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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪府立大 工学部 数学1(1)



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) mを整数とし、不定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int x^m\log x\ dx\end{align*}}$
    を計算せよ。ただし、積分定数は省略してよい。




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  1. 2015/06/15(月) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2015(工)
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2015大阪府立大 工学部 数学1(2)



第1問

  次の問いに答えよ。

 (2) nを3以上の自然数とする。正n角形の頂点から相異なる3点を
    選んで三角形を作るとき、その三角形が二等辺三角形となる
    場合の数をanとする。
  (ⅰ) a6、a7をそれぞれ求めよ。
  (ⅱ) 自然数kに対して、a6k、a6kをそれぞれkを用いて表せ。



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  1. 2015/06/15(月) 23:57:00|
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2015大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) x≧0のとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^2}{2}\leqq\log\left(1+x \right)\leqq x\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 自然数nに対して
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\log\left(n\log n+1 \right)+\log\left(n\log n+\sqrt2 \right)+\ldots \end{align*}}$
                 $\small\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\log\left(n\log n+\sqrt n\right)-n\log\left(n\sqrt n\right)\end{align*}}$
    と定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n \end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2015/06/16(火) 23:57:00|
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2015大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  a>0、b>0とし、座標平面において、双曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
  を曲線Cとする。曲線Cの漸近線のうち傾きが正の漸近線をLとし、
  曲線C上の点P(p,q)における曲線Cの接線をmとする。ただし、
  p<0、q>0とする。また、漸近線Lと接線mの交点をQとし、接線
  mとx軸の交点をRとする。原点をOとするとき、次の問いに答えよ。

 (1) 漸近線Lの方程式をa、bを用いて表せ。

 (2) 接線mの方程式をa、b、pを用いて表せ。

 (3) 三角形OQRの面積S(p)をpを用いて表せ。

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow\infty}S(p)\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2015/06/17(水) 23:57:00|
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2015大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  座標平面上に、原点Oおよび2点A(2,1)、B(0,1)がある。原点O
  を通り、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ =(2,-1)を方向ベクトルとする直線をLとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおき、s、tを実数として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ で与えられる
  点Pおよび、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ で与えられる点Qを考える。このとき、次の
  問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) ∠POQが直角となるs、tの条件を求めよ。

 (3) 直線PQと直線Lの交点をRとし、実数kを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\ \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ とする。
    このとき、kをs、tを用いて表せ。

 (4) ∠POQが直角となる条件のもと、三角形POQの面積Fが最小となる
    ときのkの値を求めよ。



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  1. 2015/06/18(木) 23:57:00|
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2015大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  座標平面上において、原点Oを中心とする半径1の円C0に、半径1
  の円C1が外接しながらすべることなく回転する。点Aを動く円C1
  中心とし。点Pを円C1の円周上の定点とする。最初、点Aは座標
  (2,0)の位置にあり、点Pは座標(1,0)の位置にある。円C1が円
  C0の周りを反時計まわりに一周し、点Aが座標(2,0)に戻ってくる
  とき、点Pのえがく曲線をCとする。動径OAがx軸の正の部分から
  角$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ )だけ回転した位置にあるとき、点Pの座標を
  (x($\small\sf{\theta}$ ),y($\small\sf{\theta}$ ))とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 点Pの座標(x($\small\sf{\theta}$ ),y($\small\sf{\theta}$ ))について、
       x($\small\sf{\theta}$ )=2cos$\small\sf{\theta}$ -cos2$\small\sf{\theta}$
       y($\small\sf{\theta}$ )=2sin$\small\sf{\theta}$ -sin2$\small\sf{\theta}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 導関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{d\theta}x(\theta)\end{align*}}$ を求め、x($\small\sf{\theta}$ )の$\small\sf{\theta}$ に関する増減表を作成せよ。
    ただし、凹凸については言及しなくてよい。

 (3) 曲線Cで囲まれる図形の面積Sを求めよ。




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  1. 2015/06/19(金) 03:57:00|
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