第1問
次の問いに答えよ。
(1) mを整数とし、不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int x^m\log x\ dx\end{align*}}$
を計算せよ。ただし、積分定数は省略してよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
m≠－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\log x-\int\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\log x-\frac{1}{m+1}\int x^m\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\log x-\frac{x^{m+1}}{\left(m+1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x^{m+1}}{\left(m+1\right)^2}\left\{\left(m+1 \right)\log x-1 \right\}\ }\end{align*}}$
m=－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int\frac{1}{x}\cdot \log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x \cdot\log x-\int\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\log x \right)^2-I\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ I=\frac{1}{2}\left(\log x \right)^2\ }\end{align*}}$
部分積分です。
m=－1のときは別で計算する必要があります。
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- 2015/06/15(月) 23:54:00|
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第1問
次の問いに答えよ。
(2) nを3以上の自然数とする。正n角形の頂点から相異なる3点を
選んで三角形を作るとき、その三角形が二等辺三角形となる
場合の数をanとする。
(ⅰ) a6、a7をそれぞれ求めよ。
(ⅱ) 自然数kに対して、a6k、a6kをそれぞれkを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正n角形の頂点を順にA0～An-1とし、中心をOとする。
(ⅰ)
・n=6のとき
できる二等辺三角形のうち、A0を二等辺三角形の頂点とするものは、
△A0A1A5、 △A0A2A4
の2個あり、他の頂点についても同様なので、全部で
2×6=12個
このうち、△A0A2A4、△A1A3A5の2個は正三角形であり、それぞれ
3回ずつ数えられているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{6}=12-2\times 2=\underline{\ 8\ }\end{align*}}$
・n=7のとき
できる二等辺三角形のうち、A0を二等辺三角形の頂点とするものは、
△A0A1A6、 △A0A2A5、 △A0A3A4
の3個あり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle A_0OA_{k}=\frac{360^{\circ }}{7}\times k\ne 120^{\circ}\ \ \ \ \left( k=1,2,3\right)\end{align*}}$
より、これらはいずれも正三角形ではない。
他の頂点についても同様なので、全部で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{7}=3\times 7=\underline{\ 21\ }\end{align*}}$
(ⅱ)
・n=6kのとき
できる二等辺三角形のうち、A0を二等辺三角形の頂点とするものは、
△A0A1A6k-1、△A0A2A6k-2、……、△A0A3k-1A3k+1
の3k－1個あり、他の頂点についても同様なので総数は
6k(3k－2)個．
このうち、
△A0A2kA4k、△A1A2k+1A4k+1、……、△A2k-1A4k-1A6k-1
の2k個は正三角形であり、それぞれ3回ずつ数えられているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{6k}=6k\left(3k-2 \right)-2k\times 2=\underline{\ 18k^2-10k\ }\end{align*}}$
・n=6k+1のとき
できる二等辺三角形のうち、A0を二等辺三角形の頂点とするものは、
△A0A1A6k、 △A0A2A6k-1、……、△A0A3kA3k+1
の3k個あり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle A_0OA_{m}=\frac{360^{\circ }}{6k+1}\times m\ne 120^{\circ}\ \ \ \ \left( m=1,2,\ldots ,3k\right)\end{align*}}$
より、これらはいずれも正三角形ではない。
他の頂点についても同様なので、全部で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{6k+1}=3k\left(6k+1\right)=\underline{\ 18k^2+3k\ }\end{align*}}$
正三角形の処理に注意が必要です。
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- 2015/06/15(月) 23:57:00|
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) x≧0のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^2}{2}\leqq\log\left(1+x \right)\leqq x\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\log\left(n\log n+1 \right)+\log\left(n\log n+\sqrt2 \right)+\ldots \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\log\left(n\log n+\sqrt n\right)-n\log\left(n\sqrt n\right)\end{align*}}$
と定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n \end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x≧0において関数f(x)、h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\log\left(1+x \right)-\left(x-\frac{x^2}{2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=x-\log\left(1+x \right)\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geqq 0\ \ \ \left(\because\ x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\geqq 0\ \ \ \left(\because\ x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
となるので、f(x)、h(x)ともに単調増加関数である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\log 1-0=0\ \ ,\ \ h(0)=0-\log 1=0\end{align*}}$
なので、x≧0の範囲で常にf(x)≧0、h(x)≧0となる。
よって、x≧0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^2}{2}\leqq \log\left(1+x \right)\leqq x\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\log\left(n\log n+\sqrt k \right)-\sum_{k=1}^n\log\left(n\sqrt n\right)=\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \right)\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \leqq 0\end{align*}}$ なので(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\right)^2 \leqq \log\left(1+\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \right)\leqq \frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \end{align*}}$ ．
この不等式は、k=1，2，…，nに対して成り立つので和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left\{\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\right)^2\right\} \leqq \sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \right)\leqq \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}} -\frac{1}{2n^3}\sum_{k=1}^n k\leqq S_n\leqq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}} \end{align*}}$ ．
n→∞とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}=\int_0^1\sqrt{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^3}\sum_{k=1}^n k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{1}{2n^3}\cdot\frac{1}{2}n\left(n+1 \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ．
はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{2}{3}\ }\end{align*}}$
(2)は(1)をうまく利用しましょう。
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- 2015/06/16(火) 23:57:00|
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第3問
a＞0、b＞0とし、座標平面において、双曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
を曲線Cとする。曲線Cの漸近線のうち傾きが正の漸近線をLとし、
曲線C上の点P(p，q)における曲線Cの接線をmとする。ただし、
p＜0、q＞0とする。また、漸近線Lと接線mの交点をQとし、接線
mとx軸の交点をRとする。原点をOとするとき、次の問いに答えよ。
(1) 漸近線Lの方程式をa、bを用いて表せ。
(2) 接線mの方程式をa、b、pを用いて表せ。
(3) 三角形OQRの面積S(p)をpを用いて表せ。
(2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow\infty}S(p)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Cの漸近線の方程式は 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\mp\frac{b}{a}\ x\end{align*}}$
であり、Lは傾きが正なので、a＞0、b＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{b}{a}\ x\ }\end{align*}}$
(2)
点P(p，q)におけるCの接線mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1\end{align*}}$
と表せる。
ここで、PはC上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^2}{a^2}-\frac{q^2}{b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{b}{a}\sqrt{p^2-a^2}\ \ \ \ \left(\because\ a>0\ ,\ b>0\ ,\ q>0 \right)\end{align*}}$ ．
よって、mの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{p}{a^2}\ x-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}\ y=1\ }\end{align*}}$
(3)
Lとmの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{a^2}\ x-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}\cdot\frac{b}{a}\ x=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( p-\sqrt{p^2-a^2}\right)x=a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a^2}{p-\sqrt{p^2-a^2}}=\frac{a^2\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)}{p^2-\left(p^2-a^2 \right)}=p+\sqrt{p^2-a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)\end{align*}}$
となるので、LとMの交点Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(p+\sqrt{p^2-a^2}\ ,\ \frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)\right)\ }\end{align*}}$
(3)
mのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{a^2}\ x-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}\cdot 0=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a^2}{p}\ \ \ \ \left(\because\ a\ne 0 \right)\end{align*}}$
なので、△OQRの面積S(p)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(p)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{p}\cdot\frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{ab}{2p}\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow\infty}S(p)=\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{ab}{2p}\left(p+\sqrt{p^2-a^2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{ab}{2}\left\{1+\sqrt{1-\left( \frac{a}{p}\right)^2} \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ab}{2}\cdot \left(1+\sqrt{1-0} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ ab\ }\end{align*}}$
(2) 接線の公式は大丈夫ですか？
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- 2015/06/17(水) 23:57:00|
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第4問
座標平面上に、原点Oおよび2点A(2，1)、B(0，1)がある。原点O
を通り、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ =(2，－1)を方向ベクトルとする直線をLとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおき、s、tを実数として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ で与えられる
点Pおよび、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ で与えられる点Qを考える。このとき、次の
問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) ∠POQが直角となるs、tの条件を求めよ。
(3) 直線PQと直線Lの交点をRとし、実数ｋを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\ \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ とする。
このとき、kをs、tを用いて表せ。
(4) ∠POQが直角となる条件のもと、三角形POQの面積Fが最小となる
ときのkの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、実数u1、u2を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}=u_1\overrightarrow{\sf a}+u_2\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表すことができる。これに成分を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2\ ,\ -1 \right)=u_1\left(2\ ,\ 1 \right)+u_2\left(0\ ,\ -1 \right)=\left(2u_1\ ,\ u_1-u_2 \right)\end{align*}}$
となり、両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u_1=1\ \ ,\ \ u_2=2\end{align*}}$
を得る。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf u}=\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf u}=\left(2s+2\ ,\ -s+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf u}=\left(2t\ ,\ -t-1 \right)\end{align*}}$
であり、∠POQ=90°より、これら2つのベクトルの内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\left(2s+2 \right)\cdot 2t+\left(-s+1 \right)\left(-t-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 5st+s+3t-1=0\ }\end{align*}}$
(3)
3点P、Q、Rは一直線上にあるので、実数vを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=v\overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}=v\left(\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2k\ ,\ -k \right)-\left(2s+2\ ,\ -s+1\right)=v\bigg\{\left(2t\ ,\ -t-1 \right)-\left(2s+2\ ,\ -s+1\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2k-2s-2\ ,\ -k+s-1 \right)=v\left( -2s+2t-2\ ,\ s-t-2\right)\end{align*}}$
と表すことができる。両辺の成分を比較してvを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2k-2s-2\right)\left( s-t-2\right)=\left( -k+s-1 \right)\left(-2s+2t-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3k=s+2t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=\frac{1}{3}\left(s+2t+1 \right)\ }\end{align*}}$
(4)
△POQの面積Fは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F=\frac{1}{2}\bigg|\left( 2s+2\right)\left( -t-1\right)-\left( -s+1\right)\cdot 2t \bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left| s+2t+1\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left| k\right|\end{align*}}$ ←(3)より
となるので、Fが最小になるのは、|k|が最小になるときである。
(3)の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=3k-2t-1\end{align*}}$
と変形でき、これを(2)の式に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5t\left(3k-2t-1 \right)+\left(3k-2t-1 \right)+3t-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10t^2-\left(15k-4 \right)t-3k+2=0\end{align*}}$ ．
ｔは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(15k-4 \right)^2+40\left(3k-2 \right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2\geqq \frac{64}{225}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|k \right|\geqq \frac{8}{15}\end{align*}}$ ．
よって、Fが最小になるときのkの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ k=\pm\frac{8}{15}\ }\end{align*}}$
である。
(4) 三角形の面積を求める公式は大丈夫ですか？
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