第1問
nを自然数とする。数字1が書かれたカードがn枚、数字4が書かれた
カードが1枚、△が書かれたカードが1枚、合計n+2枚のカードがある。
これらn+2枚のカードから2枚のカードを同時に引き、カードに書かれた
数字の合計を得点とするが、引いたカードの中に△が書かれたカードが
含まれる場合には、得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる確率、得点が2点となる確率、得点が5点となる確率
をそれぞれ求めよ。
(2) 得点の期待値を求めよ。
(3) (2)で求めた期待値をanとおくと、an+1－anの符号を調べることにより
anが最大になるnをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0点
△のカードを1枚、それ以外のカードを1枚引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_1C_1\cdot_{n+1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n+1}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2}{n+2}\ }\end{align*}}$
2点
1のカードを2枚1枚引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_2}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{\frac{n\left(n-1 \right)}{2}}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
5点
1のカードと、4のカードを1枚ずつ引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_1\cdot_{1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、得点の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\times\frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}+5\times\frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}=\underline{\ \frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)}-\frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(n+1\right)^2\left(n+5\right)-2n\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(-n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
となる。
・1≦n≦4のとき、an＜an+1より
a1＜a2＜a3＜a4＜a5
・n=5のとき、an=an+1より
a5=a6
・6≦nのとき、an＞an+1より
a6＞a7＞a8＞……
よって、
a1＜……＜a5=a6＞a7＞……
となるので、anが最大になるのは、n=5またはn=6のときである。
理系との共通問題です。
(3)は
「an+1－anの符号を調べることにより」
というヒントがあるので問題ないかと。
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第2問
異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数
$\small\sf{\begin{align*} \sf _nP_r=n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ldots\ldots\left(n-r+1 \right)\end{align*}}$ （ただし、n≧r≧1）
に関して以下の問いに答えよ。
(1) k＞rならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf _kP_r=\frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_kP_{r+1} \right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r=\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) 次の等式がすべての自然数kに対して成り立つように、定数
A、B、Cを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$ のnの3次式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
k＞rのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_{k}P_{r+1} \right)=\frac{1}{r+1}\left\{ \frac{\left(k+1 \right)!}{\left(k-r \right)!}-\frac{k!}{\left(k-r-1 \right)!}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{r+1}\cdot\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\left\{ \left(k+1 \right)-\left(k-r \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_kP_{r}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r+\frac{1}{r+1}\left(_{r+2}P_{r+1}-_{r+1}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{r+3}P_{r+1}-_{r+3}P_{r+1} \right)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\frac{1}{r+1}\left(_{n+r-1}P_{r+1}-_{n+r-2}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{n+r}P_{r+1}-_{n+r-1}P_{r+1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r-\frac{_{r+1}P_{r+1}}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r!-\frac{\left(r+1\right)!}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( k+3\right)\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+A\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+B\left( k+1\right)k+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(k^4+6k^3+11k^2+6k\right)+A\left( k^3+3k^2+2k\right)+B\left( k^2+k\right)+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k^4+\left(6+A\right)k^3+\left(11+3A+B\right)k^2+\left(6+2A+B+C\right)k\end{align*}}$
これが任意のkに対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6+A=11+3A+B=6+2A+B+C=0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=-6\ \ ,\ \ B=7\ \ ,\ \ C=-1\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\end{align*}}$
であり、これはk=1，2，3，……，nに対して成り立つので、
和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nk^4=\sum_{k=1}^n\left(_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1\end{align*}}$ ……(#)
ここで、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k}P_1=_1P_1+_2P_1+\ldots +_nP_1=\frac{_{n+1}P_2}{2}=\frac{1}{2}\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2=\frac{_{n+2}P_2}{3}=\frac{1}{3}\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3=\frac{_{n+3}P_3}{4}=\frac{1}{4}\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4=\frac{_{n+4}P_4}{5}=\frac{1}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
これらと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^nk^4}{\sum_{k=1}^nk}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\_{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1}{\frac{1}{2}n\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)-\frac{3}{2}\left(n+3\right)\left(n+2\right)+\frac{14}{3}\left(n+2\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{5}n^3+\frac{3}{5}n^2+\frac{1}{15}n-\frac{1}{15}\ }\end{align*}}$
理系との共通問題ですが、厳しいでしょうねぇ、計算量も多いし。
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第3問
aを正の定数とする。放物線C：y=ax2上の点P(t，at2)（ただしt≠0）
に対して、CのPでの接線をm、Pを通り、y軸に平行な直線をvとする。
直線mに関してvを対称移動した直線をLとする。このとき、以下の問い
に答えよ。
(1) Lの傾きをa、tを用いて表せ。
(2) Lのy切片はtの値によらず一定であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
Cの導関数はy’=2axなので、点P(t，at2)における
接線mの方程式は、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ y-at^2=2at\left(x-t \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2atx-at^2\end{align*}}$
であり、これとy軸との交点をQとすると、
Q(0，－at2)．
2直線Lとvはmについて対称なので、mはLとvの
なす角の二等分線となる。すなわち、vとx軸の
交点をA、Lとy軸の交点をBとおくと、
∠APQ=∠BPQである。
さらに、平行線の錯角は等しいので、
∠BPQ=∠BQPとなり、
△BPQは二等辺三角形となる。
PQの中点をMとおくと、M($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{2}\end{align*}}$ ，0)であり、PQ⊥BM
なので、点Bのy座標をbとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2at\cdot\frac{0-b}{\frac{t}{2}-0}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1}{4a}\end{align*}}$ ．
よって、Lのy切片bはtの値によらず一定である。
(1)
Lは2点B、Pを通るので、その傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{at^2-\frac{1}{4a}}{t-0}=\underline{\ \frac{4a^2t^2-1}{4at}\ }\end{align*}}$
インチキな解き方ですみません（笑）
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第4問
a、b、p、qを実数の定数（ただしa＜b）とする。2次方程式
(*) x2－px+q=0
について以下の問いに答えよ。
(1) (*)が実数解をもち、それらがともにa以上b以下であるための
必要十分条件をp、qについての連立不等式で表せ。
(2) (1)で導いたp、qについての連立不等式を満たす座標平面上
の点(p，q)全体の集合をDとするとき、a、bを用いてDの面積
を表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2-px+q=\left(x- \frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}+q\end{align*}}$
とおく。
(*)が実数解をもち、それらがともにa以上b以下であるためには、
y=f(x)のグラフが右図のようになればよい。
・頂点のx座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq \frac{p}{2}\leqq b\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2a\leqq p\leqq 2b\ }\end{align*}}$
・頂点のy座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{p^2}{4}+q\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q\leqq \frac{p^2}{4}\ }\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=a^2-ap+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q\geqq ap-a^2\ }\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(b)=b^2-bp+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q\geqq bp-b^2\ }\end{align*}}$
よって、求める必要十分条件は、これらの4式である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{p^2}{4}\ \ \ldots\ldots (i)\ \ \ ,\ \ \ q=ap-a^2\ \ \ldots\ldots (ii)\ \ \ ,\ \ \ q=bp-b^2\ \ \ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^2}{4}=ap-a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-4ap+4a^2=\left( p-2a\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=2a\end{align*}}$
となるので、放物線(ⅰ)と直線(ⅱ)は、点(2a，a2)で接する。
同様に、放物線(ⅰ)と直線(ⅲ)は、点(2b，b2)で接する。
(ⅱ)、(ⅲ)の2式を連立させると、a≠bより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ap-a^2=bp-b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b\end{align*}}$
となるので、2直線(ⅱ)、(ⅲ)の交点のx座標はa+bである。
これらより、(1)の条件を満たす点(p，q)全体の集合を図示すると、
下図のようになる。
この面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{2a}^{a+b}\left\{\frac{p^2}{4}-\left(ap-a^2 \right) \right\}dp+\int_{a+b}^{2b}\left\{\frac{p^2}{4}-\left(bp-b^2 \right) \right\}dp\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\int_{2a}^{a+b}\left(p-2a \right)^2dp+\frac{1}{4}\int_{a+b}^{2b}\left(p-2b \right)^2dp\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3}\left(p-2a \right)^3\right]_{2a}^{a+b}+\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3}\left(p-2b \right)^3\right]_{a+b}^{2b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(b-a \right)^3-\frac{1}{12}\left(a-b \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\left(b-a \right)^3\ }\end{align*}}$
よくある問題ですね。
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