第1問
以下の問いに答えよ。
(1) a、b、cは正の実数で、a≠1、c≠1とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align*}}$
となることを、対数の定義にもとづいて証明せよ。ただし、必要
ならば、$\small\sf{\log_pM^r=r\log M}$ （p＞0、p≠1、M＞0、rは実数）を
用いてよい。
(2) 方程式$\small\sf{\sf \log_4(x+3)=\log_2x-1}$ を解け。
(3) 方程式$\small\sf{\sf \log_4(x+k)=\log_2x-1}$ が解を持つような実数kの範囲を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
a、b＞0、a≠1なので、対数の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=a^{\log_ab}\end{align*}}$
であり、両辺＞0なので、底c （≠1）の対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_cb=\log_ca^{\log_ab}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log_ab\cdot\ \log_ca\ \ \ \left(\because\ \log_pM^r=r\log_pM \right)\end{align*}}$
ここで、a≠1よりlogca≠0なので、両辺をこれで割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align*}}$
が導かれる。
(2)
真数条件は、x+3＞0 かつ x＞0、すなわち、x＞0．
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log_2\left( x+3\right)}{\log_24}=\log_2x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2\left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\log_2\frac{x}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{x}{2}\end{align*}}$
両辺＞0より、両辺を2乗して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x-12=\left(x-6 \right)\left(x+2 \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=6\ ,\ -2\end{align*}}$ ．
真数条件よりx＞0なので、x=6
(3)
(2)と同様に変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_4\left( x+k\right)=\log_2x-1\end{align*}}$ ……(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x-4k=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\pm 2\sqrt{k+1}\end{align*}}$ ……(*)
(ⅰ) k＞0のとき
真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞0である。
k＞0のとき(*)は実数となり
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>0\end{align*}}$
より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。
(ⅱ) －1≦k≦0のとき
真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞－kである。
－1≦kより(*)は実数となり
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>1\geqq -k\end{align*}}$
より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。
(ⅲ) k＜－1のときは(*)が虚数になるので不適
以上より、(#)が実数解を持つようなkの値の範囲は －1≦k である。
(1)が出来なかった人は多かったのでは（笑）
教科書には普通に載っている証明ですが。
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- 2015/07/28(火) 23:57:00|
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第2問
平面上の3点A、B、Cが、AB=3，AC=4，BC=2を満たしているとする。
またB'はAからCに向かう半直線上にあり、AB'=8となる点とする。
A'はBからCに向かう半直線上にあり、BA'＞BCかつ∠B'A'C=∠BAC
となる点とする。さらにA、Bを通る直線と、A'、B'を通る直線の交点をD
とする。以下の問いに答えよ。
(1) DBとDB'を求めよ。
(2) cos∠B'A'Cの値を求めよ。また、それを用いて△A'B'Cの面積を
求めよ。
(3) Pを線分DB'上にあり、DP:PB'=1:3となる点とする。またP'を線分
APと線分BCとの交点とする。△ABP'の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABC∽△A'B'Cより
A'B'=6、 A'C=8
△AB'D∽△A'BDより
8:10=DB':DB=(DB+3):(DB'+6)
⇔ DB=5、 DB'=4
(2)
△A'B'Cに余弦定理を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle B'A'C=\frac{-4^2+8^2+6^2}{2\cdot 8\cdot 6}=\underline{\ \frac{7}{8}\ }\end{align*}}$
sin∠B'A'C＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle A'B'C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot\sqrt{1-\left( \frac{7}{8}\right)^2}=\underline{\ 3\sqrt{15}\ }\end{align*}}$
(3)
DP=1、PB'=3なので、メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DP}{PA'}\cdot\frac{A'P'}{P'B}\cdot\frac{BA}{AD}=\frac{1}{9}\cdot\frac{A'P'}{P'B}\cdot\frac{3}{8}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ A'P':P'B=24:1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP'=\frac{1}{25}A'B=\frac{2}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP':BC=\frac{2}{5}:2=1:5\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABP'=\frac{1}{5}\triangle ABC=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{15}}{8} \right)=\underline{\ \frac{3\sqrt{15}}{20}\ }\end{align*}}$
(1)の相似に気づきますか？？
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- 2015/07/29(水) 23:57:00|
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}\ \ \ \left(x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) f(x)≧0を示せ。また等号が成立するようなxの値を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに
1回転してできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{\sqrt{x}-1}\left(\sqrt{x}-1 \right)'-\left(\sqrt{x} \right)'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(e^{\sqrt{x}-1}-1 \right)\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)≧が成り立つ。
また、等号が成立するのは、x=1のときである。
(2)
求める体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_0^1\left(e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left\{e^{2(\sqrt{x}-1)}-2\sqrt{x}\ e^{\sqrt{x}-1}+x \right\}dx\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{x}\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2t}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_0^1e^{2(t-1)}\cdot 2tdt-2\int_0^1te^{t-1}\cdot 2tdt+\left[\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e^2}\int_0^1te^{2t}dt-\frac{4}{e}\int_0^1t^2e^tdt+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1te^{2t}dt=\left[\frac{1}{2}te^{2t} \right]_0^1-\int_0^1\frac{1}{2}e^{2t}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\right)e^{2t} \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1t^2e^tdt=\bigg[t^2e^t\bigg]_0^1-\int_0^12te^tdt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\left(\bigg[te^t\bigg]_0^1-\int_0^1e^tdt \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\bigg[\left(t-1\right)e^t\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\left\{ \frac{2}{e^2}\left(\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}\right)-\frac{4}{e}\left(e-2 \right)+\frac{1}{2}\right\}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi\left(\frac{1}{2e^2}+\frac{8}{e}-3 \right)\ }\end{align*}}$
(2)の計算が面倒です。
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- 2015/07/30(木) 23:57:00|
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第4問
数列{an}と{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=119\ \ ,\ \ a_{n+1}-a_n=12n-61\ \ \ \ \left( n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{b_k}=-\frac{1}{2}n\left(n-2c+1\right)\ \ \ \ \left( n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定める。ここでcは5＜c＜6を満たす定数とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 一般項an、bnを求めよ。
(2) anbn＞0となるnをすべて求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$ が最大になるnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
【anについて】
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( 12k-61\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =119+\frac{12}{2}\left(n-1 \right)n-61\left(n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 6n^2-67n+180\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
【bnについて】
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_1}=-\frac{1}{2}\left(1-2c+1 \right)=c-1\ \ \Leftrightarrow\ \ b_1=\frac{1}{c-1}\end{align*}}$
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{b_k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{b_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}n\left(n-2c+1 \right)+\frac{1}{2}\left(n-1 \right)\left(n-2c \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_n=\frac{1}{c-n}\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_nb_n=\frac{6n^2-67n+180}{c-n}=\frac{\left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)}{c-n}>0\end{align*}}$ ……(*)
(ⅰ) c－n＞0 すなわち、1≦n≦5のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{9}{2}\ \ ,\ \ \frac{20}{3}\lt n\end{align*}}$
これを満たす自然数nの値は、n=1，2，3，4
(ⅱ) c－n＜0 すなわち、6≦nのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{9}{2}\lt n<\frac{20}{3}\end{align*}}$
これを満たす自然数nの値は、n=6
以上より、anbn＞0となるnの値は、ｎ=1，2，3，4，6
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$ とおくと、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1\lt S_2\lt S_3\lt S_4>S_5\lt S_6>S_7>S_8>\ldots>\end{align*}}$
となるので、Snが最大になるのはn=4またはn=6のときである。
S4＜S6となるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_6-S_4=a_5b_5+a_6b_6>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{-5}{c-5}+\frac{-6}{c-6}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -5\left(c-6 \right)-6\left(c-5 \right)<0\ \ \ \ \left(\because\ 5\lt c<6 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{60}{11}\lt c\end{align*}}$
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{60}{11}\lt c<6\end{align*}}$ のときはn=6でSnは最大
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\frac{60}{11}\end{align*}}$ のときはn=4，6でSnは最大
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\lt c<\frac{60}{11}\end{align*}}$ のときはn=4でSnは最大
(2)、(3)は、場合分けが必要なことに注意です！
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- 2015/07/31(金) 23:57:00|
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