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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都府立医科大 数学1



第1問

  nを1以上の整数とし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\frac{1}{\left(2-x \right)^n}+\left(-1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left(2+x \right)^n}\ \ \ \ \left(|x|\lt2 \right)\end{align*}}$
  とおく。これについて
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf 1}\sf=\int_0^1f_1(x)dx\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\int_0^1\left( 1-x\right)^{n-1}f_n(x)dx\ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
  とおく。

 (1) fn(x)の導関数fn’(x)をfn+1(x)を用いて表せ。

 (2) nが奇数のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\frac{1}{2^{n-1}n}+\rm I_{\sf n+1}\sf\end{align*}}$ 、nが偶数のとき
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\rm I_{\sf n+1}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \rm I_{\sf n}\sf\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4^{k-1}\left(2k-1 \right)}=\log 3\end{align*}}$ であることを証明せよ。



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2015京都府立医科大 数学2



第2問

  円錐Cは母線の長さが1で、側面を扇形に展開したときの展開図の
  中心角が$\small\sf{\theta\ (0\lt\theta\lt 2\pi)}$であるとする。円錐Cの底面の半径をR
  とし、円錐Cに内接する球Bの半径をrとする。球Bと円錐Cの側面と
  で囲まれた部分をAとする。

 (1) Rとrを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) Aの体積をVとするとき、VをRを用いて表せ。

 (3) Cの側面のうちAに含まれる部分の面積をSとする。$\small\sf{0\lt\theta\lt 2\pi}$
    のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{V}{S}\end{align*}}$ を最大にする$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




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2015京都府立医科大 数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=-\frac{1}{2}\bigg| \left|\log |x| +1\right|+\log |x|-1\bigg|\ \ \ \left( x\ne 0\right)\end{align*}}$
  に対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=e^{g(x)}\ \ (x\ne 0)\ \ ,\ \ f(0)=\frac{1}{e}\end{align*}}$
  とおく。ここでeは自然対数の底である。

 (1) 関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。

  曲線y=f(x)上の点A(a,f(a))を固定する。x軸上に2点B、Cをとり、
  y≦f(x)の表す領域に含まれる三角形ABCを考える。このような三角形
  のうち最大の面積を持つ三角形の面積をS(a)とおく。

 (2) S(0)を求めよ。

 (3) S(a)≦S(0)であることを証明せよ。



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2015京都府立医科大 数学4



第4問

  1から10までの番号が書かれたカードが1枚ずつ全部で10枚ある。
  この中から無作為に1枚選び、立方体ABCD-EFGHの頂点Aにその
  カードを割り当てる。次に残りの9枚から無作為に1枚選び、頂点Bに
  そのカードを割り当てる。以下同様にして、CからHまでの頂点にカー
  ドを割り当て、立方体の8個の頂点に8枚の異なるカードを割り当てる。

 (1) 立方体の8個の頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になる
    確率を求めよ。

 (2) 立方体の面のうちで、面の4頂点に割り当てたカードの番号の和が
    偶数になるものの個数を考える。その個数がちょうど3になる確率を
    求めよ。

 (3) 立方体のすべての面において、面の4頂点に割り当てたカードの
    番号の和が偶数になる確率を求めよ。

 (4) 立方体のすべての面において、面の4頂点に割り当てたカードの
    番号の和が奇数になる確率を求めよ。



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