第1問
s、tをs＜tみたす実数とする。座標平面上の3点A(1，2)、
B(s，s2)、C(t，t2)が一直線上にあるとする。以下の問に
答えよ。
(1) sとtの間の関係式を求めよ。
(2) 線分BCの中点をM(u，v)とする。uとvの間の関係式を
求めよ。
(3) s、tが変化するとき、vの最小値と、そのときのu、s、t
の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
s＜tより、3点A、B、Cを通る直線がy軸と平行になることはない。
よって、ABの傾きとACの傾きは等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s^2-2}{s-1}=\frac{t^2-2}{t-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2t-2t-s^2+2=st^2-2s-t^2+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s-t\right)\left(s+t\right)-st\left(s-t\right)-\left(s-t\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s+t-st-2=0\ }\ \ \ \ \left(\because\ s\ne t\right)\end{align*}}$
(2)
MはBCの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(u\ ,\ v\right)=\left(\frac{s+t}{2}\ ,\ \frac{s^2+t^2}{2}\right)\end{align*}}$ ．
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t=2u\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^2+t^2=\left(s+t\right)^2-2st\ \ \Leftrightarrow\ \ 2v=(2u)^2-2st\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ st=2u^2-v\end{align*}}$ ．
これらと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2u-\left(2u^2-v\right)-2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ v=2u^2-2u+2\ }\end{align*}}$
(3)
(2)の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=2\left(u-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、vは最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ をとる。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t=2u=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf st=2u^2-v=-1\end{align*}}$
であり、解と係数の関係よりs、tは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2-X-1=0\end{align*}}$
の2解（s＜t）となる。
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ v_{min}=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ u=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ s=\frac{1-\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ t=\frac{1+\sqrt5}{2}\ }\end{align*}}$
これは基本的な問題です。
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- 2015/05/21(木) 23:57:00|
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第2問
数列{an}、{bn}、{cn}がa1=5、b1=7 をみたし、さらにすべての
実数xとすべての自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf x\left(a_{n+1}x+b_{n+1}\right)=\int_{c_n}^{x+c_n}\left(a_nt+b_n\right)dt\end{align*}}$
をみたすとする。以下の問に答えよ。
(1) 数列{an}の一般項を求めよ。
(2) cn=3n-1のとき、数列{bn}の一般項を求めよ。
(3) cn=nのとき、数列{bn}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(a_{n+1}x+b_{n+1}\right)=\left[\frac{1}{2}a_nt^2+b_nt\right]_{c_n}^{x+c_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}a_{n}\left\{\left(x+c_n\right)^2-c_n^{\ 2}\right\}+b_{n}\left\{\left(x+c_n\right)-c_n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}x^2+b_{n+1}x=\frac{1}{2}a_nx^2+\left(a_nc_n+b_n\right)x\end{align*}}$
と変形でき、これが任意のxに対して成り立つので、
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n\ \ \ldots\ldots (i)\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=a_nc_n+b_n\ \ \ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
(1)
(ⅰ)より、数列{an}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}a_1=\underline{\ 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot 3^{n-1}+b_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-b_n=5\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
数列{bn+1－bn}は数列{bn}の第1次階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=7+\sum_{k=1}^{n-1}5\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =7+5\cdot\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1}{\frac{3}{2}-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 10\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-3\ }\end{align*}}$
（これは、n=1のときも成り立つ）
(3)
(1)と(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot n+b_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-b_n=5n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
数列{bn+1－bn}は数列{bn}の第1次階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=7+\sum_{k=1}^{n-1}5k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sum_{k=1}^{n-1}k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=1+2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\ldots +\left(n-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}s=\frac{1}{2}+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots +\left(n-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
となり、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s-\frac{1}{2}s=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-\left(n-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}s=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-1}{\frac{1}{2}-1}-\left(n-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\sum_{k=1}^{n-1}k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=-2\left(n+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+4\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=7+5\left\{-2\left(n+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+4\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 27-10\left(n+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
（これは、n=1のときも成り立つ）
(3)のΣは、S－rSってヤツですよ。そうそう、ずらして引くヤツね。
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- 2015/05/22(金) 23:54:00|
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第3問
a、b、cを1以上7以下の自然数とする。次の条件(*)を考える。
(*) 3辺の長さがa、b、cである三角形と、3辺の長さが
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\ ,\ \frac{1}{b}\ ,\ \frac{1}{c}\end{align*}}$ である三角形が両方とも存在する。
以下の問に答えよ。
(1) a=b＞cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
(2) a＞b＞cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
(3) 条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
条件(*)を満たすためには、次の(ⅰ)～(ⅵ)のすべてを満たせばよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ a+b>c\ \ \ \ \ \ \ (ii)\ b+c>a\ \ \ \ \ \ \ (iii)\ c+a>b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\ \ \ \ (v)\ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{a}\ \ \ \ (vi)\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\end{align*}}$
(1)
a=b＞cのとき、(ⅰ)～(ⅲ)はすべて満たす。
またこのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}=\frac{1}{b}<\frac{1}{c}\end{align*}}$ となるので、(ⅴ)、(ⅵ)も満たす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{a}<\frac{1}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ c\lt a<2c\end{align*}}$
を満たせばよいので、
c=1のとき、1＜a＜2より不適
c=2のとき、2＜a＜4より、a=3
c=3のとき、3＜a＜6より、a=4，5
c=4のとき、4＜a≦7より、a=5，6，7
c=5のとき、5＜a≦7より、a=6，7
c=6のとき、6＜a≦7より、a=7
これより、(*)を満たすa、b、cの組は9個ある。
(2)
a＞b＞cのとき、常に(ⅰ)、(ⅲ)を満たす。
またこのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}\end{align*}}$ となるので、(ⅴ)、(ⅵ)も満たす。
・c=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leqq \frac{1}{3}+\frac{1}{2}<1=\frac{1}{c}\ \ \ \left(\because\ 2\leqq b\ ,\ 3\leqq a\right)\end{align*}}$
となり、(ⅳ)を満たさないので不適
・c=2のとき
(ⅳ)とa＞b＞2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt b<4\ \ \Leftrightarrow\ \ b=3\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=3\lt a\lt b+c=5\ \ \Leftrightarrow\ \ a=4\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(4，3)の1個
・c=3のとき
(ⅳ)とa＞b＞3より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\lt b<6\ \ \Leftrightarrow\ \ b=4\ ,\ 5\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=4\lt a\lt b+c=7\ \ \Leftrightarrow\ \ a=5\ ,\ 6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=5\lt a\lt b+c=8\ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 7\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(5，4)、(6，4)、(6，5)、(7，5)の4個
・c=4のとき
(ⅳ)とa＞b＞4より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\lt b\lt a<8\ \ \Leftrightarrow\ \ b=5\ ,\ 6\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=5\lt a\lt b+c=9\ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=6\lt a\lt b+c=10\ \ \Leftrightarrow\ \ a=7\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(6，5)、(7，5)、(7，6)の3個
・c=5のとき
7≧a＞b＞5より、a=7，b=6となり、これらは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \frac{1}{5}<\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{13}{42}\ \ \ ,\ \ \ (ii)\ 7<6+5\end{align*}}$
を共に満たすので、(*)を満たす
以上より、(*)を満たすa、b、cの組は9個ある。
(3)
【○=△＞■の場合】
a、b、cの大小関係は3通りあり、そのうちで
(*)を満たすものは、(1)よりそれぞれ9個
【○＞△＞■の場合】
a、b、cの大小関係は3!=6通りあり、そのうちで
(*)を満たすものは、(1)よりそれぞれ9個
【○＞△=■の場合】
まず、a、b、cの大小関係は3通りある。
a＞b=cと仮定すると、、(ⅰ)、(ⅲ)は常に成り立つ。
また、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}<\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\end{align*}}$
なので、(ⅳ)～(ⅵ)はすべて成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ c\lt a<2c\end{align*}}$
となり、(1)と同じく、(*)を満たす組は9個ある。
【○=△=■の場合】
この場合は、(ⅰ)～(ⅵ)をすべて満たす。
1≦a=b=c≦7より、(*)を満たす組は7個
以上より、(*)を満たすa、b、cの組は
9・3+9・6+9・3+7=115個
ある。
丁寧に数え上げましょう。
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