第１問
次の中から鈍角三角形をすべて選べ。
ア、三辺の長さが10，13，16である三角形
イ、三辺の長さが8，9，4である三角形
ウ、三辺の長さが2，3，4である三角形
エ、三辺の長さが7，8，5である三角形
オ、三辺の長さが3，4，5である三角形
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
∠Aが鈍角である鈍角三角形ABCにおいて、対辺BCが
最大辺になるので、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2+c^2-a^2=2bc\cos A\lt0\ \ \ \ \left(\because\ \cos A\lt 0 \right)\end{align*}}$
ア、 102＋132－162＝13＞0
イ、 42＋82－92＝－1＜0
ウ、 22＋32－42＝－3＜0
エ、 52＋72－82＝10＞0
オ、 32＋42－52＝0
よって、ア～オのうちで鈍角三角形であるのは、イとウである。
これは秒殺で！！
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第２問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\sin^3x+\cos^3x-3\sin x\cos x\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sin x+\cos x\end{align*}}$ ･･････(#) とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2=\sin^2+2\sin x\cos x+\cos^2=1+2\sin x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sqrt2 \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
と合成できるので、tの取り得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt2\leq t\leq \sqrt2\end{align*}}$ ……(*)
である。
(#)を用いると、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos ^2x\right)-3\sin x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)-3\cdot \frac{t^2-1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{1}{2}\left(t^3+3t^2-3t-3\right)\end{align*}}$
と変形できるので、これをtの関数とみなしてh(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(t)=-\frac{3}{2}\left(t^2+2t-1 \right)\end{align*}}$ ．
よって、(*)の範囲におけるh(t)の増減は次のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(-\sqrt2 \right)=-\frac{1}{2}\left(-2\sqrt2+6+3\sqrt2-3 \right)=-\frac{1}{2}\left(3+\sqrt2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(\sqrt2 \right)=-\frac{1}{2}\left(2\sqrt2+6-3\sqrt2-3 \right)=-\frac{1}{2}\left(3-\sqrt2 \right)\end{align*}}$
また、筆算を用いて割り算すると、h(t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(t)=-\frac{1}{2}\left(t^2+2t-1 \right)\left(t+1 \right)+2t+1\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(-1+\sqrt2 \right)=2\left(-1+\sqrt2 \right)+1=-1+2\sqrt2\end{align*}}$
以上より、f(x)の最大値および最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)_{max}=\underline{\ -1+2\sqrt2\ }\ \ ,\ \ \ f\ (x)_{min}=\underline{\ -\frac{1}{2}\left(3+\sqrt2 \right)\ }\end{align*}}$
よくある問題ですが、計算が面倒くさそうなので後回しです。
他の教科との兼ね合い次第では、捨ててもOKかも
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第３問
関数f(x)が次を満たすとき、f(x)を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=5+2\int_0^1e^{t-x}f\ (t)\ dt\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=5+2e^{-x}\underline{\int_0^1e^{t}f\ (t)\ dt}\end{align*}}$
と変形できるので、下線部の定積分の値をkとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=5+2ke^{-x}\end{align*}}$
と表せる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\int_0^1e^t\left(5+2ke^{-t} \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\left(5e^t+2k \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[5e^t+2kt\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =5e+2k-5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=5\left(1-e \right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ f\ (x)=5+10\left(1-e \right)e^{-x}\ }\end{align*}}$
これも一瞬で合わせましょう！
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第４問
四角形ABCDがある。その内部の点をPとし、辺AB、BC、CD、DAまたは
それらの延長に垂線PE、PF、PG、PHを下ろす。点Pの位置によらず、
PE＋PG＝PF＋PH
が成り立つとき、四角形ABCDはどのような形であるか求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
∠Aの二等分線上に異なる2点P、P’をとる。
△AEP≡△AHPより、PE＝PHとなり、
これと PE＋PG＝PF＋PHより、PF＝PG．
よって、△CFP≡△CGPとなるので、
∠FCP＝∠GCP ……(ア)
が成り立つ。
一方、P’から辺AB、BC、CD、DAまたはそれらの延長に
垂線P’E、P’F、P’G、P’Hを下ろすと上と同様に
∠F’CP’＝∠G’CP’ ……(イ)
が成り立つ。
(ア)、(イ)より、4点A、P、P’、Cは同一直線上にあり、
△ABC≡△ADCとなるので、AB＝ADおよびCB＝CD
が成り立つ。
∠Bの二等分線上に異なる2点P、P’をとって同様に考えると、
BA＝BCとDA＝DCが成り立つので、
AB＝BC＝CD＝DA．
よって、四角形ABCDはひし形である。
逆に、四角形ABCDがひし形のとき、
PE＋PG＝EG＝ABを底辺としたときの高さ
PF＋PH＝FH＝BCを底辺としたときの高さ
であり、AB＝BCなので、PE＋PG＝PF＋PHが
常に成り立つ。
以上より、条件を満たす四角形ABCDはひし形である。
厳密に議論するには大変ですが、答えだけでいいので、
根拠が無くてもとりあえず書いておきましょう（笑）！
正方形だと明らかに成り立ち、（正方形でない）長方形だと
明らかに成り立ちません。
ひし形では？と調べるとOKなので、答えは直観で「ひし形」に決定です（笑）
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第５問
複素数aは実数でも純虚数でもないとする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{1+a^2}\end{align*}}$ が実数であるために
aの満たすべき必要十分条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{1+a^2}\end{align*}}$ が実数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{\left(\frac{a}{1+a^2} \right)}=\frac{a}{1+a^2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\frac{\overline{a}}{1+\overline{a}^2}=\frac{a}{1+a^2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\overline{a}+a^2\overline{a}=a+a\overline{a}^2\\&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a-\overline{a}-|a|^2a+|a|^2\overline{a}=0\\&\Leftrightarrow\ \ \sf\left(a-\overline{a} \right)\left(|a|^2-1 \right)=0\end{align*}}$
ここで、aは実数ではないので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\ne\overline{a}\end{align*}}$ である。
よって、求める必要十分条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ |a|=1\ \ (\gt 0)\ }\end{align*}}$
である。
a＝x＋yiとおいて成分計算する手もありますが、
計算が面倒です。
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第６問
次の条件を満たす数列{an}の一般項を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=3\ \ ,\ \ a_2=5\ \ ,\ \ a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\ \ \ \left( n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+2}-a_{n+1}=2\left(a_{n+1}-a_n \right)=2^n\left(a_2-a_1 \right)=2^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n=a_2-2a_1=-1\end{align*}}$
と2通りに変形できるので、これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=2^{n+1}+1\end{align*}}$ ．
よって、{an}の一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a_{n}=2^{n}+1\ }\end{align*}}$ ．
普通の隣接3項間の漸化式です。
これも答えだけでよいので、
a3＝15－6＝9
a4＝27－10＝17
a5＝51－18＝33
と求めると類推できます。
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第８問
xを実数とする。全体集合を実数全体の集合Rとし、部分集合A、B、C
は以下のように定める。
A＝{x| 2x－1≦|x－2|}
B＝{x| x2－x＜0}
C＝{x| x2＋x≦0}
このとき、A∩(B∪C)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Aについて
・x≧2のとき
2x－1≦|x－2| ⇔ 2x－1≦x－2
⇔ x≦－1
となり、これらを同時に満たすxは存在しない。
・x＜2のとき
2x－1≦|x－2| ⇔ 2x－1≦－x＋2
⇔ x≦1
となり、これらを同時に満たすxの範囲は x≦1
以上より
A＝{x| x≦1}
一方、
x2－x＝x(x－1)＜0 ⇔ 0＜x＜1
x2＋x＝x(x＋1)≦0 ⇔ －1≦x≦0
なので、
B＝{x| 0＜x＜1}
C＝{x| －1≦x≦0}
B∪C＝{x| －1≦x＜1}
B∪C＝{x| x＜－1 または 1≦x}
これらより、
A∩(B∪C)＝{x| x＜－1 または x＝1 }
x＝1を忘れないように！
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第９問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}}\right)^2-\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}}\right)+1\end{align*}}$
とする。f(x)が最小となるときのxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、これが最小になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{1+3e^{-2x}}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10=1+3e^{-2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-2x}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x=\log 3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=-\frac{1}{2}\log 3\ }\end{align*}}$
流石にしないとは思いますが、微分しちゃダメですよ（笑）！
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第10問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=k\left(1-x \right)^2x^3\end{align*}}$ とする。0≦x≦1の範囲でf(x)が最大となるxの値を
求めよ。ただし、kは
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1 k\left(1-x \right)^2x^3dx=1\end{align*}}$
を満たす実数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1 k\left(1-x \right)^2x^3dx &=\sf k\int_0^1\left(x^5-2x^4+x^3 \right)dx
\\&=\sf k\left[\frac{1}{6}x^6-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{4}x^3\right]_0^1
\\&=\sf\frac{k}{60}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{k}{60}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=60\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=60\left(x^5-2x^4+x^3 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=60\left(5x^4-8x^3+3x^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =60x^2\left( x-1\right)\left(5x-3 \right)\end{align*}}$
となるので、f(x)の0≦x≦1における増減は次のようになる。
これより、f(x)が最大になるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ x=\frac{3}{5}\ }\end{align*}}$
のときである。
反射的にkの値を求めてしまいましたが、最大値そのものを求める
わけではないので、k＞0さえ分かればOKです。
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