青木ゼミ青木
橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ
2015大阪大 理系数学1
第1問
自然数nに対して関数f
n
(x)を
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)
を示せ。
(2) 数列{I
n
}を
で定める。0≦x≦1のとき
であることを
用いて数列{I
n
}が収束することを示し、その極限値を求
めよ。ただし、
であることは用いてよい。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
とおくと、
であり、x:0→nのときt:0→1となるので、
……(#)
ここで、nは自然数なので0≦t≦1に対して
が成り立つので、
.
これと(#)より
が成り立つ。
(2)
0≦t≦1のとき
が成り立つので、
.
これと(#)より
となる。
はさみうちの原理より
(#)の変形に気づけば、あとは計算だけです。
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2015/05/09(土) 23:54:00
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2015大阪大 理系数学2
第2問
実数x、yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき、不等式
が成り立つことを示せ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
|x|≦1、|y|≦1より、
とおくと、
と表せる。
よって、
とおくと、
←加法定理
0≦A+B≦2
π
より
なので、
.
よって、題意は示された。
文系との共通問題ですが、違った方法で解いてみました。
こちらも参考に。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1843.html
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2015/05/09(土) 23:57:00
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2015大阪大 理系数学3
第3問
以下の問いに答えよ。
(1)
と
が無理数であることを示せ。
(2) p、q、
がすべて有理数であるとする。そのとき、
p=q=0であることを示せ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数m、nを
用いて、
……(ⅰ)
と表すことができる。(ⅰ)の両辺を2乗すると、
……(ⅱ)
となるので、m
2
は偶数である。奇数の2乗は奇数なので、
mも偶数となり、自然数kを用いてm=2kと表すことができる。
これを(ⅱ)に代入すると、
となり、n
2
およびnは偶数となる。
よって、m、nともに偶数になるため、これらが互いに素である
ことに矛盾する。
よって、
は無理数である。
一方、
が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数M、Nを
用いて、
……(Ⅰ)
と表すことができる。(Ⅰ)の両辺を3乗すると、
……(Ⅱ)
となるので、M
2
は3の倍数である。
3の倍数でない数を3乗しても3の倍数にならないので、
Mも3の倍数となり、自然数Kを用いてM=3Kと表すことができる。
これを(Ⅱ)に代入すると、
となり、N
3
およびNも3の倍数となる。
よって、M、Nともに3の倍数になるため、これらが互いに素である
ことに矛盾する。
よって、
は無理数である。
(2)
……(#)
とおくと、
ここで、p≠0と仮定すると、2p
2
+3r
2
≠0より
……(*)
と変形でき、仮定よりp、q、rは有理数なので、(*)の右辺は
有理数となる。このことは、(*)の左辺が無理数であることに
矛盾するので、p=0である。
このとき、(#)は
となる。q≠0と仮定すると、
と変形できるが、左辺は無理数、右辺は有理数となるので
矛盾する。よって、q=0である。
以上より、p=q=0が示された。
(1)は手が痛いでしょうね^^;; まぁ、私はコピペですが(笑)
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2015/05/10(日) 23:57:00
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2015大阪大 理系数学4
第4問
座標空間のx軸上に動点P、Qがある。P、Qは時刻0において、
原点を出発する。Pはx軸の正の方向に、Qはx軸の負の方向に、
ともに速さ1で動く。その後、ともに時刻1で停止する。点P、Qを
中心とする半径1の球をそれぞれA、Bとし、空間でx≧-1の部分
をCとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 時刻t (0≦t≦1)における立体(A∪B)∩Cの体積V(t)を
求めよ。
(2) V(t)の最大値を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
時刻t (0≦t≦1)における球AおよびBをxy平面で切断したときの
断面は、下図のようになり、断面円の方程式はそれぞれ
となる。
立体(A∪B)∩Cは、水色部分をx軸の周りに1回転してできる
回転体なので、その体積V(t)は、
(2)
(1)で求めたV(t)の導関数は、
となるので、0≦t≦1におけるV(t)の増減は次のようになる。
よって、V(t)の最大値は、
これは阪大にしては、かなり易しいです。
絶対に落とせません!
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2015/05/11(月) 23:57:00
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2015大阪大 理系数学5
第5問
nを2以上の整数とする。正方形の形に並んだn×nのマスに
0または1のいずれかの数字を入れる。マスは上から第1行、
第2行、…、左から第1列、第2列…と数える。数字の入れ方
についての次の条件pを考える。
条件p:1からn-1までのどの整数i、jについても、第i行、
第i+1と第j列、第j+1列とが作る2×2の4個の
マスには0と1が2つずつ入る。
(1) 条件pを満たすとき、第n行と第n列の少なくとも一方には
0と1が交互に現れることを示せ。
(2) 条件pを満たすような数字の入れ方の総数a
n
を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
第i行、第j列のマスに書かれた数を 単に(i,j)と表し、
第i行、第i+1と第j列、第j+1列とが作る2×2の
4個のマスを単に [i,j] と書くことにする。
また、ある行(または列)に0と1が交互に現れることを
単に「交互になる」と書くことにする。
(1)
(Ⅰ)第i行(i=1,2,・・・,n-1)が交互になっているとき
第i+1行が交互になっていない、すなわち、
(i+1,j)=(i+1,j+1)
であるj (j=1,2,・・・,n-1)が存在すると仮定すると、
マス[i,j]は条件pを満たさない。
よって、
第i行が交互になっているとき、
第i+1行も交互になっている。 ……(ⅰ)
(ⅰ)と同様に、第i+1行が交互になっているとき、第i+2行
も交互になっており、以下も同様に、第i+3行、…、第n行も
すべて交互になっている。
また、第i行より上の行についても同じことが言うことができ、
第i-1行、第i-2行、…、第1行もすべて交互になっている。
よって、次の2つのことが成り立つ。
・ある行が交互になっているとき、すべての行が
交互になっている
・ある列が交互になっているとき、すべての列が
交互になっている
(Ⅱ)第i行(i=1,2,・・・,n-1)が交互になっていないとき
(i,j)=(i,j+1) (j=1,2,・・・,n-1)であるとする。
[i,j]を考えると、
(i,j)=(i,j+1)≠(i+1,j)=(i+1,j+1)
[i+1,j+1]を考えると、
(i+1,j)=(i+1,j+1)≠(i+2,j)=(i+2,j+1)
[i+2,j+2]を考えると、
(i+2,j)=(i+2,j+1)≠(i+3,j)=(i+3,j+1)
以下も同様に考えていくと、第i行より下の行について、第j列
および第j+1列には、0、1が交互に並んでいくことになる。
このことは、第i行より上の行についても同じことが言えるので、
第j列および第j+1列は交互になっており、(Ⅰ)より、すべての
列が交互になっている。
よって、次の2つのことが成り立つ。
・ある行が交互になっていないとき、すべての列が
交互になっている
・ある列が交互になっていないとき、すべての行が
交互になっている
(Ⅰ)、(Ⅱ)より、すべての行が交互になっている、または すべて
の列が交互になっているので、第n行と第n列の少なくとも一方に
は0と1が交互に現れる。
(2)
・すべての行が交互になっているとき
第1行~第n行それぞれ、
010101… または 101010…
の2通りずつ並び方があるので、並び方の総数は2
n
通り
・すべての列が交互になっているとき
同様に2
n
通り
・すべての行が交互であり、すべての列も交互になっているとき
(1,1)が0の場合と1の場合の2通り
よって、条件pを満たすような数字の入れ方の総数は、
n=4,5あたりで実際に書いてみると規則性に気づくと思いますが、
それを書き表すのが大変です。
医学科以外は捨てても構いません(笑)
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2015/05/12(火) 23:57:00
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