第1問
nを自然数とする。数字1が書かれたカードがn枚、数字4が書かれた
カードが1枚、△が書かれたカードが1枚、合計n+2枚のカードがある。
これらn+2枚のカードから2枚のカードを同時に引き、カードに書かれた
数字の合計を得点とするが、引いたカードの中に△が書かれたカードが
含まれる場合には、得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる確率、得点が2点となる確率、得点が5点となる確率
をそれぞれ求めよ。
(2) 得点の期待値を求めよ。
(3) (2)で求めた期待値をanとおくと、an+1－anの符号を調べることにより
anが最大になるnをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0点
△のカードを1枚、それ以外のカードを1枚引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_1C_1\cdot_{n+1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n+1}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2}{n+2}\ }\end{align*}}$
2点
1のカードを2枚1枚引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_2}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{\frac{n\left(n-1 \right)}{2}}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
5点
1のカードと、4のカードを1枚ずつ引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_1\cdot_{1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、得点の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\times\frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}+5\times\frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}=\underline{\ \frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)}-\frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(n+1\right)^2\left(n+5\right)-2n\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(-n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
となる。
・1≦n≦4のとき、an＜an+1より
a1＜a2＜a3＜a4＜a5
・n=5のとき、an=an+1より
a5=a6
・6≦nのとき、an＞an+1より
a6＞a7＞a8＞……
よって、
a1＜……＜a5=a6＞a7＞……
となるので、anが最大になるのは、n=5またはn=6のときである。
(3)は
「an+1－anの符号を調べることにより」
というヒントがあるので問題ないかと。
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- 2015/06/09(火) 23:57:00|
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第2問
異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数
$\small\sf{\begin{align*} \sf _nP_r=n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ldots\ldots\left(n-r+1 \right)\end{align*}}$ （ただし、n≧r≧1）
に関して以下の問いに答えよ。
(1) k＞rならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf _kP_r=\frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_kP_{r+1} \right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r=\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) 次の等式がすべての自然数kに対して成り立つように、定数
A、B、Cを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$ のnの3次式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
k＞rのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_{k}P_{r+1} \right)=\frac{1}{r+1}\left\{ \frac{\left(k+1 \right)!}{\left(k-r \right)!}-\frac{k!}{\left(k-r-1 \right)!}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{r+1}\cdot\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\left\{ \left(k+1 \right)-\left(k-r \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_kP_{r}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r+\frac{1}{r+1}\left(_{r+2}P_{r+1}-_{r+1}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{r+3}P_{r+1}-_{r+3}P_{r+1} \right)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\frac{1}{r+1}\left(_{n+r-1}P_{r+1}-_{n+r-2}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{n+r}P_{r+1}-_{n+r-1}P_{r+1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r-\frac{_{r+1}P_{r+1}}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r!-\frac{\left(r+1\right)!}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( k+3\right)\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+A\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+B\left( k+1\right)k+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(k^4+6k^3+11k^2+6k\right)+A\left( k^3+3k^2+2k\right)+B\left( k^2+k\right)+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k^4+\left(6+A\right)k^3+\left(11+3A+B\right)k^2+\left(6+2A+B+C\right)k\end{align*}}$
これが任意のkに対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6+A=11+3A+B=6+2A+B+C=0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=-6\ \ ,\ \ B=7\ \ ,\ \ C=-1\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\end{align*}}$
であり、これはk=1，2，3，……，nに対して成り立つので、
和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nk^4=\sum_{k=1}^n\left(_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1\end{align*}}$ ……(#)
ここで、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k}P_1=_1P_1+_2P_1+\ldots +_nP_1=\frac{_{n+1}P_2}{2}=\frac{1}{2}\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2=\frac{_{n+2}P_2}{3}=\frac{1}{3}\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3=\frac{_{n+3}P_3}{4}=\frac{1}{4}\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4=\frac{_{n+4}P_4}{5}=\frac{1}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
これらと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^nk^4}{\sum_{k=1}^nk}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1}{\frac{1}{2}n\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)-\frac{3}{2}\left(n+3\right)\left(n+2\right)+\frac{14}{3}\left(n+2\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{5}n^3+\frac{3}{5}n^2+\frac{1}{15}n-\frac{1}{15}\ }\end{align*}}$
(3)までは、式をいじっていれば、なんとかなりそうですが、
(4)は厳しいでしょうねぇ、計算量も多いし。
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- 2015/06/10(水) 23:57:00|
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第3問
四面体OABCが与えられており、各辺の長さが
OA=2、 OB=3、 OC=3、
AB=3、 BC=2、 CA=3
であるとする。また、点O、A、Cを通る平面を$\small\sf{\alpha}$ 、点O、A、Bを
通る平面を$\small\sf{\beta}$ とし、点Bを通り平面$\small\sf{\alpha}$ に垂直な直線をg、点Cを
通り平面$\small\sf{\beta}$ に垂直な直線をhとする。
(1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 直線gと平面$\small\sf{\alpha}$ の交点をP、直線hと平面$\small\sf{\beta}$ の交点をQとする
とき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を表せ。
(3) 直線gと直線hは交わることを示せ。また、直線gと直線hの交
点をRとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△OABにおいて、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOB=\frac{|\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2-|\overrightarrow{\sf AB}|^2}{2|\overrightarrow{\sf OA}||\overrightarrow{\sf OB}|}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=|\overrightarrow{\sf OA}||\overrightarrow{\sf OB}|\cos\angle AOB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{|\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2-|\overrightarrow{\sf AB}|^2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2^2+3^2-3^2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$ ．
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\frac{|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-|\overrightarrow{\sf BC}|^2}{2}=\frac{3^2+3^2-2^2}{2}=\underline{\ 7\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\frac{|\overrightarrow{\sf OC}|^2+|\overrightarrow{\sf OA}|^2-|\overrightarrow{\sf CA}|^2}{2}=\frac{3^2+2^2-3^2}{2}=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
(2)
点Pは平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ 上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表せる。
g⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ より、BP⊥OAかつBP⊥OCなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(s\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =s|\overrightarrow{\sf OA}|^2-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4S-2+2t=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left(s\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =s\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+t|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2S-7+9t=0\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{8}\ \ ,\ \ t=\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{8}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$
同様に、点Qは平面$\scriptsize\sf{\beta}$ 上にあるので、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=u\overrightarrow{\sf OA}+v\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
と表せる。
h⊥$\scriptsize\sf{\beta}$ より、CQ⊥OAかつCQ⊥OBなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(u\overrightarrow{\sf OA}+v\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\overrightarrow{\sf OA}=4u+2v-2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(u\overrightarrow{\sf OA}+v\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2u+9v-7=0\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{1}{8}\ \ ,\ \ v=\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{1}{8}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OB}\ }\end{align*}}$
(3)
g上の点Gは、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}=k\overrightarrow{\sf BP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OG}=\overrightarrow{\sf OB}+k\left(\frac{1}{8}\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OC} \right)=\frac{1}{8}k\overrightarrow{\sf OA}+\left(1-k\right)\overrightarrow{\sf OB}+\frac{3}{4}k\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表せる。
同様に、h上の点Hは、実数mを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=m\overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OC}+m\left(\frac{1}{8}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC} \right)=\frac{1}{8}m\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{4}m\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-m\right)\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=m=\frac{1}{14}\end{align*}}$
のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\overrightarrow{\sf OH}=\frac{1}{14}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
となるので、2点G、Hは一致する。
すなわち、2直線g、hは1点で交わり、その交点をRとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{14}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$
計算量が多くてイヤになります・・・・
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- 2015/06/11(木) 23:57:00|
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第4問
実数全体を定義域とする関数f(x)、g(x)をそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^x\ \ ,\ \ g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}\end{align*}}$
で定める。曲線y=f(x)上の点(t，et)における法線に関して、
直線x=tを対称移動した直線をLとする。このとき、以下の問い
に答えよ。
(1) Lの方程式を求めよ。
(2) Lは曲線y=g(x)に接することを示し、その接点のx座標を求めよ。
(3) (2)で求めた接点をPとする。Lと曲線y=f(x)およびPを通りy軸に
平行な直線で囲まれた部分の面積をS(t)とする。tが実数全体を
動くとき、S(t)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=e^x\ \ ,\ \ g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=e^x\ \ ,\ \ g\ '(x)=\frac{e^{x+1}-e^{-x-1}}{2}\end{align*}}$
(１)
曲線y＝f(x)上の点A(t，et)における法線を
mとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m:\ y=-e^{-t}\left(x-t \right)+e^t\end{align*}}$
直線x＝t上に点B(t，0)をとり、mに関してBと
対称な点をB’とすると、BB’⊥mより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BB':\ y=e^t\left(x-t \right)\end{align*}}$
BB’とmの交点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -e^{-t}\left(x-t \right)+e^t=e^t\left(x-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e^t+e^{-t} \right)x=te^t+te^{-t}+e^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=t+\frac{e^t}{e^t+e^{-t}}\ \ \ \ \left(\because\ e^t+e^{-t}>0 \right)\end{align*}}$
より、Mの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\left( t+\frac{e^t}{e^t+e^{-t}}\ ,\ \frac{e^{2t}}{e^t+e^{-t}}\right)\end{align*}}$ ．
また、Mは2点B、B’の中点なので、B’の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B'\left( t+\frac{2e^t}{e^t+e^{-t}}\ ,\ \frac{2e^{2t}}{e^t+e^{-t}}\right)\end{align*}}$ ．
Lは2点A、B’を通る直線なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-e^t=\frac{\frac{2e^{2t}}{e^t+e^{-t}}－ｅ＾ｔ}{\left( t+\frac{2e^t}{e^t+e^{-t}}\right)-t}\left(x-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\left( x-t\right)+e^t\ }\end{align*}}$
(２)
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}-\left\{\frac{e^t-e^{-t}}{2}\left( x-t\right)+e^t \right\}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h'(x)=\frac{e^{x+1}-e^{-x-1}}{2}-\frac{e^t-e^{-t}}{2}\end{align*}}$
より、h’(t－1)＝0である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h''(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}\gt 0\end{align*}}$
より、連続関数h’(x)は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}h'(x)=+\infty\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow -\infty}h'(x)=-\infty\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、h’(x)＝0となるxはx＝t－1
ただ1つであることが分かる。
これらより、h(x)の増減は次のようになる。
よって、h(x)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left( t-1\right)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}-\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}+e^t \right)=0\end{align*}}$
となるので、方程式h(x)＝0はx＝t－1を重解にもつ。
よって、曲線y＝g(x)と直線Lは1点で接し、接点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(t-1\ ,\ g(t-1) \right)=\underline{\ \left(t-1\ ,\ \frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
Lと曲線y＝f(x)の位置関係は右図のように
なるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)=\int_{t-1}^t\left\{ \frac{e^t-e^{-t}}{2}\left( x-t\right)+e^t-e^x\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{e^t-e^{-t}}{4}\left( x-t\right)^2+e^tx-e^x \right]_{t-1}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =e^t\left(t-1 \right)-\frac{e^t-e^{-t}}{4}-e^t\left(t-1 \right)+e^{t-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4-e}{4e}e^t+\frac{1}{4}e^{-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \geq2\sqrt{\frac{4-e}{4e}e^t\cdot\frac{1}{4}e^{-t}}\end{align*}}$ ←4＞e、et＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-e}{e}}\end{align*}}$
よって、S(t)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ S(t)_{min}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-e}{e}}}\end{align*}}$
(３)は微分してもOKです。
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- 2015/06/12(金) 23:57:00|
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