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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪府立大 前期理系 数学1



第1問

  nを自然数とする。数字1が書かれたカードがn枚、数字4が書かれた
  カードが1枚、△が書かれたカードが1枚、合計n+2枚のカードがある。
  これらn+2枚のカードから2枚のカードを同時に引き、カードに書かれた
  数字の合計を得点とするが、引いたカードの中に△が書かれたカードが
  含まれる場合には、得点は0点とする。

 (1) 得点が0点となる確率、得点が2点となる確率、得点が5点となる確率
    をそれぞれ求めよ。

 (2) 得点の期待値を求めよ。

 (3) (2)で求めた期待値をanとおくと、an+1-anの符号を調べることにより
    anが最大になるnをすべて求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/06/09(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2015(理系)
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2015大阪府立大 前期理系 数学2



第2問

  異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数
      $\small\sf{\begin{align*} \sf _nP_r=n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ldots\ldots\left(n-r+1 \right)\end{align*}}$   (ただし、n≧r≧1)
  に関して以下の問いに答えよ。

 (1) k>rならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf _kP_r=\frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_kP_{r+1} \right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r=\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (3) 次の等式がすべての自然数kに対して成り立つように、定数
    A、B、Cを求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$ のnの3次式で表せ。





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  1. 2015/06/10(水) 23:57:00|
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2015大阪府立大 前期理系 数学3



第3問

  四面体OABCが与えられており、各辺の長さが
    OA=2、 OB=3、 OC=3、
    AB=3、 BC=2、 CA=3
  であるとする。また、点O、A、Cを通る平面を$\small\sf{\alpha}$ 、点O、A、Bを
  通る平面を$\small\sf{\beta}$ とし、点Bを通り平面$\small\sf{\alpha}$ に垂直な直線をg、点Cを
  通り平面$\small\sf{\beta}$ に垂直な直線をhとする。

 (1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 直線gと平面$\small\sf{\alpha}$ の交点をP、直線hと平面$\small\sf{\beta}$ の交点をQとする
    とき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を表せ。

 (3) 直線gと直線hは交わることを示せ。また、直線gと直線hの交
    点をRとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を表せ。




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  1. 2015/06/11(木) 23:57:00|
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2015大阪府立大 前期理系 数学4



第4問

  実数全体を定義域とする関数f(x)、g(x)をそれぞれ
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^x\ \ ,\ \ g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}\end{align*}}$
  で定める。曲線y=f(x)上の点(t,et)における法線に関して、
  直線x=tを対称移動した直線をLとする。このとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) Lの方程式を求めよ。

 (2) Lは曲線y=g(x)に接することを示し、その接点のx座標を求めよ。

 (3) (2)で求めた接点をPとする。Lと曲線y=f(x)およびPを通りy軸に
    平行な直線で囲まれた部分の面積をS(t)とする。tが実数全体を
    動くとき、S(t)の最小値を求めよ。



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  1. 2015/06/12(金) 23:57:00|
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