青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2015

2015大阪大　理系数学１

第１問

　　自然数nに対して関数f_n(x)を
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　で定める。以下の問いに答えよ。

　(１) $橿原学習塾青木ゼミ$ を示せ。

　(２) 数列{I_n}を
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　で定める。0≦x≦1のとき $橿原学習塾青木ゼミ$ であることを
　　　用いて数列{I_n}が収束することを示し、その極限値を求
　　　めよ。ただし、 $橿原学習塾青木ゼミ$ であることは用いてよい。

解答はこちら↓

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2015/05/09(土) 23:54:00|

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2015大阪大　理系数学２

第２問

　　実数x、yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき、不等式
　　　　　　　 $\rm 0\leq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\leq 1$
　　が成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　|x|≦1、|y|≦1より、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と表せる。

　　　よって、
　　　　　　　 $\rm P=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$
　　　とおくと、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←加法定理

　　　0≦A＋B≦2πより
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、題意は示された。

　　文系との共通問題ですが、違った方法で解いてみました。
　　こちらも参考に。
　　　　　http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1843.html

　　

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2015/05/09(土) 23:57:00|

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2015大阪大　理系数学３

第３問

　　以下の問いに答えよ。

　(１) $橿原学習塾青木ゼミ$ と $橿原学習塾青木ゼミ$ が無理数であることを示せ。

　(２) p、q、 $橿原学習塾青木ゼミ$ がすべて有理数であるとする。そのとき、
　　　 p＝q＝0であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数m、nを
　　　用いて、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅰ)
　　　と表すことができる。(ⅰ)の両辺を2乗すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅱ)
　　　となるので、m²は偶数である。奇数の2乗は奇数なので、
　　　mも偶数となり、自然数kを用いてm＝2kと表すことができる。
　　　これを(ⅱ)に代入すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、n²およびnは偶数となる。
　　　よって、m、nともに偶数になるため、これらが互いに素である
　　　ことに矛盾する。
　　　よって、 $橿原学習塾青木ゼミ$ は無理数である。

　　　一方、 $橿原学習塾青木ゼミ$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数M、Nを
　　　用いて、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(Ⅰ)
　　　と表すことができる。(Ⅰ)の両辺を3乗すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(Ⅱ)
　　　となるので、M²は3の倍数である。
　　　3の倍数でない数を3乗しても3の倍数にならないので、
　　　Mも3の倍数となり、自然数Kを用いてM＝3Kと表すことができる。
　　　これを(Ⅱ)に代入すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、N³およびNも3の倍数となる。
　　　よって、M、Nともに3の倍数になるため、これらが互いに素である
　　　ことに矛盾する。
　　　よって、 $橿原学習塾青木ゼミ$ は無理数である。

　(２)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(#)
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　ここで、p≠0と仮定すると、2p²＋3r²≠0より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　と変形でき、仮定よりp、q、rは有理数なので、(*)の右辺は
　　　有理数となる。このことは、(*)の左辺が無理数であることに
　　　矛盾するので、p＝0である。

　　　このとき、(#)は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる。q≠0と仮定すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と変形できるが、左辺は無理数、右辺は有理数となるので
　　　矛盾する。よって、q＝0である。

　　　以上より、p＝q＝0が示された。

　　(１)は手が痛いでしょうね^^;;　まぁ、私はコピペですが（笑）　　

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2015/05/10(日) 23:57:00|

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2015大阪大　理系数学４

第４問

　　座標空間のx軸上に動点P、Qがある。P、Qは時刻0において、
　　原点を出発する。Pはx軸の正の方向に、Qはx軸の負の方向に、
　　ともに速さ1で動く。その後、ともに時刻1で停止する。点P、Qを
　　中心とする半径1の球をそれぞれA、Bとし、空間でx≧－1の部分
　　をCとする。このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) 時刻t (0≦t≦1)における立体(A∪B)∩Cの体積V(t)を
　　　求めよ。

　(２) V(t)の最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　時刻t (0≦t≦1）における球AおよびBをxy平面で切断したときの
　　　断面は、下図のようになり、断面円の方程式はそれぞれ　　　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる。

　　　　　　　　　　

　　　立体(A∪B)∩Cは、水色部分をx軸の周りに1回転してできる
　　　回転体なので、その体積V(t)は、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　(２)
　　　(１)で求めたV(t)の導関数は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、0≦t≦1におけるV(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、V(t)の最大値は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　これは阪大にしては、かなり易しいです。
　　絶対に落とせません！　　

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2015/05/11(月) 23:57:00|

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2015大阪大　理系数学５

第５問

　　nを2以上の整数とする。正方形の形に並んだn×nのマスに
　　0または1のいずれかの数字を入れる。マスは上から第1行、
　　第2行、…、左から第1列、第2列…と数える。数字の入れ方
　　についての次の条件pを考える。

　　条件p：1からn－1までのどの整数i、jについても、第i行、
　　　　　　第i＋1と第j列、第j＋1列とが作る2×2の4個の
　　　　　　マスには0と1が2つずつ入る。

　　　　　　　　

　(１) 条件pを満たすとき、第n行と第n列の少なくとも一方には
　　　 0と1が交互に現れることを示せ。

　(２) 条件pを満たすような数字の入れ方の総数a_nを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　第i行、第j列のマスに書かれた数を単に(i，j)と表し、
　　　第i行、第i+1と第j列、第j+1列とが作る2×2の
　　　4個のマスを単に [i，j] と書くことにする。
　　　また、ある行（または列）に0と1が交互に現れることを
　　　単に「交互になる」と書くことにする。

　(１)
　　　(Ⅰ)第ｉ行（ｉ＝1，2，・・・，n-1）が交互になっているとき

　　　　　第ｉ+1行が交互になっていない、すなわち、
　　　　　　　　(ｉ+1，j)＝(ｉ+1，j+1)
　　　　　であるj （j＝1，2，・・・，n-1）が存在すると仮定すると、
　　　　　マス[ｉ，ｊ]は条件pを満たさない。
　　　　　よって、
　　　　　　　　第ｉ行が交互になっているとき、
　　　　　　　　第ｉ+1行も交互になっている。　　　　……(ⅰ)

　　　　　(ⅰ)と同様に、第ｉ+1行が交互になっているとき、第ｉ+2行
　　　　　も交互になっており、以下も同様に、第ｉ+3行、…、第n行も
　　　　　すべて交互になっている。
　　　　　また、第ｉ行より上の行についても同じことが言うことができ、
　　　　　第ｉ-1行、第ｉ-2行、…、第1行もすべて交互になっている。

　　　　　よって、次の2つのことが成り立つ。
　　　　　　　・ある行が交互になっているとき、すべての行が
　　　　　　　　交互になっている
　　　　　　　・ある列が交互になっているとき、すべての列が
　　　　　　　　交互になっている

　　　(Ⅱ)第ｉ行（ｉ＝1，2，・・・，n-1）が交互になっていないとき

　　　　　(ｉ，j)＝(ｉ，j+1) （j＝1，2，・・・，n-1）であるとする。
　　　　　[ｉ，ｊ]を考えると、
　　　　　　　　(ｉ，j)＝(ｉ，j+1)≠(ｉ+1，j)＝(ｉ+1，j+1)
　　　　　[ｉ+1，ｊ+1]を考えると、
　　　　　　　　(ｉ+1，j)＝(ｉ+1，j+1)≠(ｉ+2，j)＝(ｉ+2，j+1)
　　　　　[ｉ+2，ｊ+2]を考えると、
　　　　　　　　(ｉ+2，j)＝(ｉ+2，j+1)≠(ｉ+3，j)＝(ｉ+3，j+1)
　　　　　以下も同様に考えていくと、第ｉ行より下の行について、第j列
　　　　　および第j+1列には、0、1が交互に並んでいくことになる。　　　
　　　　　このことは、第ｉ行より上の行についても同じことが言えるので、
　　　　　第j列および第j+1列は交互になっており、(Ⅰ)より、すべての
　　　　　列が交互になっている。

　　　　　よって、次の2つのことが成り立つ。
　　　　　　　・ある行が交互になっていないとき、すべての列が
　　　　　　　　交互になっている
　　　　　　　・ある列が交互になっていないとき、すべての行が
　　　　　　　　交互になっている

　　　(Ⅰ)、(Ⅱ)より、すべての行が交互になっている、またはすべて
　　　の列が交互になっているので、第n行と第n列の少なくとも一方に
　　　は0と1が交互に現れる。

　(２)
　　　・すべての行が交互になっているとき
　　　　第1行～第n行それぞれ、
　　　　　　　010101…　または　101010…
　　　　の2通りずつ並び方があるので、並び方の総数は2ⁿ通り

　　　・すべての列が交互になっているとき
　　　　同様に2ⁿ通り

　　　・すべての行が交互であり、すべての列も交互になっているとき
　　　　　(1，1)が0の場合と1の場合の2通り

　　　よって、条件pを満たすような数字の入れ方の総数は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　n＝4，5あたりで実際に書いてみると規則性に気づくと思いますが、
　　それを書き表すのが大変です。
　　医学科以外は捨てても構いません（笑）　　

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2015/05/12(火) 23:57:00|

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