第1問
a＞0、b＞0とする。xy平面において、原点を通る傾き正の直線が、
直線y=－aと交わる点をPとし、直線x=bと交わる点をQとする。
Pのx座標をpとし、線分PQの長さをLとおくとき、次の問いに答えよ。
(1) L2をa、b、pを用いて表せ。
(2) a、bを定数とし、pをp＜0の範囲で変化させるとき、L2を最小に
するpの値を求めよ。
(3) (2)で求めたpの値をp0とする。また、cを $\small\sf{\begin{align*} \sf a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$ を満たす
正の実数とする。p=p0のときのL2の値をcを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
O(0，0)、P(p，－a)より直線OPの式は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{a}{p}\ x\end{align*}}$ となるので、
点Qの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(b,-\frac{ab}{p}\right)\end{align*}}$ である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L^2=\left(p-b\right)^2+\left\{-a-\left(-\frac{ab}{p}\right)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(p-b\right)^2+\frac{a^2}{p^2}\left(p-b\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\left(p^2+a^2\right)\left(p-b\right)^2}{p^2}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたL2をf(p)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=\frac{\left\{2p\left(p-b\right)^2+\left(p^2+a^2\right)\cdot 2\left(p-b\right)\right\}-\left(p^2+a^2\right)\left(p-b\right)^2\cdot 2p}{p^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(p-b\right)\left\{p^2\left(p-b\right)+\left(p^2+a^2\right)p-\left(p^2+a^2\right)\left(p-b\right)\right\}}{p^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(p-b\right)\left(p^3+a^2b\right)}{p^3}\end{align*}}$
となるので、p＜0の範囲におけるf(p)の増減は次のようになる。
よって、L2が最小になるときのpの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=-\sqrt[3]{\sf a^2b}\ }\end{align*}}$
である。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$ ……(#)
(2)で求めた
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_0=-\sqrt[3]{\sf a^2b}=-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L^2=\frac{\left(p_0^{\ 2}+a^2\right)\left(p_0-b\right)^2}{p_0^{\ 2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(p_0^{\ 2}+a^2\right)\left(1-\frac{b}{p_0}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^2\right)\left(1+\frac{b}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^2\right)\cdot\frac{1}{a^{\frac{4}{3}}}\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c^{\frac{2}{3}}\left(c^{\frac{2}{3}}\right)^2\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ c^2\ }\end{align*}}$
(2)、(3)は計算が面倒ですが、最後はキレイになるので嬉しいですね。
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第2問
関数f(x)、g(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-x}\sin x\ \ ,\ \ g\ (x)=e^{-x}\cos x\end{align*}}$
とおく。f(x)、g(x)の不定積分を
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int f\ (x)\ dx\ \ ,\ \ J=\int g\ (x)\ dx\end{align*}}$
とおく。kを自然数とし、$\small\sf{(k-1)\pi\leqq x\leqq k\pi}$ において、2つの曲線
y=f(x)、y=g(x)、および、2直線$\small\sf{\sf x=(k-1)\pi\ ,\ \ x=k\pi}$ で囲ま
れる2つの部分の面積の和をSkとおく。次の問いに答えよ。
(1) I=J+F(x)+C1、J=－I+G(x)+C2を満たす関数F(x)、
G(x)を求めよ。ただし、C1、C2は積分定数である。
(2) I、Jを求めよ。
(3) Skを求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int e^{-x}\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =J-e^{-x}\sin x+C_1\end{align*}}$ （C1：積分定数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J=\int e^{-x}\cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-e^{-x}\cos x+\int e^{-x}(-\sin x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-I-e^{-x}\cos x+C_2\end{align*}}$ （C2：積分定数）
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ F(x)=-e^{-x}\sin x\ \ ,\ \ G(x)=-e^{-x}\cos x\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf -J=-e^{-x}\sin x+C_1\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf +J=-e^{-x}\cos x+C_2\end{align*}}$ ……①
(①+②)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \rm I\sf =-\frac{1}{2}e^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C_3\ }\end{align*}}$ （C3：積分定数）
(②－①)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ J=\frac{1}{2}e^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C_4\ }\end{align*}}$ （C4：積分定数）
(3)
2曲線y=f(x)、y=g(x)、および、2直線x=(k－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ 、x=k$\scriptsize\sf{\pi}$ で
囲まれる2つの部分の面積の和Skは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\bigg|\ f(x)-g(x)\bigg|\ dx\end{align*}}$
として求めることができる。
t=x－(k－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=1\end{align*}}$
であり、x：(k－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ →k$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、t：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\int_{0}^{\pi}\bigg|\ f\left(t+(k-1)\pi\right)-g\left(t+(k-1)\pi\right)\bigg|\ dｔ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{0}^{\pi}\bigg|\ e^{-t-(k-1)\pi}\left\{\sin\left(t+(k-1)\pi\right)-\cos\left(t+(k-1)\pi\right)\right\}\bigg|\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-t}\bigg|\sin\left(t+(k-1)\pi\right)-\cos\left(t+(k-1)\pi\right)\bigg|\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-t}\bigg|\sin t\cos (k-1)\pi+\cos t\sin (k-1)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\cos t\cos (k-1)\pi+\sin t\sin (k-1)\pi\bigg|\ dt\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-t}\bigg|\ \left(-1\right)^{k-1}\sin t-\left(-1\right)^{k-1}\cos t\bigg|\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-t}\bigg|\ \sin t-\cos t\bigg|\ dt\end{align*}}$
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲では、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\leqq \cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\leqq x\leqq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\geqq \cos x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=e^{-(k-1)\pi}\left\{\int_{0}^{\pi/4}e^{-t}\left(\cos t-\sin t\right)dt+\int_{\pi/4}^{\pi}e^{-t}\left(\sin t-\cos t\right)dt\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\left\{\left[e^{-t}\sin t\right]_{0}^{\pi/4}+\left[-e^{-t}\sin t\right]_{\pi/4}^{\pi}\right\}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-(k-1)\pi}\left\{e^{-\pi/4}\sin\frac{\pi}{4}+e^{-\pi/4}\sin\frac{\pi}{4}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt2\ e^{-(k-\frac{3}{4})\pi}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)で求めたSkは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_k=\sqrt2\ e^{-(k-\frac{3}{4})\pi}=\sqrt2\ e^{\frac{3}{4}\pi}\cdot e^{-k\pi}\end{align*}}$
と変形できるので、公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\pi}\end{align*}}$ の等比数列をなす。
この公比の絶対値は1より小さいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\sqrt2\ e^{\frac{3}{4}\pi}\sum_{k=1}^{\infty}e^{-k\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\ e^{\frac{3}{4}\pi}\cdot\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt2\ e^{\frac{3}{4}\pi}}{e^{\pi}-1}\ }\end{align*}}$
(3)の計算が嫌ですね。
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第3問
1枚の硬貨を何回も投げ、表が2回続けて出たら終了する試行を行う。
ちょうどn回で終了する確率をPnとするとき、次の問いに答えよ。
(1) P2、P3、P4を求めよ。
(2) Pn+1をPnおよびPn-1を用いて表せ。ただし、n≧3とする。
(3) n≧2のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_{n}}{2}\leqq P_{n+1}\leqq P_n\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
・ちょうど2回で終了するのは、表が2回連続するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
・ちょうど3回で終了するのは、裏表表の順に出るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
・ちょうど4回で終了するのは、2～4回目に裏表表の順に出る
ときなので（1回目はどちらでもよい）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4=1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(2)
ちょうどn+1回で終了するのは、
・1回目が裏のときは、2～n+1回目のn回の試行でちょうど
終了すればよいので、この場合の確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ P_n\end{align*}}$
・1回目が表のときは、2回目に表が出る必要があり、その後、
3～n+1回目のn－1回の試行でちょうど終了すればよいので、
この場合の確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ P_{n-1}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_{n+1}=\frac{1}{2}\ P_n+\frac{1}{4}\ P_{n-1}\ }\end{align*}}$ ……(#)
(3)
n=2のとき、(1)より明らかに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_2}{2}=P_3\leqq P_2\end{align*}}$ ……①
が成り立つ。
n≧3のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1}-\frac{1}{2}P_n=\frac{1}{4}P_{n-1}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}P_n\leqq P_{n+1}\end{align*}}$ ……②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}P_{n-1}\leqq P_{n}\end{align*}}$ ……③
も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n-P_{n+1}=P_n-\left(\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{4}P_{n-1}\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}P_{n}-\frac{1}{4}P_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(P_{n}-\frac{1}{2}P_{n-1}\right)\geqq 0\ \Leftrightarrow\ \ P_{n+1}\leqq P_{n}\end{align*}}$ ←③より
以上より、n≧2である自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_{n}}{2}\leqq P_{n+1}\leqq P_n\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)は、n=2の場合の処理が必要です。
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第4問
Oを原点とする座標空間内に点A(0，0，1)、B(1，0，1)、C(1，1，1)
が与えられている。線分OCを1つの対角線とし、線分ABを一辺とする
立方体を直線OCの周りに回転して得られる回転体Kの体積を求めたい。
次の問いに答えよ。
(1) 点P(0，0，p) （0＜p≦1）から直線OCへ垂線を引いたときの交点H
の座標と線分PHの長さを求めよ。
(2) 点Q(q，0，1) （0≦q≦1）から直線OCへ垂線を引いたときの交点I
の座標と線分QIの長さを求めよ。
(3) 原点Oから点C方向へ線分OC上を距離u （0≦u≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ）だけ進んだ点
をUとする。点Uを通り直線OCに垂直な平面でKを切ったときの切り口
の円の半径rをuの関数として表せ。
(4) Kの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
正の実数hを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=h\ \overrightarrow{\sf OC}=\left(h,h,h\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=\left(h,h,h-p\right)\end{align*}}$
とおくと、OC⊥PHより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf PH}=h+h+\left(h-p\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ h=\frac{p}{3}\end{align*}}$
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\left(\frac{p}{3}\ ,\ \frac{p}{3}\ ,\ \frac{p}{3}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PH}=\left(\frac{p}{3}\ ,\ \frac{p}{3}\ ,\ \frac{2p}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、Hの座標およびPHの長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{p}{3}\ ,\ \frac{p}{3}\ ,\ \frac{p}{3}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=\sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^2+\left(\frac{2p}{3}\right)^2}=\underline{\ \frac{\sqrt6}{3}p\ }\ \ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
(2)
正の実数iを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}=i\ \overrightarrow{\sf OC}=\left(i\ ,\ i\ ,\ i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QI}=\left(i-q\ ,\ i\ ,\ i-1\right)\end{align*}}$
とおくと、OC⊥QIより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf QI}=\left(i-q\right)+i+\left(i-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ i=\frac{q+1}{3}\end{align*}}$
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}=\left(\frac{q+1}{3} , \frac{q+1}{3} , \frac{q+1}{3}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf QI}=\left(\frac{-2q+1}{3} , \frac{q+1}{3} , \frac{q-2}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、Iの座標およびQIの長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ I\left(\frac{q+1}{3} , \frac{q+1}{3} , \frac{q+1}{3}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QI=\sqrt{\left(\frac{-2q+1}{3}\right)^2+\left(\frac{q+1}{3}\right)^2+\left(\frac{q-2}{3}\right)^2}=\underline{\ \frac{1}{3}\sqrt{6\left(q^2-q+1\right)}\ }\end{align*}}$
(3)
(1)において、点Hを点Uとみなすと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=OH=\sqrt3\ h=\frac{\sqrt3}{3}p\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\sqrt3\ u\end{align*}}$
であり、0＜p≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0< u\leqq \frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=PH=\frac{\sqrt6}{3}\ p=\sqrt2\ u\end{align*}}$
(2)において、点Iを点Uとみなすと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=OI=\sqrt3\ i=\frac{\sqrt3}{3}\left(q+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\sqrt3\ u-1\end{align*}}$
であり、0≦q≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{3}\leqq u\leqq \frac{2\sqrt3}{3}\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=QI=\frac{1}{3}\sqrt{6\left(q^2-q+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sqrt{6\left\{\left(\sqrt3\ u-1\right)^2-\left(\sqrt3\ u-1\right)+1\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{2\left(u^2-\sqrt3\ u+1\right)}\end{align*}}$
点S(1，s，1) （0≦s≦1）から直線OCへ垂線を引いたときの
交点をJとする。このとき、正の実数ｊを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Oj}=j\ \overrightarrow{\sf OC}=\left(j\ ,\ j\ ,\ j\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf SJ}=\left(j-1\ ,\ j-s\ ,\ j-1\right)\end{align*}}$
とおくと、OC⊥SJより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf SJ}=\left(j-1\right)+\left(j-s\right)+\left(j-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ j=\frac{s+2}{3}\end{align*}}$ ．
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OJ}=\left(\frac{s+2}{3} , \frac{s+2}{3} , \frac{s+2}{3}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf SJ}=\left(\frac{s-1}{3} , \frac{-2s+2}{3} , \frac{s-1}{3}\right)\end{align*}}$
となる。ここで、点Jを点Uとみなすと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=OJ=\sqrt3\ j=\frac{\sqrt3}{3}\left(s+2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\sqrt3\ u-2\end{align*}}$
であり、0≦s≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{3}\leqq u\leqq \sqrt3\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=SJ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{s-1}{3}\right)^2+\left(\frac{-2s+2}{3}\right)^2+\left(\frac{s-1}{3}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt6}{3}\left(1-s\right)\ \ \ \left(\because\ s\leqq 1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt6}{3}\left\{1-\left(\sqrt3\ u-2\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\left(\sqrt3 -u\right)\end{align*}}$
以上より
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq u\leqq \frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\underline{\ \sqrt2\ u\ }\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{3}< u\leqq \frac{2\sqrt3}{3}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\underline{\ \sqrt{2\left(u^2-\sqrt3\ u+1\right)}\ }\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{3}< u\leqq \sqrt3\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\underline{\ \sqrt2\left(\sqrt3 -u\right)\ }\end{align*}}$
(4)
点Uを通り直線OCに垂直な平面でKを切ったときの断面積は、
$\scriptsize\sf{\pi}$ r2なので、Kの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\sqrt3}r^2\ du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}}2u^2\ du+\pi\int_{\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{2\sqrt3}{3}}2\left(u^2-\sqrt3\ u+1\right)du+\pi\int_{\frac{2\sqrt3}{3}}^{\sqrt3}2\left(\sqrt3 -u\right)^2du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{2}{3}u^3\right]_0^{\frac{\sqrt3}{3}}+\pi\left[\frac{1}{3}u^3-\frac{\sqrt3}{2}u^2+u\right]_{\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{2\sqrt3}{3}}+\pi\left[\frac{2}{3}\left(u-\sqrt3\right)^3\right]_{\frac{2\sqrt3}{3}}^{\sqrt3}\end{align*}}$
となり、これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\underline{\ \frac{\pi}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
2010年の京大に同じ問題が出てます。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-142.html
もっとも、京大の方は文系での出題で、途中の誘導もほとんど無しですが・・・
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