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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪市立大 理系数学1



第1問

  a>0、b>0とする。xy平面において、原点を通る傾き正の直線が、
  直線y=-aと交わる点をPとし、直線x=bと交わる点をQとする。
  Pのx座標をpとし、線分PQの長さをLとおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) L2をa、b、pを用いて表せ。

 (2) a、bを定数とし、pをp<0の範囲で変化させるとき、L2を最小に
    するpの値を求めよ。

 (3) (2)で求めたpの値をp0とする。また、cを $\small\sf{\begin{align*} \sf a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$ を満たす
    正の実数とする。p=p0のときのL2の値をcを用いて表せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/02/27(金) 23:51:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2015
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2015大阪市立大 理系数学2



第2問

  関数f(x)、g(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-x}\sin x\ \ ,\ \ g\ (x)=e^{-x}\cos x\end{align*}}$
  とおく。f(x)、g(x)の不定積分を
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int f\ (x)\ dx\ \ ,\ \ J=\int g\ (x)\ dx\end{align*}}$
  とおく。kを自然数とし、$\small\sf{(k-1)\pi\leqq x\leqq k\pi}$ において、2つの曲線
  y=f(x)、y=g(x)、および、2直線$\small\sf{\sf x=(k-1)\pi\ ,\ \ x=k\pi}$ で囲ま
  れる2つの部分の面積の和をSkとおく。次の問いに答えよ。

 (1) I=J+F(x)+C1、J=-I+G(x)+C2を満たす関数F(x)、
    G(x)を求めよ。ただし、C1、C2は積分定数である。

 (2) I、Jを求めよ。

 (3) Skを求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/02/27(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2015
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2015大阪市立大 理系数学3



第3問

  1枚の硬貨を何回も投げ、表が2回続けて出たら終了する試行を行う。
  ちょうどn回で終了する確率をPnとするとき、次の問いに答えよ。

 (1) P2、P3、P4を求めよ。

 (2) Pn+1をPnおよびPn-1を用いて表せ。ただし、n≧3とする。

 (3) n≧2のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_{n}}{2}\leqq P_{n+1}\leqq P_n\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。



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  1. 2015/02/28(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2015
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2015大阪市立大 理系数学4



第4問

  Oを原点とする座標空間内に点A(0,0,1)、B(1,0,1)、C(1,1,1)
  が与えられている。線分OCを1つの対角線とし、線分ABを一辺とする
  立方体を直線OCの周りに回転して得られる回転体Kの体積を求めたい。
  次の問いに答えよ。

 (1) 点P(0,0,p) (0<p≦1)から直線OCへ垂線を引いたときの交点H
    の座標と線分PHの長さを求めよ。

 (2) 点Q(q,0,1) (0≦q≦1)から直線OCへ垂線を引いたときの交点I
    の座標と線分QIの長さを求めよ。

 (3) 原点Oから点C方向へ線分OC上を距離u (0≦u≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )だけ進んだ点
    をUとする。点Uを通り直線OCに垂直な平面でKを切ったときの切り口
    の円の半径rをuの関数として表せ。

 (4) Kの体積を求めよ。



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  1. 2015/02/28(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2015
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