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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪府立大 前期文系 数学1



第1問

  nを自然数とする。数字1が書かれたカードがn枚、数字4が書かれた
  カードが1枚、△が書かれたカードが1枚、合計n+2枚のカードがある。
  これらn+2枚のカードから2枚のカードを同時に引き、カードに書かれた
  数字の合計を得点とするが、引いたカードの中に△が書かれたカードが
  含まれる場合には、得点は0点とする。

 (1) 得点が0点となる確率、得点が2点となる確率、得点が5点となる確率
    をそれぞれ求めよ。

 (2) 得点の期待値を求めよ。

 (3) (2)で求めた期待値をanとおくと、an+1-anの符号を調べることにより
    anが最大になるnをすべて求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/06/13(土) 23:51:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2015(文系)
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2015大阪府立大 前期文系 数学2



第2問

  異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数
      $\small\sf{\begin{align*} \sf _nP_r=n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ldots\ldots\left(n-r+1 \right)\end{align*}}$   (ただし、n≧r≧1)
  に関して以下の問いに答えよ。

 (1) k>rならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf _kP_r=\frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_kP_{r+1} \right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r=\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (3) 次の等式がすべての自然数kに対して成り立つように、定数
    A、B、Cを求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$ のnの3次式で表せ。





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  1. 2015/06/13(土) 23:54:00|
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2015大阪府立大 前期文系 数学3



第3問

  aを正の定数とする。放物線C:y=ax2上の点P(t,at2)(ただしt≠0)
  に対して、CのPでの接線をm、Pを通り、y軸に平行な直線をvとする。
  直線mに関してvを対称移動した直線をLとする。このとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) Lの傾きをa、tを用いて表せ。

 (2) Lのy切片はtの値によらず一定であることを示せ。




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  1. 2015/06/13(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2015(文系)
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2015大阪府立大 前期文系 数学4



第4問

  a、b、p、qを実数の定数(ただしa<b)とする。2次方程式
      (*) x2-px+q=0
  について以下の問いに答えよ。

 (1) (*)が実数解をもち、それらがともにa以上b以下であるための
    必要十分条件をp、qについての連立不等式で表せ。

 (2) (1)で導いたp、qについての連立不等式を満たす座標平面上
    の点(p,q)全体の集合をDとするとき、a、bを用いてDの面積
    を表せ。




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  1. 2015/06/14(日) 23:57:00|
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