第１問
点P(x，y)が次の条件を満たすとき、その軌跡は =0である。
に入る式を求めよ。
点F(4，0)からの距離PFと、y軸との距離PHの比の値が
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{PF}{PH}=\sqrt5\end{align*}}$
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{PF}{PH}=\frac{\sqrt{\left(x-4 \right)^2+y^2}}{|x|}=\sqrt5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{\left(x-4 \right)^2+y^2}=\sqrt5\ |x|\end{align*}}$
両辺＞0なので、2乗すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16 +y^2=5x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -4x^2-8x+y^2+16=0\ }\end{align*}}$
これは簡単。離心率に関する問題で、軌跡は双曲線になります。
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第２問
4つの数列{xn}、{yn}、{an}、{bn}を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\sf x_1=2\ \ ,\ \ y_1=1\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=5x_n+4y_n+3\ \ , \ \ y_{n+1}=-2x_n-y_n-1\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=x_n+y_n+1\ \ ,\ \ b_n=3x_n+6y_n\end{align*}}$
このとき、{an}、{bn}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=5x_n+4y_n+3\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{n+1}=-2x_n-y_n-1\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅰ)+(ⅱ)+1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}+y_{n+1}+1=3x_n+3y_n+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=3a_n\end{align*}}$
となるので、{an}は公比3の等比数列である。
初項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=x_1+y_1+1=4\end{align*}}$
なので、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a_n=4\cdot 3^{n-1}\ }\end{align*}}$
(ⅰ)×3+(ⅱ)×6より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x_{n+1}+6y_{n+1}=3x_n+6y_n+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=b_n+3\end{align*}}$
となるので、{bn}は公差3の等差数列である。
初項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=3x_1+6y_1=12\end{align*}}$
なので、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=12+3\left(n-1 \right)=\underline{\ 3n+9 }\end{align*}}$
適当に式をいじってたら出来ました！
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第３問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}+\frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}\end{align*}}$
とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3倍角の公式を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}=\frac{3\sin\theta-4\sin^3\theta}{\sin\theta}=3-4\sin^2\theta\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}=\frac{\sin\left(3\theta+2\pi \right)}{\sin\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}=\frac{\sin 3\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}{\sin\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}=3-4\sin^2\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}=\frac{\sin\left(3\theta+4\pi \right)}{\sin\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}=\frac{\sin 3\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}{\sin\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}=3-4\sin^2\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)}+\frac{\sin 3\theta}{\sin\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =9-4\left\{\sin^2\theta+\sin^2\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)+\sin^2\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right) \right\}\end{align*}}$ ．
加法定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2\left(\theta+ \frac{2}{3}\pi\right)=\left(-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta \right)^2=\frac{\sin^2\theta-2\sqrt2\sin\theta\cos\theta+3\cos^2\theta}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2\left(\theta+ \frac{4}{3}\pi\right)=\left(-\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta \right)^2=\frac{\sin^2\theta+2\sqrt2\sin\theta\cos\theta+3\cos^2\theta}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=9-4\left(\frac{3}{2}\sin\theta+\frac{3}{2} \cos^2\theta\right)=3\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ の値によらず一定値をとる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)\end{align*}}$ の最大値・最小値ともに3である。
これは捨て問題でしょｗｗｗ
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第４問
ある製品は、A工場で４０%、B工場で40%、C工場で20%生産されていて、
A工場では3%、B工場では2%、C工場では1%の不合格品がそれぞれでき
る。この製品から取り出した1個が不合格品であるとき、それがC工場の
製品である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
次のように事象A、B、C、Fを定める。
A…取り出した1個がA工場の製品である
B…取り出した1個がB工場の製品である
C…取り出した1個がC工場の製品である
F…取り出した1個が不合格品である
すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap F)=\frac{40}{100}\cdot\frac{3}{100}=\frac{120}{10000}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B\cap F)=\frac{40}{100}\cdot\frac{2}{100}=\frac{80}{10000}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(C\cap F)=\frac{20}{100}\cdot\frac{1}{100}=\frac{20}{10000}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(F)=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F)=\frac{220}{10000}\end{align*}}$ ．
よって、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_F(C)=\frac{F(C\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{20}{10000}}{\frac{220}{10000}}=\underline{\ \frac{1}{11}\ }\end{align*}}$
いわゆる「原因の確率」ってヤツですね。
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第５問
1800の正の約数（1及び1800自身も含む）の総和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
1800を素因数分解すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1800=2^3\times 3^2\times 5^2\end{align*}}$
なので、正の約数の総和は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2^0+2^1+2^2+2^3 \right)\times\left(3^0+3^1+3^2 \right)\times\left(5^0+5^1+5^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =15\times 13\times 31\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 6045\ }\end{align*}}$
公式を知ってますか？
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第６問
正四面体(T)の一辺の長さと正八面体(O)の一辺が等しいとき、
Tの体積はOの体積の何倍かを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
TとOの一辺をaとする。
【Tの体積】
立方体の頂点を下左図のように結ぶと正四面体ができる。
正四面体の一辺がaのとき、この立方体の一辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\sin 45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、立方体の体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left( \frac{a}{\sqrt2}\right)^3=\frac{a^3}{2\sqrt2}\end{align*}}$ ．
一方、下右図の水色の三角錐の体積は立方体の体積の
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
であり、立方体からこの三角錐を4つ取り去ると正四面体
が出来るので、Tの体積VTは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_T=\frac{a^3}{2\sqrt2}\cdot\left(1-\frac{1}{6}\cdot 4\right)=\frac{a^3}{6\sqrt2}\end{align*}}$ ．
【Oの体積】
Oを水色の面によって2つの合同な四角錐に分けて考える。
水色の面は一辺aの正方形であり、四角錐の高さ（赤の破線）
は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{\sqrt2}"align="middle\end{align*}}$ なので、Oの体積V0は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_O=2\left(a^2\cdot\frac{a}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{3}\right)=\frac{2a^3}{3\sqrt2}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{V_T}{Y_O}=\frac{a^3}{6\sqrt2}\div \frac{2a^3}{3\sqrt2}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
とりあえずは後回しの問題ですかね。
正四面体の体積を普通に「底面積×高さ÷3」で出そうとすると
高さを求めるのが少し面倒なので、上記のような手法は知って
おいて損はないですよ！
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第７問
最長の対角線の長さが4である正十六角形の面積を求めよ。
ただし、解答には三角関数を含まないこととする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正十六角形の中心をOとし、頂点を順にA1、A2、……、A16とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA_1=OA_2=2\ \ ,\ \ \angle A_1OA_2=\frac{2\pi}{16}=\frac{\pi}{8}\end{align*}}$ ．
半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、この正十六角形の面積の面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=16\triangle A_1OA_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =16\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 16\sqrt{2-\sqrt2}\ }\end{align*}}$
これは一瞬で片付けましょう！
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第８問
Aは第1象限の角、Bは第3象限の角で、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sin A=\frac{4}{5}\ \ ,\ \ \cos B=-\frac{24}{25}\end{align*}}$
であるとき、A+Bは第何象限の角かを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Aは第1象限の角、Bは第3象限の角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos A=\sqrt{1-\left( \frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin B=\sqrt{1-\left(- \frac{24}{25}\right)^2}=-\frac{7}{25}\ \ (<0)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(A+B \right)=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{24}{25}\right)+\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{7}{25}\right)=-\frac{117}{125}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\left(A+B \right)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{24}{25}\right)-\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{7}{25}\right)=-\frac{44}{125}<0\end{align*}}$
なので、A+Bは第3象限の角である。
明らかに第3象限か第4象限のどちらかなのでしょうが、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{5}<\left|-\frac{24}{25} \right|\end{align*}}$
なので、図を描いてみれば、計算するまでもなく
第3象限に決まってしまいます。
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第９問
xの2次方程式
x2+(a+3)x+4=0、 x2-2ax+2a2-4=0
のどちらか一方だけが実数解をもつときの定数aの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2+(a+3)x+4=0 および x2-2ax+2a2-4=0の判別式をそれぞれ
D1、D2とすると、D1≧0 と D2≧0のうちの一方だけが成り立てばよい。
D1=(a+3)2-16=a+6a-7=(a+7)(a-1)≧0
⇔ a≦-7 または 1≦a
D2/4=a2-(2a2-4)=-a2+4≧0 ⇔ -2≦a≦2
なので、求めるaの値の範囲は、
a≦-7、 -2≦a＜1、 2＜a
である。
これも一瞬で！！
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第10問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(\log_2 \frac{x}{2}\right)\left(\log_2 \frac{x}{8}\right)\end{align*}}$
とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦x≦8のとき、f(x)の最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(\log_2x-\log_22\right)\left(\log_2 x-\log_28\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\log_2x-1\right)\left(\log_2 x-3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\log_2x\right)^2-4\log_2 x+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\log_2x-2\right)^2-1\end{align*}}$
と変形できる。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\leq x\leq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leq \log_2x\leq 3\end{align*}}$
なので、f(x)の最大値および最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}=f\left(\frac{1}{2} \right)=\left(-1-2 \right)^2-1=\underline{\ 8\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{min}=f(4)=\left(2-2 \right)^2-1=\underline{\ -1\ }\end{align*}}$
これも手際よく2、3分で！！
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