第１問
aを定数とする。x＞0における関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\log x+ax^2-3x\end{align*}}$
について、曲線y=f(x)はx=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ で変曲点をもつとする。
(１) aを求めよ。
(２) kを定数とするとき、方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ。
(３)曲線y=f(x)とx軸、および2直線x=1、x=2で囲まれた部分を、
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+2ax-3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{1}{x^2}+2a\end{align*}}$ ．
題意より、f(x)は、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ で変曲点をもつので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(\frac{1}{\sqrt2})=-2+2a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=1\ }\end{align*}}$ ．
（このとき、f”(x)の符号はx=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ の前後で変化するので、
f(x)は確かにx=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ で変曲点をもつ）
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\log x+x^2-3x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{2x^2-3x+1}{x}=\frac{\left(2x-1 \right)\left(x-1 \right)}{x}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、曲線y=f(x)の概形は右図のようになる。
方程式f(x)=kの異なる実数解の個数は、
曲線y=f(x)と直線y=kの異なる共有点の
個数に等しい。
よって、
k＜-2，A＜kのとき 1個
k=-2，kのとき 2個
-2＜k＜Aのとき 3個
となる。（ただし、A=-log2-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{4}\end{align*}}$ ）
(３)
e＞2.7より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2)=\log 2-2<0\end{align*}}$ ．
よって、曲線y=f(x)とx軸、および2直線x=1、x=2で囲まれた部分は
右図の水色部分であり、この部分の回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{V}{\pi}=\int_1^2\left(\log x+x^2-3x \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_1^2\left\{ \left(\log x \right)^2+2\left(x^2-3x \right)\log x+x^4-6x^3+9x^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[x \left(\log x \right)^2+2\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2 \right)\log x+\frac{x^5}{x}-\frac{3}{2}x^4+3x^3\right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\int_1^2\left\{ x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}+2\left(\frac{x^3}{3}- \frac{3}{2}x^2\right)\cdot\frac{1}{x}\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{20}{3}\log 2+\frac{47}{10}-\int_1^2\left( 2\log x+\frac{2}{3}x^2- 3x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{20}{3}\log 2+\frac{47}{10}-\bigg[2\left( x\log x-x\right)+\frac{2}{9}x^3-\frac{3}{2}x^2\bigg]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{32}{3}\log 2+\frac{434}{45}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ V=\left\{ 2\left(\log 2 \right)^2-\frac{32}{3}\log 2+\frac{434}{45}\right\}\pi\ }\end{align*}}$
(３)の計算が嫌です（笑）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2015
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
a＜bとする。放物線y=x2上の2点A(a，a2)、B(b，b2)におけるそれぞれの
接線の交点をCとおく。∠ACB=60°であるとする。
(１) a+b=0のとき、aを求めよ。
(２) ある正の実数kを用いて $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$ =-k(1，2a)、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ =k(1，2b)と表されることを
示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf a\lt -\frac{\sqrt3}{6}\ ,\ b\gt\frac{\sqrt3}{6}\end{align*}}$ を示せ。
(４) bをaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bにおける接線をそれぞれL1、L2とおくと、
(x2)’=2xなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_A:\ y-a^2=2a\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2ax-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_B:\ y=2bx-b^2\end{align*}}$ ．
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2ax-a^2=2bx-b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(b-a \right)x=b^2-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b^2-a^2}{2\left(b-a \right)}=\frac{a+b}{2}\ \ \ \ \left(\because\ a\ne b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$
よって、L1、L2の交点Cの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ ab \right)\end{align*}}$
(１)
a+b=0のとき、a＜bより、a=-b＜0＜bである。
このとき、Cの座標は(0，-b2)となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=\left(-b\ ,\ 2b^2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CB}=\left(b\ ,\ 2b^2 \right)\end{align*}}$ ．
∠ACB=60°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=|\overrightarrow{\sf CA}||\overrightarrow{\sf CB}|\cos 60^{\circ}\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -b^2+4b^4=\left(\sqrt{b^2+4b^4 }\right)^2\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\left(4b^2-3 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \ \left(\because\ b>0 \right)\end{align*}}$ ．
よって、aの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-b=\underline{\ -\frac{\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CB}=\left(b- \frac{a+b}{2}\ ,\ b^2-ab\right)=\frac{1}{2}\left(b-a\ ,\ 2b\left(b-a \right) \right)=\frac{b-a}{2}\left(1\ ,\ 2b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=\left(a- \frac{a+b}{2}\ ,\ a^2-ab\right)=\frac{1}{2}\left(a-b\ ,\ 2a\left(a-b \right) \right)=-\frac{b-a}{2}\left(1\ ,\ 2a \right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\frac{b-a}{2}\end{align*}}$
とおくと、a＜bより、k＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=-k\left(1\ ,\ 2a \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CB}=k\left(1\ ,\ 2b \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
(３)
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf CA}||\overrightarrow{\sf CB}|>0\end{align*}}$
なので、これに(２)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=-k^2\left(1+4ab \right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab<-\frac{1}{4}\ \ \ \left(\because\ k>0 \right)\end{align*}}$ ……②
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\ ,\ \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ がx軸正方向となす角を
右図のようにそれぞれ$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とすると、
tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2a、 tan$\scriptsize\sf{\beta}$ =2b ．
であり、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ -$\scriptsize\sf{\beta}$ =∠ACB=60°
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\left(\alpha-\beta \right)=\frac{2a-2b}{1+2a\cdot 2b}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\sqrt3ab-2a+2b+\sqrt3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab-\frac{\sqrt3}{6}a+\frac{\sqrt3}{6}b+\frac{1}{4}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+\frac{\sqrt3}{6}\right)\left(b- \frac{\sqrt3}{6}\right)=-\frac{1}{3}<0\end{align*}}$ ……③
③の不等式を満たすa、bの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a+\frac{\sqrt3}{6}>0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b- \frac{\sqrt3}{6}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ a+\frac{\sqrt3}{6}<0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b- \frac{\sqrt3}{6}>0\end{align*}}$
の2通りの場合がある。
(ⅰ)のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\sqrt3}{6}\lt a\lt b\lt\frac{\sqrt3}{6}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{12}\lt ab\end{align*}}$
となるが、これは②の条件を満たさない。
(ⅱ)のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\lt -\frac{\sqrt3}{6}\ \ ,\ \ \frac{\sqrt3}{6}\lt b\end{align*}}$
となり、このときは②を満たすようなa、bが存在する。
よって、題意は示された。
(４)
③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{\sqrt3}{6}-\frac{1}{3\left(a+\frac{\sqrt3}{6}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\sqrt3\left(6a+\sqrt3 \right)-12}{6\left(6a+\sqrt3 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2\sqrt3 a-3}{2\left(6a+\sqrt3 \right)}\ }\end{align*}}$
2直線のなす角を求めるには
・tanの加法定理を用いる
・ベクトルの内積を用いる
の2通りの方法がありますが、この問題では両方を上手く使い分ける
必要があります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2015
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
aを0＜a＜$\small\sf{\pi}$ /2をみたす定数とし、方程式
x(1-cosx)=sin(x+a)
を考える。
(１) nを正の整数とするとき、上の方程式は2n$\small\sf{\pi}$ ＜x＜2n$\small\sf{\pi}$ +$\small\sf{\pi}$ /2の
範囲でただ1つの解をもつことを示せ。
(２) (１)の解をxnとおく。極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_n-2n\pi \right)\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(x_n-2n\pi \right)\end{align*}}$ を求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{align*}}$ を用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x\left(1-\cos x \right)-\sin\left(x+a \right)\ \ \ \ \ \left(2n\pi \lt x\lt 2n\pi+ \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=1-\cos x+x\sin x-\cos\left( x+a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=2\sin x+x\cos x+\sin\left( x+a\right)\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n\pi \lt x\lt 2n\pi+ \frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ 0 \lt a\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、常にf”(x)＞0となるので、f’(x)は単調に増加する。
このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(2n\pi \right)=1-1+0-\cos a=-cos a\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(2n\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1-0+\left(2n\pi +\frac{\pi}{2}\right)-\cos \left(a +\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1+2n\pi +\frac{\pi}{2}+\sin a\gt 0\end{align*}}$
より、f’(x)=0となるxがただ1つ存在する。
その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( 2n\pi\right)=-\sin a\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=2n\pi+\frac{\pi}{2}+\cos a\gt 0\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)=0となるxがただ1つ存在するので、題意は示された。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_n=x_n-2n\pi\ \ \ \ \left(0\lt y_n\lt \frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_n\left(1-\cos x_n \right)=\sin\left(x_n+a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( y_n+2n\pi\right)\left\{1-\cos\left( y_n+2n\pi\right) \right\}=\sin\left( y_n+2n\pi +a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y_n+2n\pi \right)\left(1-\cos y_n \right)=\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$ ……(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\cos y_n=\frac{\sin\left(y_n+a \right)}{y_n+2n\pi }\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt \sin\left(y_n+a \right)\lt 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{y_n+2n\pi }\lt 1-\cos y_n\lt \frac{1}{y_n+2n\pi }\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{y_n+2n\pi }=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1-\cos y_n\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\cos y_n=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_n-2n\pi \right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(３)
(#)の両辺に1+cosynをかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(y_n+2n\pi \right)\left(1-\cos^2 y_n \right)=\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y_n+2n\pi \right)\sin^2 y_n =\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\ y_n^{\ 2}\left(\frac{y_n}{n}+2\pi \right)\cdot\left(\frac{\sin y_n}{y_n}\right)^2 =\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}\left(\frac{y_n}{n}+2\pi \right)\cdot\left(\frac{\sin y_n}{y_n}\right)^2 =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}\cdot\left(0+2\pi \right)\cdot 1^2 =\left(1+\cos 0 \right)\sin a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}=\frac{\sin a}{\pi}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(x_n-2n\pi \right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt{n}\ y_n=\underline{\ \sqrt{\frac{\sin a}{\pi}}\ }\end{align*}}$ ．
(３)は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1}\end{align*}}$ が使える形を無理矢理つくりましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2015
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
次の問いに答えよ。
(１) さいころを2回投げて、出た目を順にa、bとおく。関数
f(x)=ax
についてf(b)=6となる確率を求めよ。
(２) さいころを4回投げて、出た目を順にa、b、c、dとおく。関数
f(x)=ax3+bx2+cx
についてf(d)が素数となる確率を求めよ。
(３) さいころを6回投げて、出た目を順にa、b、c、d、e、fとおく。
2つの放物線
y=ax2+bx+c、 y=dx2+ex+f
がただ1つの共有点をもつ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
さいころの目の出方の総数は、62通り。
f(b)=ab=6
を満たすような(a，b)の組は
(a，b)=(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)
なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{6^2}=\underline{\ \frac{1}{9}\ }\end{align*}}$
(２)
さいころの目の出方の総数は、64通り。
f(d)=ad3+bd2+cd=(ad2+bd+c)d
a、b、c、dは1以上の数なので、ad2+bd+c≧3．
よって、(ad2+bd+c)dであるとき、d=1である。
このとき、
f(d)=a+b+c
となり、a、b、cはさいころの目なので、
3≦a+b+c≦18
である。この範囲でa+b+cが素数になるのは
a+b+c=3，5，7，11，13，17のいずれかである。
・3数の和が3となるのは
1+1+1
・3数の和が5となるのは
1+1+3、 1+2+2
・3数の和が7となるのは
1+1+5、1+2+4、 1+3+3、 2+2+3
・3数の和が11となるのは
1+4+6、 1+5+5、 2+3+6、 2+4+5
3+3+5、 3+4+4
・3数の和が13となるのは
1+6+6、 2+5+6、 3+4+6、 3+5+5、 4+4+5
・3数の和が17となるのは
5+6+6
a、b、cの順序も考慮に入れると、
1+1+1は1通り、
下線部の組はそれぞれ3通りずつ、
それ以外の組はそれぞれ3!通りずつ
の並び方があるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+3\cdot 12+2!\cdot 6}{6^4}=\underline{\ \frac{73}{1296}\ }\end{align*}}$
(３)
さいころの目の出方の総数は、66通り。
2つの放物線の式を連立させると、
ax2+bx+c=dx2+ex+f
⇔ (a-d)x2+(b-e)x+c-f=0 ……(#)
となり、(#)がただ1つの実数解をもてばよい。
(ⅰ) a-d=0のとき
(#)は、
(b-e)x+c-f=0
となるので、これがただ1つの実数解をもつのは
b-e≠0のときである。
右表は、各a、dの値に対してa-dの値を
整理したものである。
これより(a，d)の組は6通りある。
b-eの値も同じ表で考えることができるので、
(b，e)の組は30通り。
cとfは何でもよいので(c，f)の組は36通り。
よって、a～fの目の出方は
6×30×36=6480通り
(ⅱ) a-d≠0のとき
(#)の判別式を考えると、
D=(b-e)2-4(a-d)(c-f)=0
⇔ (b-e)2=4(a-d)(c-f) ……(*)
となるので、(b-e)2は4の倍数である。
すなわち、|b-e|は偶数である。
・|b-e|=0のとき
(*)より (a-d)(c-f)=0であればよく、a-d≠0なので、
c-f=0である。
よって、(b，e)、(a，d)、(c，f)の組はそれぞれ
6通り、30通り、6通りあるので、a～fの目の出方は
6×30×6=1080通り
・|b-e|=2のとき
(b，e)の組は8通り。
このとき、(*)より (a-d)(c-f)=1 となるので、
a-dとc-fの組は、
(a-d，c-f)=(1，1)、(-1，-1)
のいずれかとなる。
(a-d，c-f)=(1，1)となるa、d、c、fは52通り
(a-d，c-f)=(-1，-1)となるa、d、c、fは52通り
なので、a～fの目の出方は
8×52×2=400通り
・|b-e|=4のとき
(b，e)の組は4通り。
このとき、(*)より (a-d)(c-f)=4 となるので、
a-dとc-fの組は、
(a-d，c-f)=(1，4)、(-1，-4)、(4，1)、(-4，-1)、
(2，2)、(-2，-2)
のいずれかとなる。
(a-d，c-f)=(1，4)、(-1，-4)、(4，1)、(-4，-1)となる
a、d、c、fはそれぞれ5×2=10通り
(a-d，c-f)=(2，2)、(-2，-2)となる
a、d、c、fはそれぞれ42通り
なので、a～fの目の出方は
4×(10×4+2×42)=288通り
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6480+1080+400+288}{6^6}=\underline{\ \frac{1031}{5832}\ }\end{align*}}$
(３)考え方は難しくありませんが、細かい場合分けが面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2015
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
