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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015神戸大 理系数学1



第1問

  座標平面上の2つの曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x-3}{x-4}\ \ ,\ \ y=\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-3\right)\end{align*}}$
  をそれぞれC1、C2とする。以下の問に答えよ。

 (1) 2曲線C1、C2の交点をすべて求めよ。

 (2) 2曲線C1、C2の概形をかき、C1とC2で囲まれた図形の面積を
    求めよ。




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  1. 2015/05/16(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2015
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2015神戸大 理系数学2



第2問

  座標平面上の楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$ をCとする。$\small\sf{\sf a\gt 2\ ,\ \ 0\lt \theta\lt\pi}$ とし、
  x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点$\small\sf{\sf P(2\cos\theta,\ \sin\theta)}$ をとる。
  原点をOとし、直線APとy軸との交点をQとする。点Qを通りx軸に
  平行な直線と、直線OPとの交点をRとする。以下の問に答えよ。

 (1) 点Rの座標を求めよ。

 (2) (1)で求めた点Rのy座標を$\small\sf{f(\theta)}$ とする。このとき、$\small\sf{0\lt\theta\lt\pi}$
    における$\small\sf{f(\theta)}$ の最大値を求めよ。

 (3) 原点Oと点Rの距離の2乗を$\small\sf{g(\theta)}$ とする。このとき、$\small\sf{0\lt \theta\lt\pi}$
    における$\small\sf{g(\theta)}$ の最小値を求めよ。




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  1. 2015/05/17(日) 23:57:00|
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2015神戸大 理系数学3



第3問

  aを正の実数とする。座標平面上の曲線Cを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y=x^4-2\left(a+1\right)x^3+3ax^2\end{align*}}$
  で定める。曲線Cが2つの変曲点P、Qをもち、それらのx座標の
  差が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ であるとする。以下の問に答えよ。

 (1) aの値を求めよ。

 (2) 線分PQの中点とx座標が一致するような、C上の点をRとする。
    三角形PQRの面積を求めよ。

 (3) 曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP’とし、
    点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ’とする。
    線分P’Q’の中点のx座標を求めよ。



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  1. 2015/05/18(月) 23:57:00|
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2015神戸大 理系数学4



第4問

  a、bを実数とし、自然数kに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{2ak+6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
  とする。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}\end{align*}}$ がすべての自然数kについて成り立つような
    実数p、q、rをa、bを用いて表せ。

 (2) b=0のとき、3以上の自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx_k\end{align*}}$ を求めよ。また、
    a=0のとき、4以上の自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx_k\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}x_k\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2015/05/19(火) 23:57:00|
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2015神戸大 理系数学5



第5問

  a、b、cを1以上7以下の自然数とする。次の条件(*)を考える。
    (*) 3辺の長さがa、b、cである三角形と、3辺の長さが
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\ ,\ \frac{1}{b}\ ,\ \frac{1}{c}\end{align*}}$ である三角形が両方とも存在する。
  以下の問に答えよ。

 (1) a=b>cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。

 (2) a>b>cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。

 (3) 条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。




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  1. 2015/05/20(水) 23:57:00|
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