第1問
座標平面上の2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x-3}{x-4}\ \ ,\ \ y=\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-3\right)\end{align*}}$
をそれぞれC1、C2とする。以下の問に答えよ。
(1) 2曲線C1、C2の交点をすべて求めよ。
(2) 2曲線C1、C2の概形をかき、C1とC2で囲まれた図形の面積を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1の定義域x≠4において、2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x-3}{x-4}=\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(x-3\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-3\right)\left\{\left(x-1\right)\left(x-4\right)-4\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x-3\right)\left(x-5\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ 3\ ,\ 5\end{align*}}$
となり、それぞれに対するyの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{0-3}{0-4}=\frac{3}{4}\ \ ,\ \ \frac{3-3}{3-4}=0\ \ ,\ \ \frac{5-3}{5-4}=2\end{align*}}$
なので、C1、C2の交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ \frac{3}4{}\right)\ \ ,\ \ \left(3\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(5\ ,\ 2\right)\ }\end{align*}}$
(2)
C1の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x-3}{x-4}=1+\frac{1}{x-4}\end{align*}}$
と変形できるので、2曲線C1、C2の位置関係は
右図のようになる。
よって、これらで囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^3\left\{\frac{x-3}{x-4}-\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-3\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^3\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\log |x-4|-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x\right]_0^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3-\log 4\ }\end{align*}}$
これは簡単です。
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第2問
座標平面上の楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$ をCとする。$\small\sf{\sf a\gt 2\ ,\ \ 0\lt \theta\lt\pi}$ とし、
x軸上の点A(a，0)と楕円C上の点$\small\sf{\sf P(2\cos\theta,\ \sin\theta)}$ をとる。
原点をOとし、直線APとy軸との交点をQとする。点Qを通りx軸に
平行な直線と、直線OPとの交点をRとする。以下の問に答えよ。
(1) 点Rの座標を求めよ。
(2) (1)で求めた点Rのy座標を$\small\sf{f(\theta)}$ とする。このとき、$\small\sf{0\lt\theta\lt\pi}$
における$\small\sf{f(\theta)}$ の最大値を求めよ。
(3) 原点Oと点Rの距離の2乗を$\small\sf{g(\theta)}$ とする。このとき、$\small\sf{0\lt \theta\lt\pi}$
における$\small\sf{g(\theta)}$ の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線APがy軸と平行になることはないので、
APの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{-\sin\theta}{a-2\cos\theta}\left(x-a\right)\end{align*}}$ 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\sin\theta}{a-2\cos\theta}\ x+\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\end{align*}}$ ．
これより、直線QRの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta\ne\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、直線OPの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}\ x\end{align*}}$
であり、これとQRの式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin\theta}{2\cos\theta}\ x=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\ \ \ \ \left(\because\ 0<\theta<\pi\ \ ,\ \ \sin\theta\ne 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}\cdot\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\end{align*}}$
となるので、点Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\ ,\ \frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right)\ }\end{align*}}$
である。これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta =\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときも成り立つ。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(\theta)=a\cdot\frac{\cos\theta\left(a-2\cos\theta\right)-\sin\theta\cdot2\sin\theta}{\left(a-2\cos\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\cdot\frac{a\cos\theta-2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)}{\left(a-2\cos\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(a\cos\theta-2\right)}{\left(a-2\cos\theta\right)^2}\end{align*}}$ ．
a＞2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=\frac{2}{a}\ \ \ \left(0<\alpha <\pi\right)\end{align*}}$
を満たすような$\scriptsize\sf{\alpha}$ がただ1つ存在するので、$\scriptsize\sf{\sf f(\theta)}$ の増減は
次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\sf f(\theta)}$ の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)_{max}=f\ (\alpha)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a\sin\alpha}{a-2\cos\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{a-2\cos\alpha}\ \ \ \ \left(\because\ 0<\alpha <\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a\sqrt{1-\left(\frac{2}{a}\right)^2}}{a-2\cdot\frac{2}{a}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{\sqrt{a^2-4}}\ }\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (\theta)=\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2+\left( \frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4a^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}{\left(a-2\cos\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2\left(1+3\cos^2\theta\right)}{\left(a-2\cos\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(\theta)=a^2\cdot\frac{-6\cos\theta\sin\theta\left(a-2\cos\theta\right)^2-\left(1+3\cos^2\theta\right)\cdot 2\left(a-2\cos\theta\right)\cdot 2\sin\theta}{\left(a-2\cos\theta\right)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2a^2\sin\theta\cdot\frac{3\cos\theta\left(a-2\cos\theta\right)+2\left(1+3\cos^2\theta\right)}{\left(a-2\cos\theta\right)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-2a^2\sin\theta\left(3a\cos\theta+2\right)}{\left(a-2\cos\theta\right)^3}\end{align*}}$
a＞2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\beta=-\frac{2}{3a}\ \ \ \left(0<\beta <\pi\right)\end{align*}}$
を満たすような$\scriptsize\sf{\beta}$ がただ1つ存在するので、$\scriptsize\sf{\sf g(\theta)}$ の増減は
次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\sf g(\theta)}$ の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (\theta)_{min}=g\ (\beta)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2\left\{1+3\left(-\frac{2}{3a}\right)^2\right\}}{\left\{a-2\left(-\frac{2}{3a}\right)\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3a^2}{3a^2+4}\ }\end{align*}}$
計算が面倒です。
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第3問
aを正の実数とする。座標平面上の曲線Cを
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=x^4-2\left(a+1\right)x^3+3ax^2\end{align*}}$
で定める。曲線Cが2つの変曲点P、Qをもち、それらのx座標の
差が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ であるとする。以下の問に答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) 線分PQの中点とx座標が一致するような、C上の点をRとする。
三角形PQRの面積を求めよ。
(3) 曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP’とし、
点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ’とする。
線分P’Q’の中点のx座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
曲線Cをy=f(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^4-2\left(a+1\right)x^3+3ax^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=4x^3-6\left(a+1\right)x^2+6ax\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=12x^2-12\left(a+1\right)x+6a\end{align*}}$ ．
方程式f”(x)=0の判別式をDとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/144=\left(a+1\right)^2-2a=a^2+1>0\end{align*}}$
となるので、f”(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。
それらをp、q （q＜p）とおくと、f”(x)の符号はこれらの前後で
変化するので、2点(p，f(p))、(q，f(q))はともにCの変曲点となる。
ここで、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=a+1\ \ ,\ \ pq=\frac{a}{2}\end{align*}}$ ……(#)
であり、題意より2つの変曲点のx座標の差が$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p-q\right)^2=\left(\sqrt2\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q\right)^2-4pq=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+1\right)^2-4\cdot\frac{a}{2}=2\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=1\ \left(>0\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^4-4x^3+3x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=4x^3-12x^2+6x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=12x^2-24x+6\end{align*}}$
であり、f”(x)=0の2解p、qに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=2\ \ ,\ \ p-q=\sqrt2\ \ ,\ \ pq=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)’
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2-q^2=\left(p+q\right)\left(p-q\right)=2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2=\left(p+q\right)^2-2pq=2^2-2\cdot\frac{1}{2}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^3-q^3=\left(p-q\right)\left(p^2+pq+q^2\right)=\sqrt2\cdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=\frac{7\sqrt2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^4-q^4=\left(p^2-q^2\right)\left(p^2+q^2\right)=2\sqrt2\cdot 3=6\sqrt2\end{align*}}$ ．
2つの変曲点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\ p^4-4p^3+3p^2\right)\ \ ,\ \ Q\left(q\ ,\ q^4-4q^3+3q^2\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(\frac{p+q}{2}\ ,\ f\left(\frac{p+q}{2}\right)\right)=\left(1\ ,\ f\ (1)\right)=\left(1\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RP}=\left(p-1\ ,\ p^4-4p^3+3p^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RQ}=\left(q-1\ ,\ q^4-4q^3+3q^2\right)\end{align*}}$ ．
よって、△PQRの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|\left(p-1\right)\left( q^4-4q^3+3q^2\right)-\left(q-1\right)\left( p^4-4p^3+3p^2\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg|pq^4-p^4q-4\left(pq^3-p^3q\right)+3\left(pq^2-p^2q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left(p^4-q^4\right)-4\left(p^3-q^3\right)+3\left(p^2-q^2\right)\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg|\left(p^4-q^4\right)-\left(pq+4\right)\left(p^3-q^3\right)+\left(4pq+3\right)\left(p^2-q^2\right)-3pq\left(p-q\right)\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg|6\sqrt2-\frac{9}{2}\cdot\frac{7\sqrt2}{2}+5\cdot 2\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{2}\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5\sqrt2}{8}\ }\end{align*}}$
(3)
Pにおける接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(p^4-4p^3+3p^2\right)=\left(4p^3-12p^2+6p\right)\left(x-p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(4p^3-12p^2+6p\right)x-3p^4+8p^3-3p^2\end{align*}}$
であり、これとy=f(x)を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^4-4x^3+3x^2=\left(4p^3-12p^2+6p\right)x-3p^4+8p^3-3p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^4-4x^3+3x^2-\left(4p^3-12p^2+6p\right)x+3p^4-8p^3+3p^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-p\right)\left\{x^3+\left(p-4\right)x^2+\left(p^2-4p+3\right)x+3p^3-8p^3+3p\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-p\right)^2\left\{x^2+\left(2p-4\right)x+3p^2-8p+3\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-p\right)^2\left\{\left(x-p\right)\left(x+3p-4\right)+3\left(2p^2-4p+1\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-p\right)^2\left\{\left(x-p\right)\left(x+3p-4\right)+\frac{1}{2}\ f\ ''(p)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-p\right)^3\left(x+3p-4\right)=0\ \ \ \ \ \left(\because\ f\ ''(p)=0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=p\ ,\ 4-3p\end{align*}}$
となるので、点P’のx座標は、4－3pである。
同様に考えると、点Q’のx座標は4－3qとなるので、
線分P’Q’の中点のx座標は、(#)’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(4-3p\right)+\left(4-3q\right)}{2}=4-\frac{3}{2}\left(p+q\right)=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
となる。
それにしても今年の神戸大の問題は、計算量が多いですねぇ・・・
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- 2015/05/18(月) 23:57:00|
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第4問
a、bを実数とし、自然数kに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{2ak+6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
とする。以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}\end{align*}}$ がすべての自然数kについて成り立つような
実数p、q、rをa、bを用いて表せ。
(2) b=0のとき、3以上の自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx_k\end{align*}}$ を求めよ。また、
a=0のとき、4以上の自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx_k\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}x_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{2ak+6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$ ……(#)
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p\left(k+1\right)\left(k+3\right)+qk\left(k+3\right)+rk\left(k+1\right)}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(p+q+r\right)k^2+\left(4p+3q+r\right)k+3p}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
と変形できるので、(#)の分子と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=p+q+r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a=4p+3q+r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6b=3p\end{align*}}$ ．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=2b\ \ ,\ \ q=a-3b\ \ ,\ \ r=-a+b\ }\end{align*}}$
(2)
b=0のとき、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{2ak}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left(\frac{a}{k+1}-\frac{a}{k+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ a\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)\ }\end{align*}}$ ……(ⅰ)
a=0のとき、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left(\frac{2b}{k}-\frac{3b}{k+1}+\frac{b}{k+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2b\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)-b\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2b\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right\}-b\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2b\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-b\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)\end{align*}}$ ←第2項は(ⅰ)と同様
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ b\left(\frac{7}{6}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}x_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{2ak+6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\sum_{k=1}^n\frac{2ak}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}+\sum_{k=1}^n\frac{6b}{k\left(k+1\right)\left(k+3\right)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{a\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)+b\left(\frac{7}{6}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{6}a+\frac{7}{6}b\ }\end{align*}}$
上から順に誘導に乗っていけば大丈夫です！
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第5問
a、b、cを1以上7以下の自然数とする。次の条件(*)を考える。
(*) 3辺の長さがa、b、cである三角形と、3辺の長さが
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\ ,\ \frac{1}{b}\ ,\ \frac{1}{c}\end{align*}}$ である三角形が両方とも存在する。
以下の問に答えよ。
(1) a=b＞cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
(2) a＞b＞cであり、かつ条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
(3) 条件(*)をみたすa、b、cの組の個数を求めよ。
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【解答】
条件(*)を満たすためには、次の(ⅰ)～(ⅵ)のすべてを満たせばよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ a+b>c\ \ \ \ \ \ \ (ii)\ b+c>a\ \ \ \ \ \ \ (iii)\ c+a>b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\ \ \ \ (v)\ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{a}\ \ \ \ (vi)\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\end{align*}}$
(1)
a=b＞cのとき、(ⅰ)～(ⅲ)はすべて満たす。
またこのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}=\frac{1}{b}<\frac{1}{c}\end{align*}}$ となるので、(ⅴ)、(ⅵ)も満たす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{a}<\frac{1}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ c\lt a<2c\end{align*}}$
を満たせばよいので、
c=1のとき、1＜a＜2より不適
c=2のとき、2＜a＜4より、a=3
c=3のとき、3＜a＜6より、a=4，5
c=4のとき、4＜a≦7より、a=5，6，7
c=5のとき、5＜a≦7より、a=6，7
c=6のとき、6＜a≦7より、a=7
これより、(*)を満たすa、b、cの組は9個ある。
(2)
a＞b＞cのとき、常に(ⅰ)、(ⅲ)を満たす。
またこのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}\end{align*}}$ となるので、(ⅴ)、(ⅵ)も満たす。
・c=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leqq \frac{1}{3}+\frac{1}{2}<1=\frac{1}{c}\ \ \ \left(\because\ 2\leqq b\ ,\ 3\leqq a\right)\end{align*}}$
となり、(ⅳ)を満たさないので不適
・c=2のとき
(ⅳ)とa＞b＞2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt b<4\ \ \Leftrightarrow\ \ b=3\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=3\lt a\lt b+c=5\ \ \Leftrightarrow\ \ a=4\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(4，3)の1個
・c=3のとき
(ⅳ)とa＞b＞3より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\lt b<6\ \ \Leftrightarrow\ \ b=4\ ,\ 5\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=4\lt a\lt b+c=7\ \ \Leftrightarrow\ \ a=5\ ,\ 6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=5\lt a\lt b+c=8\ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 7\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(5，4)、(6，4)、(6，5)、(7，5)の4個
・c=4のとき
(ⅳ)とa＞b＞4より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\lt b\lt a<8\ \ \Leftrightarrow\ \ b=5\ ,\ 6\end{align*}}$
このとき、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=5\lt a\lt b+c=9\ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=6\lt a\lt b+c=10\ \ \Leftrightarrow\ \ a=7\end{align*}}$
となるので、a、bの組は(6，5)、(7，5)、(7，6)の3個
・c=5のとき
7≧a＞b＞5より、a=7，b=6となり、これらは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \frac{1}{5}<\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{13}{42}\ \ \ ,\ \ \ (ii)\ 7<6+5\end{align*}}$
を共に満たすので、(*)を満たす
以上より、(*)を満たすa、b、cの組は9個ある。
(3)
【○=△＞■の場合】
a、b、cの大小関係は3通りあり、そのうちで
(*)を満たすものは、(1)よりそれぞれ9個
【○＞△＞■の場合】
a、b、cの大小関係は3!=6通りあり、そのうちで
(*)を満たすものは、(1)よりそれぞれ9個
【○＞△=■の場合】
まず、a、b、cの大小関係は3通りある。
a＞b=cと仮定すると、、(ⅰ)、(ⅲ)は常に成り立つ。
また、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}<\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\end{align*}}$
なので、(ⅳ)～(ⅵ)はすべて成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ c\lt a<2c\end{align*}}$
となり、(1)と同じく、(*)を満たす組は9個ある。
【○=△=■の場合】
この場合は、(ⅰ)～(ⅵ)をすべて満たす。
1≦a=b=c≦7より、(*)を満たす組は7個
以上より、(*)を満たすa、b、cの組は
9・3+9・6+9・3+7=115個
ある。
丁寧に数え上げましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/05/20(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2015
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