第1問
以下の問いに答えよ。
(1) a、b、cは正の実数で、a≠1、c≠1とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align*}}$
となることを、対数の定義にもとづいて証明せよ。ただし、必要
ならば、$\small\sf{\log_pM^r=r\log M}$ （p＞0、p≠1、M＞0、rは実数）を
用いてよい。
(2) 方程式$\small\sf{\sf \log_4(x+3)=\log_2x-1}$ を解け。
(3) 方程式$\small\sf{\sf \log_4(x+k)=\log_2x-1}$ が解を持つような実数kの範囲を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
a、b＞0、a≠1なので、対数の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=a^{\log_ab}\end{align*}}$
であり、両辺＞0なので、底c （≠1）の対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_cb=\log_ca^{\log_ab}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log_ab\cdot\ \log_ca\ \ \ \left(\because\ \log_pM^r=r\log_pM \right)\end{align*}}$
ここで、a≠1よりlogca≠0なので、両辺をこれで割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align*}}$
が導かれる。
(2)
真数条件は、x+3＞0 かつ x＞0、すなわち、x＞0．
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log_2\left( x+3\right)}{\log_24}=\log_2x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2\left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\log_2\frac{x}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{x}{2}\end{align*}}$
両辺＞0より、両辺を2乗して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x-12=\left(x-6 \right)\left(x+2 \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=6\ ,\ -2\end{align*}}$ ．
真数条件よりx＞0なので、x=6
(3)
(2)と同様に変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_4\left( x+k\right)=\log_2x-1\end{align*}}$ ……(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x-4k=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\pm 2\sqrt{k+1}\end{align*}}$ ……(*)
(ⅰ) k＞0のとき
真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞0である。
k＞0のとき(*)は実数となり
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>0\end{align*}}$
より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。
(ⅱ) －1≦k≦0のとき
真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞－kである。
－1≦kより(*)は実数となり
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>1\geqq -k\end{align*}}$
より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。
(ⅲ) k＜－1のときは(*)が虚数になるので不適
以上より、(#)が実数解を持つようなkの値の範囲は －1≦k である。
(1)が出来なかった人は多かったのでは（笑）
教科書には普通に載っている証明ですが。
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- 2015/08/01(土) 23:54:00|
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第2問
平面上の3点A、B、Cが、AB=3，AC=4，BC=2を満たしているとする。
またB'はAからCに向かう半直線上にあり、AB'=8となる点とする。
A'はBからCに向かう半直線上にあり、BA'＞BCかつ∠B'A'C=∠BAC
となる点とする。さらにA、Bを通る直線と、A'、B'を通る直線の交点をD
とする。以下の問いに答えよ。
(1) DBとDB'を求めよ。
(2) cos∠B'A'Cの値を求めよ。また、それを用いて△A'B'Cの面積を
求めよ。
(3) Pを線分DB'上にあり、DP:PB'=1:3となる点とする。またP'を線分
APと線分BCとの交点とする。このとき、長さの比BP':P'Cを求めよ。
(4) P'を(3)で与えたものとする。△ABP'の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABC∽△A'B'Cより
A'B'=6、 A'C=8
△AB'D∽△A'BDより
8:10=DB':DB=(DB+3):(DB'+6)
⇔ DB=5、 DB'=4
(2)
△A'B'Cに余弦定理を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle B'A'C=\frac{-4^2+8^2+6^2}{2\cdot 8\cdot 6}=\underline{\ \frac{7}{8}\ }\end{align*}}$
sin∠B'A'C＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle A'B'C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot\sqrt{1-\left( \frac{7}{8}\right)^2}=\underline{\ 3\sqrt{15}\ }\end{align*}}$
(3)
DP=1、PB'=3なので、メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DP}{PA'}\cdot\frac{A'P'}{P'B}\cdot\frac{BA}{AD}=\frac{1}{9}\cdot\frac{A'P'}{P'B}\cdot\frac{3}{8}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ A'P':P'B=24:1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP'=\frac{1}{25}A'B=\frac{2}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP':P'C=\frac{2}{5}:\left(2-\frac{2}{5}\right)=\underline{\ 1:4\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABP'=\frac{1}{5}\triangle ABC=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{15}}{8} \right)=\underline{\ \frac{3\sqrt{15}}{20}\ }\end{align*}}$
(1)の相似に気づきますか？？
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}\ \ \ \left(x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) f(x)≧0を示せ。また等号が成立するようなxの値を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{\sqrt{x}-1}\left(\sqrt{x}-1 \right)'-\left(\sqrt{x} \right)'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(e^{\sqrt{x}-1}-1 \right)\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)≧が成り立つ。
また、等号が成立するのは、x=1のときである。
(2)
求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1\left(e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} \right)dx\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{x}\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2t}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1\left(e^{t-1}-t\right)\cdot 2tdt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e}\int_0^1te^{t}dt-2\int_0^1t^2dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e}\left\{\bigg[te^t\bigg]_0^1-\int_0^1e^tdt\right\}-2\left[\frac{1}{3}t^3 \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e}\bigg[\left(t-1\right)e^t\bigg]_0^1-\frac{2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{e}-\frac{2}{3}\ }\end{align*}}$
(2)の置換は気づきますよね？
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- 2015/08/02(日) 23:54:00|
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第4問
実数xに対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n(x)=\left( \frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5}\right)^n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
とおく。ただしxは1でも5でもないとする．以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)\end{align*}}$ が収束するxの範囲と、そのときの極限値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_2^3a_1(x)dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5}\end{align*}}$
とおくと、n→∞のときにrnが収束するのは、－1＜r≦1のときである。
(ⅰ) x2－6x+5＞0 すなわち x＜1または5＜xのとき
-1＜r≦1 ⇔ -x2+6x-5＜-x2+8x-19≦x2-6x+5
前の2辺は
-2x＜-14 ⇔ 7＜x
後ろの2辺は
-2x2+14x-24=-2(x-3)(x-4)≦0 ⇔ x≦3または4≦x
となるので、これらを同時に満たすxの範囲は、7＜x
(ⅱ) 1＜x＜5のとき
-1＜r≦1 ⇔ -x2+6x-5＞-x2+8x-19≧x2-6x+5
前の2辺は
-2x＞-14 ⇔ x＜7
後ろの2辺は
-2x2+14x-24≧0 ⇔ 3≦x≦4
となるので、これらを同時に満たすxの範囲は、3≦x≦4
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)\end{align*}}$ が収束するxの範囲は、
3≦x≦4 または 7＜x
また、極限値は、
・x=3，4のとき、r=1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
・3＜x＜4、7＜xのとき、－1＜r＜1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n(x)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_2^3a_1(x)dx=\int_2^3\frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_2^3\left\{ -1+\frac{2x-14}{\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)}\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_2^3\left( -1+\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x-5}\right)dx\end{align*}}$ ←部分分数分解
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-x+3\log |x-1|-\log |x-5|\bigg]_2^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -1+2\log 2+\log 3\ }\end{align*}}$
【部分分数分解のやり方（その1）】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{2x-14}{\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-5}\end{align*}}$ （a、b：定数） ……(#)
とおく。分母を払うと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}2x-14=a\left(x-5 \right)+b\left(x-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b-2 \right)x-5a-b+14=0}\end{align*}}$
と変形でき、これが任意のxに対して成り立つので、
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}a+b-2=-5a-b+14=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=3\ ,\ b=-1}\end{align*}}$ ．
これが一般的な方法だと思いますが、a、bの値を出すだけなら
次の方法が楽です。
【部分分数分解のやり方（その2）】
(#)の両辺にx-1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{2x-14}{x-5}=a+\frac{b\left( x-1\right)}{x-5}\end{align*}}$
となり、x→1の極限をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x-14}{x-5}=\lim_{x\rightarrow 1}a+\lim_{x\rightarrow 1}\frac{b\left( x-1\right)}{x-5}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2-14}{1-5}=a+0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=3}\end{align*}}$
のように求めることができます。
同様に、(#)の両辺にx-5をかけて、x→5の極限をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}b=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{2x-14}{x-1}=-1}\end{align*}}$
です。
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