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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015大阪大 理系数学1



第1問

  自然数nに対して関数fn(x)を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\frac{x}{n\left(1+x\right)}\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\ \ \ \ \left(x\geq 0\right)\end{align*}}$
  で定める。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^nf_n(x)dx\leq\int_0^1\log\left(1+x\right)dx\end{align*}}$ を示せ。

 (2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf\{\rm I_{\sf n}\}\end{align*}}$ を
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}=\sf\int_0^nf_n(x)dx\end{align*}}$
    で定める。0≦x≦1のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf \log\left(1+x\right)\leq\log 2\end{align*}}$ であることを
    用いて数列$\small\sf{\begin{align*}\sf\{\rm I_{\sf n}\}\end{align*}}$ が収束することを示し、その極限値を求
    めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$ であることは用いてよい。



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  1. 2015/05/09(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2015
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2015大阪大 理系数学2



第2問

  実数x、yが$\small\sf{\begin{align*}\sf |x|\leqq 1\end{align*}}$と$\small\sf{\begin{align*}\sf |y|\leqq 1\end{align*}}$を満たすとき、不等式
       $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\leq 1\end{align*}}$
  が成り立つことを示せ。





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  1. 2015/05/09(土) 23:57:00|
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2015大阪大 理系数学3



第3問

  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt[3]{3}\end{align*}}$ が無理数であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf p\ ,\ q\ ,\ \sqrt2\ p+\sqrt[3]{3}\ q\end{align*}}$ がすべて有理数であるとする。そのとき、
   $\small\sf{\begin{align*}\sf p=q=0\end{align*}}$ であることを示せ。


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  1. 2015/05/10(日) 23:57:00|
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2015大阪大 理系数学4



第4問

  座標空間のx軸上に動点P、Qがある。P、Qは時刻0において、
  原点を出発する。Pはx軸の正の方向に、Qはx軸の負の方向に、
  ともに速さ1で動く。その後、ともに時刻1で停止する。点P、Qを
  中心とする半径1の球をそれぞれA、Bとし、空間で$\small\sf{\begin{align*}\sf x\geqq -1\end{align*}}$の部分
  をCとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 時刻$\small\sf{\begin{align*}\sf t\ \left(0\leqq t\leqq 1\right)\end{align*}}$ における立体$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(A\cup B\right)\cap C\end{align*}}$ の体積V(t)を
    求めよ。

 (2) V(t)の最大値を求めよ。




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  1. 2015/05/11(月) 23:57:00|
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2015大阪大 理系数学5



第5問

  nを2以上の整数とする。正方形の形に並んだn×nのマスに
  0または1のいずれかの数字を入れる。マスは上から第1行、
  第2行、…、左から第1列、第2列…と数える。数字の入れ方
  についての次の条件pを考える。

  条件p:1からn-1までのどの整数i、jについても、第i行、
      第i+1と第j列、第j+1列とが作る2×2の4個の
      マスには0と1が2つずつ入る。

        図06

 (1) 条件pを満たすとき、第n行と第n列の少なくとも一方には
    0と1が交互に現れることを示せ。

 (2) 条件pを満たすような数字の入れ方の総数anを求めよ。




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  1. 2015/05/12(火) 23:57:00|
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