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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015奈良県立医科大 後期数学1



第1問

  xを実数とし、0以上の任意の整数nに対して、定積分
        $\small\sf{\begin{align*}\sf I_n(x)=\int_0^xt^ne^tdt\end{align*}}$
  を考える。

 (1) In(x)は、定数anおよび最高次の係数を1とするxのn次式
    fn(x)を用いて
        In(x)=fn(x)ex+an
    の形に、ただ一通りの方法で表せることを証明せよ。

 (2) anをnを用いて表せ。

 (3) 正整数nに対して、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f_i(x)}{i!}\end{align*}}$
    とおく。(ただし、0!=1とする。)このとき、Sn(X)+Sn-1(X)を
    求めよ。



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  1. 2018/09/30(日) 00:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2015(後期)
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2015奈良県立医科大 後期数学2



第2問

  a、bは共に1より大きい実数の定数とする。xy平面において原点
  O(0,0)を中心とする半径1の円をCとし、2点(a,0)、(0,b)を
  通る直線をLとする。

 (1) 円Cと直線Lとが交わらない為に、定数a、bの満たすべき必要
    十分条件を求めよ。

 (2) さらに(1)の仮定の下で、直線L上の点Pを通り円Cと接する2本
    の接線のCにおける接点を、各々A、Bとおく。点Pが直線L上を
    動くとき、四角形PAOBの面積Sを最小にするような点Pの座標、
    およびSの最小値を求めよ。



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  1. 2018/09/30(日) 00:02:00|
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2015奈良県立医科大 後期数学3



第3問

  aを2以上の整数、pを2より大きい素数とする。ある正整数kに
  対して等式
        ap-1-1=pk
  が成り立つのは、a=2、p=3の場合に限ることを証明せよ。




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2015奈良県立医科大 後期数学4(新課程用)


第4問(新課程用)

  nを3以上の整数とし、複素数zを
        $\small\sf{\begin{align*}\sf z=\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf i=\sqrt{-1}\end{align*}}$
  と定める。
  a0,a1、…、an-1が1からnまでの全ての整数を動くとき、関数
  v=(a0+a1z+…+an-1zn-1)nの取りうる全ての値のなす集合を
  Sとおく。
  さらに、b0,b1、…、bn-2が0からn-1までの全ての整数を動く
  とき、関数 w=(b0+b1z+…+bn-2zn-2)nの取りうる全ての値の
  なす集合をTとおく。

 (1) 複素数1+z+…+zn-1の値を求めよ。

 (2) 二つの集合SとTとは等しいこと、すなわちS=Tが成り立つこと
    を証明せよ。



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2015奈良県立医科大 後期数学4(旧課程用)



第4問(旧課程用)

  nを3以上の整数とし、2行2列の行列Rを、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf R=\begin{pmatrix} \sf \cos (2\pi /n)&\sf -\sin(2\pi /n) \\ \sf \sin(2\pi /n) & \sf \cos(2\pi /n) \end{pmatrix}\end{align*}}$
  と定める。Eを2行2列の単位行列とする。a0,a1、…、an-1が1から
  nまでの全ての整数を動くとき、行列(a0+a1R+…+an-1Rn-1)n
  全体のなす集合をSとおく。
  さらに、b0,b1、…、bn-2が0からn-1までの全ての整数を動く
  とき、行列 (b0+b1R+…+bn-2Rn-2)n全体のなす集合をTとおく。

 (1) 行列 E+R+R2+…+Rn-1を求めよ。

 (2) 二つの集合SとTとは等しいこと、すなわちS=Tが成り立つこと
    を証明せよ。

 

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