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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪府立大 理学部 数学1




第1問

  rを正の定数とし、nを3以上の自然数とする.Cを半径がrの円とする.円Cに
  内接する正n角形の1辺の長さをsn、円Cに外接する正n角形の1辺の長さをtn
  とする.ただし、正n角形が円Cに外接するとは、円Cが正n角形のすべての辺
  に接することである。

 (1) snをrとnを用いて表せ.

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{s_n}{t_n}\end{align*}}$ をnを用いて表せ.

 (3) s5=2であるとき、円Cに内接する正5角形の面積を、小数第3位を四捨五入
    して小数第2位まで求めよ.ただし、tan36°=0.727としてよい.



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  1. 2011/12/13(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2011(理)
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2011大阪府立大 理学部 数学2




第2問

  f(x)=e-xsinxとする.

 (1) e-xsinx-e-xcosxを微分せよ.

 (2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 自然数nに対して、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{n}\bigg( f\left(\frac{\pi}{2n}\right)+f\left(\frac{2\pi}{2n}\right)+f\left(\frac{3\pi}{2n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n\pi}{2n}\right)\bigg)\end{align*}}$
    とおく.次の式が成り立つことを示せ.
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n<\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ f\ (x)\ dx\lt S_n+\frac{1}{n}\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{align*}}$ を求めよ.



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  1. 2011/12/14(水) 23:57:00|
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2011大阪府立大 理学部 数学3




第3問

  aを実数とする.曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$ をC、直線y=ax+3a+1をLとする。

 (1) 直線Lはaの値によらず定点Pを通る.Pの座標を求めよ.

 (2) CとLが異なる2点を共有するときのaの値の範囲を求めよ.



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  1. 2011/12/15(木) 23:57:00|
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2011大阪府立大 理学部 数学4





第4問

  kを正の定数とする.直線y=kxをLとし、原点Oを通り直線Lに垂直な直線を
  mとする.2次正方行列Aで表される1次変換をf とする.f により、直線L上の
  点は自分自身に移り、直線m上の点は原点に移るとする.

 (1) 行列Aを求めよ.

 (2) Pを座標平面上の点とする.点Pのf による像をQとする.
   (ⅰ) 点Qは直線L上の点であることを示せ.

   (ⅱ) 点Pが直線L上の点でないとき、直線PQと直線Lは垂直であることを
      示せ.

   (ⅲ) 3点(0,0)、(1,0)、(0,2)を頂点とする三角形の辺上を点Pが動く
      とき、点Qの動く範囲を求めよ.


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  1. 2011/12/16(金) 23:57:00|
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