雨です。
第2問
平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A’を
B、C、Pを通る円の中心、B’をC、A、Pを通る円の中心、C’をA、B、Pを通る
円の中心とする.このときA、B、C、A’、B’、C’が同一円周上にあるための
必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ.
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【解答】
まず、点Pについての条件を整理しておくと、
点A’はB、C、Pを通る円の中心なので、
BA’=CA’=PA’
他についても同様に、
B’C=B’A=B’P
C’A=C’B=C’P .
よって、△CA’B’≡△PA’B’となるので、
∠CB’A’=∠PB’A’・・・・①
また、B’を中心とする△CAPの外接円において、
弧PCに対する円周角と中心角を考えると、
∠PB’C=2∠PAC ・・・②
他についても同様に
∠PA’C=2∠PBC ・・・②’
∠PA’B=2∠PCB ・・・②”
これらの仮定をもとに、
「A、B、C、A’、B’、C’が同一円周上にある」・・・・(ア)
と
「点Pは△ABCの内心である」・・・・(イ)
が同値であることを示せばよい。
(ⅰ) (ア)⇒(イ)であることの証明
まず、①、②より
∠CB’A’=∠PAC ・・・・③
△ABCの外接円において、弧CA’の円周角を考えると、
∠CB’A’=∠A’AC
これと③より、
∠PAC=∠A’AC
すなわち、3点A、P、A’は一直線上にある ・・・④
また、BA’=CA’より、弧BA’=弧CA’
となるので、AA’は∠BACを二等分する。
これと④より、
点Pは∠BACの二等分線上にある。
同様に考えると、点Pは∠ABC、∠BCAの
二等分線上にもあるので、
点Pは△ABCの内心である。
(ⅱ) (イ)⇒(ア)であることの証明
一方、点Pが△ABCの内心であるとき、
∠ABC=2∠PBC 、∠ACB=2∠PCB.
これらと②’、②”より、
∠ABC=∠PA’C 、∠ACB=∠PA’B ・・・・⑤
が成り立つ。
∠BAC+∠BA’C
=∠PA’C+∠PA’B
=∠ABC+∠ACB ←⑤より
=180° ←△ABCの内角の和
よって、対角の和が180°になるので、
四角形ABA’Cは内接四角形である。
四角形B’、C’についても同様のことがいえるので、
A、B、C、A’、B’、C’が同一円周上にある。
以上より、(ア)と(イ)が同値であることが示された。
これなんか高校生には難しいんでしょうねぇ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/12/08(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2009乙
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