第１問
f(x)=x3+ax2+bx+cとし、a、b、cは実数とする。y=f(x)によって
表される曲線をCとおく。Cはx軸と点(-1，0)でのみ交わるとする。
さらに、Cの接線で傾きが-1のものがただ一つ存在するとし、それを
Lとする。
(１) f’(-1)＞0となることを示せ。
(２) aの値の範囲を求めよ。
(３) CとLの接点のx座標が1であるとき、CとLとx軸で囲まれる部分の
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf f\ (x)=x^3+ax^2+bx+c\\ &\sf f\ '(x)=3x^2+2ax+b\end{align*}}$
(１)
3次関数のグラフでは、異なる接点における接線は異なるので、
Cの接線で傾きが-1のものがただ一つ存在するためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sf &\sf f\ '(x)=3x^3+3ax+b=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x^2+2ax+b+1=0\end{align*}}$ ……①
①がただ1つの実数解（重解）をもてばよい。
よって、①の判別式D1を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_1/4=a^2-3\left( b+1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{a^2}{3}-1\end{align*}}$ ……②
一方、Cはx軸と点(-1，0)で交わるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (-1)=-1+a-b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c=-a+b-1\end{align*}}$ ……③
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)&=\sf x^3+ax^2+bx-a+b-1\\ &=\sf \left(x+1 \right)\bigg\{x^2-\left(a-1 \right)x-a+b+1\bigg\}\end{align*}}$
となり、方程式f(x)=0がただ1つの実数解をもつのは
次の2つの場合が考えられる。
(ⅰ) 方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(a-1 \right)x-a+b+1=0\end{align*}}$ ……④
が実数解をもたない場合、④の判別式D2を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_2=\left(a-1 \right)^2-4\left(-a+b+1 \right)<0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2+2a-4b-3<0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b>\frac{a^2+2a-3}{4}\end{align*}}$ ……⑤
(ⅱ) 方程式③がx=-1を重解にもつ場合、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(a-1 \right)x-a+b+1=\left(x+1 \right)^2\end{align*}}$
両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\begin{matrix}\sf a-1=2\\ \sf -a+b+1=1\end{matrix}\right.\ \ \Leftrightarrow\ \ a=b=3\end{align*}}$
となるが、このa、bは①を満たさないので不適
よって、⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(-1)&=\sf 3-2a+b\\ &>\sf 3-2a+\frac{a^2+2a-3}{4}\\ &=\sf \frac{a^2-6a+9}{4}\\ &=\sf \frac{\left(a-3 \right)^2}{4}\\ &\geqq \sf 0\end{align*}}$
となるので、不等式f’(-1)＞0が示された。
(２)
②、⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a^2}{3}-1\gt\frac{a^2+2a-3}{4}&\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-6a-3gt0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\ a\lt 3-2\sqrt3\ ,\ 3+2\sqrt3\lt a\ }\end{align*}}$
(３)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(1)=3+2a+b=-1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2+6a+9=\left(a+3 \right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=-3\end{align*}}$ ．
これと②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=2\ ,\ c=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x^3-3x^2+2x+6\end{align*}}$
となるので、Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-f\ (1)=-\left( x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+7\end{align*}}$
CとLとx軸で囲まれる部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-1}^1\left(x^3-3x^2+2x+6 \right)dx+\frac{1}{2}\cdot 6^2\\ &=\sf 2\bigg[-x^3+6x\bigg]_0^1+18\\ &=\sf \underline{\ 28\ }\end{align*}}$
それほど難しくはありませんが、条件が多いので
うめく整理しましょう。
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第２問
(１) aは実数で$\small\sf{0\leqq a\leqq\pi}$ とする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\theta\leqq\pi\ \ ,\ \ \sin\left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\theta =0\end{align*}}$
を満たす$\small\sf{\theta}$ を求めよ。
(２) 連立不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq\pi\ \ ,\ \ 0\leqq y\leqq\pi\ \ ,\ \ \sin\left( \frac{\pi}{4}x^2+\frac{\pi}{4}\right)+\cos y\geqq 0\end{align*}}$
によって表されるxy平面上の領域を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\theta =0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta&=\sf -\sin\left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sf \cos\left\{\left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{2}\right\}\\ &=\sf \cos\left\{\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\pm\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)+2n\pi\end{align*}}$ （n：整数）
0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ 、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より
(ⅰ) 0≦a≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{4}\pi\leqq \frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\end{align*}}$
(ⅱ) 1＜a≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\pi< -\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\leqq -\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<-\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)+2\pi\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=-\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)+2\pi=-\frac{\pi}{4}\left( a^2-5\right)\end{align*}}$
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ ＜a≦3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\pi< \frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\leqq 3\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)-2\pi\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)-2\pi=\frac{\pi}{4}\left( a^2-5\right)\end{align*}}$
(ⅳ) 3＜a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -4\pi< -\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)\leqq -\frac{\pi}{4}\left( \pi^2+3\right)<-3\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<-\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)+4\pi <\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=-\frac{\pi}{4}\left( a^2+3\right)+4\pi=-\frac{\pi}{4}\left( a^2-13\right)\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \theta=\left\{\begin{matrix}\sf \frac{\pi}{4}\left(a^2+3 \right) &\sf \left(0\leqq a\leqq 1 \right)\\ \sf -\frac{\pi}{4}\left(a^2-5 \right) &\sf \left(1< a\leqq \sqrt5 \right)\\ \sf \frac{\pi}{4}\left(a^2-5 \right)&\sf \left(\sqrt5< a\leqq 3 \right)\\ \sf -\frac{\pi}{4}\left(a^2-13 \right) &\sf \left(3< a\leqq \pi \right)\end{matrix}\right.}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left( \frac{\pi}{4}x^2+\frac{\pi}{4}\right)+\cos y\geqq0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)+2n\pi\end{align*}}$ （n：整数）
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ 、0≦y≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より
(ⅰ) 0≦x≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{4}\pi\leqq \frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq y\leqq\frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)\end{align*}}$
(ⅱ) 1＜x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<-\frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)+2\pi\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq y\leqq -\frac{\pi}{4}\left( x^2-5\right)\end{align*}}$
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ ＜x≦3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)-2\pi\leqq \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq y\leqq\frac{\pi}{4}\left( a^2-5\right)\end{align*}}$
(ⅳ) 3＜x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<-\frac{\pi}{4}\left( x^2+3\right)+4\pi\leqq -\frac{\pi}{4}\left( \pi^2+3\right)+4\pi<\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq y\leqq -\frac{\pi}{4}\left(x^2-13\right)\end{align*}}$
これらを図示すると、右図のようになる。
一般角で考えなければならないので、場合分けが必要です。
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第３問
xyz空間の原点をOとし、点(0，0，1)と点($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ ，1，1) を通る直線を
Lとする。点Pは、時刻t=0のとき(-4，0，0)にあって、x軸上を正の
向きに速さ1で動いている。点Qは、t=0のとき(0，0，1)にあって、
直線L上をx座標が増えるように速さ2で動いている。
(１) 点P、Qの座標をtの式で表せ。
(２) 三角形OPQの面積Sをtの式で表せ。
(３) -0.33≦t≦2.6のときのSの最大値と最小値、およびそれらをとる
tの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\left(-4,0,0 \right)\ ,\ B\left(0,0,1 \right)\ ,\ C\left(\sqrt3,1,1 \right)\end{align*}}$ とおく。
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=t\left(1,0,0 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=\left(t,0,0 \right)+\overrightarrow{\sf OA}=\left(t-4,0,0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BQ}=\frac{2t}{|\overrightarrow{\sf BC}|}\ \overrightarrow{\sf BC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=t\left(\sqrt3,1,0 \right)+\overrightarrow{\sf OB}=\left( \sqrt3\ t,t,1\right)\end{align*}}$
より、時刻tにおける点P、Qの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ P\left(t-4,0,0 \right)\ ,\ Q\left( \sqrt3\ t,t,1\right)}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP} \right|=\left|t-4 \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OQ} \right|=\sqrt{\left(\sqrt3\ t \right)^2+t^2+1^2}=\sqrt{4t^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\sqrt3\ t\left(t-4 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf OP} \right|^2\left|\overrightarrow{\sf OQ} \right|^2-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ} \right)^2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left(t-4 \right)^2\left(4t^2+1 \right)-\left\{\sqrt3\ t\left(t-4 \right) \right\}^2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left(t-4 \right)^2\left(t^2+1 \right)}\\ &=\sf \underline{\ \frac{1}{2}\left|t-4 \right|\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (t)&=\sf \left(t-4 \right)^2\left(t^2+1 \right)\\ &=\sf t^4-8t^3+17t^2-8t+16\ \ \ \left(-0.33\leqq t\leqq 2.6 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(t)&=\sf 2\left( t-4\right)\left(t^2+1 \right)+\left(t-4 \right)^2\cdot 2t\\ &=\sf 2\left( t-4\right)\left( 2t^2-4t+1\right)\end{align*}}$
なので、f(t)の増減は次のようになる。
筆算を用いて、f(t)を2t2-4t+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (t)=\left(2t^2-4t+1 \right)\left(\frac{1}{2}t^2-3t+\frac{9}{4} \right)+4t+\frac{55}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( \frac{2-\sqrt2}{2}\right)=4\cdot\frac{2-\sqrt2}{2}+\frac{55}{4}=\frac{71}{4}-2\sqrt2<14.95\ \ \ \left(\because\ \sqrt2>\sqrt{1.96}=1.4 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( \frac{2+\sqrt2}{2}\right)=4\cdot\frac{2+\sqrt2}{2}+\frac{55}{4}=\frac{71}{4}+2\sqrt2<20.59\ \ \ \left(\because\ \sqrt2<\sqrt{2.0164}=1.42 \right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (-0.33)&=\sf \left(-0.33-4 \right)^2\times\big\{\left(-0.33 \right)^2+1\big\}\\ &=\sf 18.7489\times 1.1089\\ &>\sf 18.74\times 1.1 \\ &=\sf 20.614\\ &>\sf f\left( \frac{2+\sqrt2}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (2.6)&=\sf \left(2.6-4 \right)^2\times\left(2.6^2+1\right)\\ &=\sf 1.96\times 7.76\\ &>\sf 1.96\times 7.7 \\ &=\sf 15.092\\ &>\sf f\left( \frac{2-\sqrt2}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、Sの最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}&=\sf \frac{1}{2}\left| -0.33-4\right|\sqrt{\left(-0.33 \right)^2+1}\\ &=\sf \underline{\ \frac{433}{20000}\sqrt{11089}\ \ \ \ \ \left(t=-0.33 \right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{min}&=\sf \frac{1}{2}\left| \frac{2-\sqrt2}{2}-4\right|\sqrt{\left(\frac{2-\sqrt2}{2} \right)^2+1}\\ &=\sf \underline{\ \frac{6+\sqrt2}{8}\sqrt{10-4\sqrt2}\ \ \ \ \ \left(t=\frac{2-\sqrt2}{2} \right)\ }\end{align*}}$
考え方自体は難しくありませんが、最後の数値計算は、
きっとイヤガラセですｗｗｗ
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第４問
あるバクテリアをある条件の下で培養した場合、生存している1個が、
1時間後には1回分裂して2個ともに生存しているか、あるいは死滅して
いるかであり、2個とも生存している確率がp、死滅している確率が1-p
であるという。このバクテリアがこの条件の下で最初1個生存していた
とき、n時間後に1個以上生存している確率をPnとおく。
ただし、nは自然数とする。
(１) P2、P3をそれぞれpの式で表せ。
(２) Pn+1をpとPnの式で表せ。
(３) p=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ のときの $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} P_n\end{align*}}$ を求めよ。
(４) aを2より大きな実数とする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{a-1}{a}\ ,\ Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}\end{align*}}$
としたとき、0＜Qn+1＜Qnであることを示せ。
(５) pが(４)と同じときの $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} P_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(２)
n時間後に1個以上生存しているためには、まず最初の1個が
1時間後に2個とも生存している必要があり、この確率はpである。
最初から1時間後に生存している2個のバクテリアをA、Bとすると、
このA、Bがn時間後（最初から数えてn+1時間後）に両方とも死滅
していなければよい。
Aがn時間後に死滅する確率は1-Pnであり、Bについても同様。
よって、n時間後に1個以上生存している確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n+1}=p\bigg\{1-\left(1-P_n \right)^2\bigg\}=\underline{\ pP_n\left(2-P_n \right)\ }\end{align*}}$
(１)
P1=pなので、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_2&=\sf \underline{\ p^2\left(2-p \right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_3&=\sf p\cdot p^2\left(2-p \right)\bigg\{2-p^2\left(2-p \right)\bigg\}\\ &=\sf \underline{\ p^3\left(2-p \right)\left(p^3-2p^2+2 \right)\ } \end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n+1}=\frac{1}{3}P_n\left(2-P_n \right)\lt\frac{2}{3}P_n\ \ \ \left(\because\ P_n\gt 0 \right)\end{align*}}$
これは任意の自然数nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf 0\lt P_2\lt\frac{2}{3}\ P_1 \\ &\sf 0\lt P_3\lt\frac{2}{3}\ P_2 \\ &\sf 0\lt P_4\lt\frac{2}{3}\ P_3 \\ &\sf \ \ \ \ \ \ \vdots \\ &\sf 0\lt P_n\lt\frac{2}{3}\ P_{n-1} \end{align*}}$
であり、これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt P_n\lt \left( \frac{1}{3}\right)^{n-1}P_1=\left( \frac{1}{3}\right)^n\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{1}{3}\right)^n=0\ \ \ \ \left( \because\ 0\lt\frac{1}{3}\lt 1\right)\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n=0\ }\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{a-1}{a}\ ,\ P_n=Q_n+\frac{a-2}{a-1}\end{align*}}$
これらを(２)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_{n+1}+\frac{a-2}{a-1}&=\sf \frac{a-1}{a}\left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)\bigg\{2-\left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{a-1}{a}\left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)\left(\frac{a}{a-1}-Q_n \right)\\ &=\sf \left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)\left(1-\frac{a-1}{a}\ Q_n \right)\ \ \ldots\ldots (i)\\ &=\sf -\frac{a-1}{a}\ Q_n^{\ 2}+\frac{2}{a}\ Q_n+\frac{a-2}{a-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q_{n+1}&=\sf -\frac{a-1}{a}\ Q_n^{\ 2}+\frac{2}{a}\ Q_n\\ &=\sf \frac{2}{a}\ Q_n\left(1- \frac{a-1}{2}Q_n\right)\ \ \ \ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
任意の自然数nに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_n>0\end{align*}}$ が成り立つことを
数学的帰納法で示す。
(Ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_1&=\sf P_1-\frac{a-2}{a-1}\\ &=\sf \frac{a-1}{a}-\frac{a-2}{a-1}\\ &=\sf \frac{1}{a\left(a-1\right)}\ >0\ \ \ \ \left(\because\ a>2 \right)\end{align*}}$
(Ⅱ) n=kのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_k>0\end{align*}}$ が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_n&=\sf P_n-\frac{a-2}{a-1}\\ &\sf \leqq 1-\frac{a-2}{a-1}\ \ \ \left(\because\ P_n\leqq 1 \right)\\ &=\sf \frac{1}{a-1}\end{align*}}$
なので、(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_{n+1}&=\sf \frac{a-1}{a}\ Q_n\left( \frac{2}{a-1}-Q_n\right)\\ &>\sf \frac{2}{a-1}-Q_n\ \ \ \left(\because\ a>2\ ,\ Q_n>0 \right)\\ &\geqq\sf \frac{2}{a-1}-\frac{1}{a-1}\\ &>\sf 0\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_n>0\end{align*}}$ が成り立つ。
このとき、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_{n+1}+\frac{a-2}{a-1}&=\sf \left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)\left(1-\frac{a-1}{a}\ Q_n \right)\\ &\lt\sf Q_n+\frac{a-2}{a-1}\ \ \ \left(\because\ 0\lt Q_n\lt\frac{1}{a-1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q_{n+1}\lt Q_n\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt Q_{n+1}\lt Q_n\end{align*}}$
が成り立つ。
(５)
(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_{n+1}&=\sf \frac{2}{a}\ Q_n\left(1- \frac{a-1}{2}Q_n\right)\\ &\lt\sf \frac{2}{a}\ Q_n\ \ \ \left(\because\ 0\lt Q_n\lt\frac{1}{a-1} \right)\end{align*}}$
となり、これは任意の自然数nに対して成り立つので、
(３)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt Q_n\lt\left( \frac{2}{a}\right)^{n-1}P_1=\left( \frac{2}{a}\right)^{n}\cdot\frac{a-1}{a}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{2}{a}\right)^n=0\ \ \ \ \left( \because\ a\gt 2\right)\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ Q_n=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(Q_n+\frac{a-2}{a-1} \right)=\underline{\ \frac{a-2}{a-1}\ }\end{align*}}$
(２)ができないと、それ以降どうにもなりません・・・・・
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- 2018/10/06(土) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2015
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