青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2015

2015京都大　文系数学１

第１問

　　直線y＝px＋qが、y＝x²－xのグラフとは交わるが、
　　y＝|x|＋|x－1|＋1 のグラフとは交わらないような
　　(p，q)の範囲を図示し、その面積を求めよ。

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2015/04/28(火) 23:54:00|

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2015京都大　文系数学２

第２問

　　次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの
　　面積を求めよ。
　　　(ａ) 少なくとも2つの内角は90°である。
　　　(ｂ) 半径1の円が内接する。ただし、円が四角形に内接するとは、
　　　　　円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　(ⅰ) 隣り合う2角が90°の四角形の場合

　　　　　∠A＝∠B＝90°とし、内接円との接点を
　　　　　右図のようにP、Q、R、Sとおくと、
　　　　　　　　AS＝AP＝BP＝BQ＝1．
　　　　　AD≦BCとしても一般性を失わないので、
　　　　　DからBCに下ろした垂線の足をHとする。
　　　　　　　　　　CQ＝CR＝x
　　　　　　　　　　DS＝DR＝y
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　　　CD＝x＋y、 CH＝x－y
　　　　　なので、△CDHにおける三平方の定理より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)
　　　　　このとき、台形ABCDの面積をSとすると、
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←x、y＞0より相加相乗平均
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←(#)より
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　よって、Sの最小値は4であり、これはx＝y＝1すなわち
　　　　　四角形ABCDが正方形にあるときである。

　　(ⅱ) 向かい合う2角が90°の四角形の場合

　　　　　∠B＝∠D＝90°とし、内接円との接点を
　　　　　右図のようにP、Q、R、Sとおくと、
　　　　　　　　BP＝BQ＝DR＝DS＝1．
　　　　　内接円の中心をIとすると、IP⊥ABより
　　　　　△ABC∽△APIとなる。
　　　　　　　　　　AP＝AS＝ｘ
　　　　　　　　　　CQ＝CR＝y
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　　　となる。
　　　　　また、△ABC≡△ADCとなるので、
　　　　　四角形ABCDの面積をSとすると、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←x、y＞0より相加相乗平均
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←'*)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　よって、Sの最小値は4であり、これはx＝y＝1すなわち
　　　　　四角形ABCDが正方形にあるときである。

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、Sの最小値は4である。

　　まぁ予想通りの結果ですが（笑）、場合分けに気をつけましょう！　　

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2015/04/28(火) 23:57:00|

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2015京都大　文系数学３

第３問

　　6個の点A、B、C、D、E、Fが下図のように長さ1の線分で結ばれて
　　いるとする。各線分をそれぞれ独立に確率 $橿原学習塾青木ゼミ$ で赤または黒で塗る。
　　赤く塗られた線分だけを通って点Aから点Eに至る経路がある場合は
　　そのうちで最短のものの長さをXとする。そのような経路がない場合は
　　Xを0とする。このとき、n＝0，2，4について、X＝nとなる確率を求めよ。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　右図のように
　　　　　A→F→Eを経路①　
　　　　　A→B→Eを経路②
　　　　　A→B→C→D→Eを経路①③
　　　とする。

　　　X＝2になるとき
　　　　　経路①または②があればよい。すなわち、
　　　　　　　　ABとBEが赤　　または　　AFとFEが赤
　　　　　であればよいので、求める確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　X＝4となるとき
　　　　　　経路①、②がなく経路③があればよい。
　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　・AFとFEの少なくとも一方は黒
　　　　　　　　　　・AB、BC、CD、DEはすべて赤
　　　　　　　　　　・BEが黒
　　　　　　　のすべての条件を満たせばよいので、
　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　X＝0となるとき
　　　　　　Xのとりうる値は0、2、4のみなので、
　　　　　　求める確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　X＝0は余事象を考えずにそのままやると死にますｗｗ　　

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2015/04/29(水) 23:54:00|

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2015京都大　文系数学４

第４問

　　xyz空間の中で、(0，0，1)を中心とする半径1の球面Sを考える。
　　点Qが(0，0，2)以外のS上の点を動くとき、点Qと点P(1，0，2)
　　の2点を通る直線Lと平面z＝0との交点をRとおく。Rの動く範囲を
　　求め、図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　Sの中心をA、S上の点Qの座標を(a，b，c) （c≠2）とおくと、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)

　　　点Rの座標を(X，Y，0)とおくと、3点P、Q、Rが一直線上に
　　　あるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる実数kが存在する。
　　　これと(#)よりa、b、cを消去すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)

　　　ここで、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　より、(*)はkについての二次方程式とみなすことができる。
　　　(*)が実数解をもつための条件は、判別式を考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、点R(X，Y)の存在範囲は下図のようになる。
　　　（ただし、境界線上の点も含む）

　　　　　　　　

　　空間図形で座標を扱うときはベクトルだと楽です。　　

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2015/04/29(水) 23:57:00|

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2015京都大　文系数学５

第５問

　　a、b、c、d、eを正の有理数として整式
　　　　　f(x)＝ax²＋bx＋c
　　　　　g(x)＝dx＋c
　　を考える。すべての正の整数nに対して $橿原学習塾青木ゼミ$ は整数であるとする。
　　このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、題意より、任意の自然数nに対してa_nは整数となる。

　　　2次式f(x)を1次式f(x)で割ったときの商をpx＋q、余りをr
　　　とおくと
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　と表せる。
　　　d＞0、e＞0より任意の自然数nに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　この式は、任意の自然数nに対して成り立つので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅰ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅱ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅲ)

　　　(ⅱ)－(ⅰ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅳ)
　　　(ⅲ)－(ⅱ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅴ)
　　　(ⅴ)－(ⅳ)より
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)

　　　a_n、a_n+1、a_n+2はすべて整数なので、
　　　任意の自然数nに対して、(#)の右辺（R_nとする）は整数となる。

　　　ここで、d、e、n＞0より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　この不等式は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　を満たすようなnに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、R_nは整数なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、(*)は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、f(x)はg(x)で割り切れる。

　　普通に「捨て問題」でしょｗｗ　　

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2015/04/30(木) 23:57:00|

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