
となり、x=tのときのyの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(-2t-2t\right)e^{2t+1}=\underline{\ -4te^{2t+1}\ }\end{align*}}$
(3)
点Ptの座標を(X，Y)とおくと、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(X\ ,\ Y \right)=\left(t\ ,\ -4te^{2t+1}\right)\ \ \ \ \left(0\leqq t\leqq a \right)\end{align*}}$
となり、これらからtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=-4Xe^{2X+1}\ \ \ \ \left(0\leqq X\leqq a \right)\end{align*}}$ ．
よって、曲線Cの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-4xe^{2x+1}\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq a \right)\end{align*}}$
となり、e2x+1＞0なので、Cはx軸より下側にある。
Cとx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^a4xe^{2x+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4e\left\{ \left[ \frac{1}{2}xe^{2x}\right]_0^a-\int_0^a\frac{1}{2}e^{2x}dx\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2e\left[ \left(x- \frac{1}{2}\right)e^{2x}\right]_0^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left( 2a-1\right)e^{2a+1}+e\ }\end{align*}}$
上から順に計算していきましょう、
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第3問
次の問いに答えよ
(1) 0＜x＜2$\small\sf{\pi}$ の範囲において、方程式sin5x=sinxの解を
をすべて求めよ。
(2) (1)で求めた解のうちで最小のものをaとする。曲線
y=sin5x－sinx （0≦x≦a）
とx軸で囲まれた図形を、x軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
和→積の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin 5x=\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos 3x=0\ \ \ or\ \ \ \sin2x=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cdot\ \cos 3x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3x=\frac{\pi}{2}+m\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{6}+\frac{m\pi}{3}\end{align*}}$ （m：整数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cdot\ \sin 2x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{n\pi}{2}\end{align*}}$ （n：整数）
題意より0＜x＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{5}{6}\pi\ ,\ \pi\ ,\ \frac{7}{6}\pi\ ,\ \frac{3}{2}\pi\ ,\ \frac{11}{6}\pi\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ なので、求める体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\pi/ 6}\left(\sin 5x-\sin x \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\pi/ 6}\left(\sin^2 5x-2\sin 5x\sin x+\sin^2x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\pi/ 6}\left\{\frac{1-\cos 10x}{2}+(cos 6x-\cos 4)+\frac{1-\cos2x}{2}\right\}dx\end{align*}}$ ←和積と半角
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/ 6}\left(-\cos 10x+2\cos 6x-2\cos 4x-\cos 2x+2 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[-\frac{1}{10}\sin 10x+\frac{1}{3}\sin 6x-\frac{1}{2}\sin 4x-\frac{1}{2}\sin 2x+2x \right]_0^{\pi/ 6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(-\frac{1}{10}\sin\frac{5}{3}\pi+\frac{1}{3}\sin\pi-\frac{1}{2}\sin\frac{2}{3}\pi-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi^2}{6}-\frac{9\sqrt3}{40}\pi\ }\end{align*}}$
和・積の公式を知らないと厳しいでしょうね。
(1)に関しては、
sin5x=sin(3x+2x)=sin3xcos2x+cos3xsin2x
と、加法定理で外した後、倍角と3倍角の公式で処理すれば
解けますが、計算が面倒です。
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- 2015/06/03(水) 23:57:00|
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 数列{an}が次の条件を満たしているとき{an}の一般項を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n}+a_{n+1}-\frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
(2) 数列{bn}が次の条件を満たしているとき{bn}の一般項を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=2\ \ ,\ \ b_{n}+b_{n+1}-\frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}+a_{n+1}-\frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n}+a_{n+1}-\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}-\frac{1}{n+1} =-\left(a_n-\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n-\frac{1}{n} \right\}\end{align*}}$ は公比－1の等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{1}{n}=\left(-1 \right)^{n-1}\left( a_1-\frac{1}{1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\frac{1}{n}+\left(-1 \right)^{n-1}\left( a_1-1\right)\end{align*}}$ ……(#)
題意より、a1=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{n}\ }\end{align*}}$
(2)
(#)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{n}+\left(-1 \right)^{n-1}\left( b_1-1\right)\end{align*}}$
と変形でき、b1=2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b_n=\frac{1}{n}+\left(-1 \right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2n+1}{n\left(n+1 \right)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
に気づけば、まぁ自然な流れです。
気づかない場合は、
a2、a3、a4、・・・と求めて、一般項を類推し、それを帰納法で示す
といった方法でしょうか。
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- 2015/06/04(木) 23:57:00|
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