第1問
座標平面上に2点P(0，2)、Q(1，0)をとる。また、tを実数とし、
放物線y=(x－t)2をCとする。次の問いに答えよ。
(1) CがPを通るときのtの値を求めよ。
(2) Cが直線PQに接するときのtの値と接点の座標を求めよ。
(3) 線分PQとCの共有点の個数がtによりどのように変化するか
記述せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
CがP(0，2)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=\left(0-t\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\pm\sqrt2\ }\end{align*}}$
(2)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-2x+2\end{align*}}$
であり、これとCの方程式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-t\right)^2=-2x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\left(t-1\right)x+t^2-2=0\end{align*}}$ ……(#)
CとPQが接するとき、(#)が重解をもつので、
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=\left(t-1\right)^2-\left(t^2-2\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ t<-\sqrt2\end{align*}}$ のとき0個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ -\sqrt2\leqq t<\sqrt2\end{align*}}$ のとき1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ \sqrt2\leqq t< \frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき2個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \ t=\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (v)\ \ \frac{3}{2}\lt t\end{align*}}$ のとき0個
(3)は、丁寧に図を描けば大丈夫でしょう。
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- 2015/05/13(水) 23:57:00|
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第2問
Oを原点とする座標空間において四面体OABCを考える。△ABCの
重心をO’、△OBCの重心をA’、△OCAの重心を B’、△OABの
重心をC’とする。次の問いに答えよ。
(1) 2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O'A'}\end{align*}}$ は平行であることを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf O'A'}|\end{align*}}$ の比を求めよ。
(3) △OABと△O’A’B’は相似であることを示せ。
(4) AがP(1，0，0)とQ(0，2，0)を結ぶ線分の中点、BがQとR(0，0，3)
を結ぶ線分の中点、CがRとPを結ぶ線分の中点であるとき、四面体
OABCの積Vと四面体O’A’B’C’の体積V’を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
O’は△ABCの重心、A’は△OBCの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O'A'}=\overrightarrow{\sf OA'}-\overrightarrow{\sf OO'}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}-\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
となるので、2つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O'A'}\end{align*}}$ は平行である。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf O'A'}|=\left|-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\right|=\frac{1}{3}\ |\overrightarrow{\sf OA}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ |\overrightarrow{\sf OA}|:|\overrightarrow{\sf O'A'}|=3:1\ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)と同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O'B'}\end{align*}}$ は平行であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ |\overrightarrow{\sf OB}|:|\overrightarrow{\sf O'B'}|=3:1\end{align*}}$ となる。
よって、
∠AOB=∠A’O’B’ かつ OA：OB=O’A’：O’B’
なので、△OABと△O’A’B’は相似である。
(4)
OP、OQ、ORは互いに直交するので、
四面体OPQRの体積をWとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\frac{1}{3}\cdot \triangle OPQ\cdot OR\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$
△PQRの各辺の中点がA、B、Cなので、
△ABCと△RPQは相似になり
相似比1：2
面積比1：4
また、四面体OPQRと四面体OABCにおいて、
それぞれ△PQRと△ABCを底辺としたときの
高さは等しいので、これらの体積の比は、底面積
の比の比に等しい。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{4}\ W=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
一方、(3)と同様に考えると、
△OBC∽△O’B’C’
△OCA∽△O’C’A’
△ABC∽△A’B’C’
なので、四面体OABCと四面体O’A’B’C’は相似である。
相似比3：1
体積比27：1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ '=\frac{1}{27}\ V=\underline{\ \frac{1}{108}\ }\end{align*}}$
(4)は、図形的な性質を使わずにそのまま計算しようとすると死にます！
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第3問
m＞0 とする。座標平面上の点Pに対して、Pを通る傾きmの直線と
y軸の交点をRとし、点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RQ}=m\ \overrightarrow{\sf RP}\end{align*}}$ となるように定める。次の問い
に答えよ。
(1) Pの座標を(a，b)とするとき、Qの座標をm、a、bを用いて表せ。
(2) 点Pが放物線y=x2－x上を動くとき、対応する点Qの軌跡をCと
する。Cの方程式をy=f(x)とするとき、f(x)を求めよ。
(3) (2)のf(x)に対し、$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf (m)=\int_0^mf\ (x)dx\end{align*}}$ とする。mをm＞0の範囲で
変化させるとき、I(m)を最小にするmの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線PRの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-b=m\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=mx-am+b\end{align*}}$
となるので、Rの座標は、(0，－am+b)である。
点Qの座標を(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RQ}=m\ \overrightarrow{\sf RP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X\ ,\ Y-(-am+b)\right)=m\left(a\ ,\ b-(-am+b)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X\ ,\ Y\right)=\underline{\ \left(am\ ,\ am^2-am+b\right)}\end{align*}}$
(2)
点Pがy=x2－x上を動くので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=a^2-a\end{align*}}$
であり、これと(1)のy成分より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=am^2-am+a^2-a\end{align*}}$ ……(ⅰ)
が成り立つ。また、(1)のx成分より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=am\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{X}{m}\ \ \ \left(\because\ m\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、(ⅰ)、(ⅱ)よりaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{X}{m}\cdot m^2-\frac{X}{m}\cdot m+\left(\frac{X}{m}\right)^2+\frac{X}{m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{m^2}\ X^2+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)X\end{align*}}$ ．
この式は点Q(X，Y)が曲線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{m^2}\ x^2+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x\end{align*}}$
上にあることを表しているので、求める関数f(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(x)=\frac{1}{m^2}\ x^2+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x}\end{align*}}$
である。
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I(m)=\int_0^m\ f\ (x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^m\left\{\frac{1}{m^2}\ x^2+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3m^2}\ x^3+\frac{1}{2}\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x^2\right]_0^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}m+\frac{1}{2}\left(m^3-m^2-m\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(3m^3-3m^2-m\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I\ '(m)=\frac{1}{6}\left(9m^2-6m-1\right)\end{align*}}$
これより、I(m)の増減は次のようになる。
よって、I(m)が最小になるときのmの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=\frac{1+\sqrt2}{3}\ }\end{align*}}$
ベクトル、軌跡、微積と3つの単元にまたがる問題ですが、
普通に上から順に計算していきましょう。
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- 2015/05/15(金) 23:54:00|
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第4問
1枚の硬貨を何回も投げ、表が2回続けて出たら終了する試行を行う。
ちょうどn回投げた時点で終了する確率をPnとするとき、次の問いに
答えよ。
(1) P2を求めよ。
(2) P3を求めよ。
(3) P4を求めよ。
(4) P5＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ちょうど2回で終了するのは、表が2回連続するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(2)
ちょうど3回で終了するのは、裏表表の順に出るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(3)
ちょうど4回で終了するのは、2～4回目に裏表表の順に出る
ときなので（1回目はどちらでもよい）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4=1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(4)
ちょうど5回で終了するのは、1、2回目に表が2回連続せずに、
表3～5回目に裏表表の順に出るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_5=\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{32}<\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
(4)は、次のような答案を期待して出題されたものと思われます。
5回投げた時点で終了していない確率をQとおくと、
P1+P2+P3+P4+P5+Q=1．
ここで、明らかにQ＞0であり、P1=0なので、
P5＜1－(P2+P3+P4)
=1－(1/4+1/8+1/8)
=1/2
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