青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2009乙

2009京都大　理系数学(乙)１

今日からは2009年の京大の問題です。
難しいー！！

第１問

　　ｘｙｚ空間でＯ(０，０，０)、Ａ(３，０，０)、Ｂ(３，２，０)、Ｃ(０，２，０)、
　　Ｄ(０，０，４)、Ｅ(３，０，４)、Ｆ(３，２，４)、Ｇ(０，２，４)を頂点とする
　　直方体ＯＡＢＣ－ＤＥＦＧを考える．辺ＡＥをｓ：１－ｓに内分する点をＰ、
　　辺ＣＧをｔ：１－ｔに内分する点をＱとおく．ただし、０＜ｓ＜１、０＜ｔ＜１
　　とする．Ｄを通り、Ｏ、Ｐ、Ｑを含む平面に垂直な直線が線分ＡＣ(両端を
　　含む)と交わるようなｓ、ｔの満たす条件を求めよ．　　

解答はこちら↓

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2011/12/07(水) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学(乙)２

雨です。

第２問

　　平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点Ｐをとり、Ａ’を
　　Ｂ、Ｃ、Ｐを通る円の中心、Ｂ’をＣ、Ａ、Ｐを通る円の中心、Ｃ’をＡ、Ｂ、Ｐを通る
　　円の中心とする．このときＡ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるための
　　必要十分条件はＰが△ＡＢＣの内心に一致することであることを示せ．

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　まず、点Ｐについての条件を整理しておくと、
　　　　点Ａ’はＢ、Ｃ、Ｐを通る円の中心なので、
　　　　　　　ＢＡ’＝ＣＡ’＝ＰＡ’
　　　　他についても同様に、
　　　　　　　Ｂ’Ｃ＝Ｂ’Ａ＝Ｂ’Ｐ
　　　　　　　Ｃ’Ａ＝Ｃ’Ｂ＝Ｃ’Ｐ．
　　　　よって、△ＣＡ’Ｂ’≡△ＰＡ’Ｂ’となるので、
　　　　　　∠ＣＢ’Ａ’＝∠ＰＢ’Ａ’････①

　　　　また、Ｂ’を中心とする△ＣＡＰの外接円において、
　　　　弧ＰＣに対する円周角と中心角を考えると、
　　　　　　∠ＰＢ’Ｃ＝２∠ＰＡＣ･･･②
　　　　他についても同様に
　　　　　　∠ＰＡ’Ｃ＝２∠ＰＢＣ･･･②’
　　　　　　∠ＰＡ’Ｂ＝２∠ＰＣＢ･･･②”
　

　　　　これらの仮定をもとに、
　　　　　　「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にある」････(ア)
　　　　　と
　　　　　　「点Ｐは△ＡＢＣの内心である」････(イ)
　　　　が同値であることを示せばよい。

　　(ⅰ) (ア)⇒(イ)であることの証明　
　　　　まず、①、②より
　　　　　　∠ＣＢ’Ａ’＝∠ＰＡＣ　････③
　　　　△ＡＢＣの外接円において、弧ＣＡ’の円周角を考えると、
　　　　　　∠ＣＢ’Ａ’＝∠Ａ’ＡＣ
　　　　これと③より、
　　　　　　∠ＰＡＣ＝∠Ａ’ＡＣ
　　　　すなわち、３点Ａ、Ｐ、Ａ’は一直線上にある　･･･④

　　　　また、ＢＡ’＝ＣＡ’より、弧ＢＡ’＝弧ＣＡ’
　　　　となるので、ＡＡ’は∠ＢＡＣを二等分する。
　　　　これと④より、
　　　　　　点Ｐは∠ＢＡＣの二等分線上にある。

　　　　同様に考えると、点Ｐは∠ＡＢＣ、∠ＢＣＡの
　　　　二等分線上にもあるので、
　　　　点Ｐは△ＡＢＣの内心である。
　　　　

　　(ⅱ) (イ)⇒(ア)であることの証明　
　　　　一方、点Ｐが△ＡＢＣの内心であるとき、
　　　　　　∠ＡＢＣ＝２∠ＰＢＣ、∠ＡＣＢ＝２∠ＰＣＢ．
　　　　これらと②’、②”より、
　　　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＰＡ’Ｃ、∠ＡＣＢ＝∠ＰＡ’Ｂ････⑤
　　　　が成り立つ。

　　　　　　∠ＢＡＣ＋∠ＢＡ’Ｃ
　　　　　＝∠ＰＡ’Ｃ＋∠ＰＡ’Ｂ
　　　　　＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ　　　←⑤より
　　　　　＝180°　　　←△ＡＢＣの内角の和

　　　　よって、対角の和が180°になるので、
　　　　四角形ＡＢＡ’Ｃは内接四角形である。
　　　　四角形Ｂ’、Ｃ’についても同様のことがいえるので、
　　　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にある。

　　以上より、(ア)と(イ)が同値であることが示された。

　　これなんか高校生には難しいんでしょうねぇ。　　

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2011/12/08(木) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学(乙)３

昨日、塾のホームページを更新しました。
４ヶ月ぶりぐらいですが･････
http://www.aozemi.com/

第３問

　　ｎ枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に１からｎまで番号
　　がつけられている．ただし、ｎ≧２とする．このカードの山に対して次の試行を
　　繰り返す．１回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上にもどすか、
　　あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う．これらｎ通りの操
　　作はすべて同じ確率であるとする。ｎ回の試行を終えたとき、最初一番下にあ
　　ったカード(番号ｎ)が山の一番上にきている確率を求めよ．

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　以下、番号ｎのカードをＡと書くことにする。

　　①Ａが上からｋ番目(ｋ＝２，３，･･･，ｎ)にある状態で、
　　　１回の試行を行うと、
　　　　　　(ア) そのままの位置(上からｋ番目)にとどまる
　　　　　　(イ) １つ上の位置(上からｋ－１番目)に上がる　　
　　　　の２通りの場合が考えられる。
　　　　　(ア)になるためには、１番上のカードがＡより上に
　　　　　　　移動すればよい。すなわち、１番上に戻るか、
　　　　　　　２～ｋ－１枚目のカードの下に入ればよいので、
　　　　　　　その確率は、 $\rm \frac{k-1}{n}$ である。
　　　　　(イ)になる確率は、 $1-\rm \frac{k-1}{n}=\frac{n+1-k}{n}$

　　②Ａが一番上にある状態で、
　　　１回の試行を行うと、
　　　　　　(ウ) そのまま一番上にとどまる
　　　　　　(エ) 上から２番目以降の位置に下がる　　
　　　　の２通りの場合が考えられる。
　　　　　(ウ)になる確率は、 $\rm \frac{1}{n}$ であり、
　　　　　(エ)になる確率は、 $\rm\frac{n-1}{n}$

　　ここまでが準備段階ですが、　
　　ｋ＝１のとき、(イ)がおかしな事になってしまうので、ｋ＝１とｋ≧２で場合分けが必要です。
　

　　Ａが１番上までくるには最少でもｎ－１回の試行が必要なので、
　　ｎ回の試行で一番上にくるためには、
　　　(ⅰ) ｎ－１回目までに(ア)が一度だけ起こり、
　　　　　それ以外のｎ－１回はすべて(イ)が起こる
　　　(ⅱ) (イ)が最初からｎ－１回続けて起こった後、
　　　　　ｎ回目に(ウ)となる
　　の２つの場合が考えられる。

　　(ⅰ)のとき
　　　　ｍ（ｍ＝１，２，･･･，ｎ－１）回目の試行のみが(ア)とする。
　　　　　　１回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{1}{n}$
　　　　Ａは１つずつ上に上がるので、
　　　　　　２回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{2}{n}$
　　　　　　３回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{3}{n}$
　　　　　　　･･･
　　　　　　ｍ－１回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{m-1}{n}$
　　　　この段階で上からｎ＋１－ｍ番目にあるので、
　　　　　　ｍ回目が(ア)の確率＝ $\rm \frac{n-m}{n}$
　　　　　　ｍ＋１回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{m}{n}$
　　　　　　　･･･
　　　　　　ｎ回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{n-1}{n}$

　　　　よって、ｍ回目のみが(ア)となる確率は、
　　　　　　 $\rm \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot \ldots \cdot\frac{m-1}{n}\cdot\frac{n-m}{n}\cdot\frac{m}{n}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n}=\frac{(n-1)!(n-m)}{n^n}$
　　　　ｍ＝１，２，･･･，ｎ－１の和を考えると、
　　　　　　 $\rm \sum_{m=1}^{n-1}\ \frac{(n-1)!(n-m)}{n^n}=\frac{(n-1)!}{n^n}\times\{1+2+\ldots +(n-2)+(n-1)\}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{(n-1)!(n^2-n)}{2n^n}$

　　　　　　　

　　(ⅱ)のとき
　　　　　　１回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{1}{n}$
　　　　　　２回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{2}{n}$
　　　　　　　･･･
　　　　　　ｎ－１回目が(イ)の確率＝ $\rm \frac{n-1}{n}$
　　　　　　ｎ回目が(ウ)の確率＝ $\rm \frac{1}{n}$
　　　　よって、(ⅱ)の確率は、
　　　　　　 $\rm \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot \ldots \cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{n^n}$
　　　　　

　　　　　　　

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、求める確率は、
　　　　　　 $\rm \frac{(n-1)!(n^2-n)}{2n^n}+\frac{(n-1)!}{n^n}=\underline{\ \ \rm \frac{(n-1)!}{2n^n}(n^2-n+2)\ \ }$

　　場合分けがあるので、少しタイヘンですね。うまく整理する必要があります。
　

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2011/12/09(金) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学(乙)４

プロフィールの画像を変えてみました。

第４問

　　 $\rm A=\binom{a\ \ &b}{c\ \ &d}$ をａｄ－ｂｃ＝１を満たす行列とする（ａ、ｂ、ｃ、ｄは実数）．
　　自然数ｎに対して平面上の点Ｐ_n(ｘ_n，ｙ_n)を
　　　　　　　 $\rm \binom{\ x_n\ }{y_n}=A^n\ \binom{\ 1\ }{0}$ 　　　　　
　　により定める． $\rm \overrightarrow{\rm OP_1}$ と $\rm \overrightarrow{\rm OP_2}$ の長さが１のとき、すべてのｎに対して
　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP_n}$ の長さが１であることを示せ．ここでＯは原点である．

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　
　　　　二次の単位行列および零行列をそれぞれＥ、Ｏと表す。
　　　　ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　Ａ²－(ａ＋ｄ)Ａ－(ａｄ－ｂｃ)Ｅ＝Ｏ
　　　　これと、条件ａｄ－ｂｃ＝１････①　より
　　　　　　　Ａ²＝(ａ＋ｄ)Ａ－Ｅ　･････②

　　　　まず、Ｐ₁に関して、
　　　　　　 $\rm \binom{x_1}{y_1}=A\binom{1}{0}=\binom{a\ \ &b}{c\ \ &d}\binom{1}{0}=\binom{a}{c}$
　　　　より、
　　　　　　ＯＰ₁²＝ａ²＋ｃ²＝１･････③
　　　　次に、Ｐ₂に関して、②を用いて計算すると、
　　　　　　 $\rm \binom{x_2}{y_2}=A^2\binom{1}{0}=(a+d)A\binom{1}{0}-E\binom{1}{0}=\binom{(a+d)a-1}{(a+d)c}$
　　　　より、
　　　　　　ＯＰ₂²＝{(ａ＋ｄ)ａ－１}²＋{(ａ＋ｄ)ｃ}²
　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｄ)²(ａ²＋ｃ²)－２ａ(ａ＋ｄ)＋１＝１
　　　　　　これに③を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　ａ²＝ｄ²
　　　　　　　　⇔　ａ＝±ｄ････④

　　ここまでが準備段階です。ハミルトンを使うと計算量が減って楽ですね。　

　　　　
　　　(ⅰ) ａ＋ｄ＝０のとき
　　　　　②より、Ａ²＝－Ｅ
　　　　　このとき、任意の自然数ｎに対して、
　　　　　　　 $\rm \binom{x_{n+2}}{y_{n+2}}=A^{n+2}\binom{1}{0}=A^2\cdot A^n\binom{1}{0}=-E\binom{x_n}{y_n}=-\binom{x_n}{y_n}$
　　　　　より、
　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n+2}}|=|\overrightarrow{\rm OP_n}|$
　　　　　任意の偶数ｎに対して、
　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-2}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-4}}|=\ldots \ldots=|\overrightarrow{\rm OP_{2}}|=1$
　　　　　任意の奇数ｎに対して、
　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-2}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-4}}|=\ldots \ldots=|\overrightarrow{\rm OP_{1}}|=1$
　　　　　がそれぞれ成り立つので、
　　　　　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=1$

　　　(ⅱ) ａ＝ｄかつｃ＝０のとき
　　　　　　③より、ａ＝ｄ＝±１
　　　　　　 $\rm A=\binom{\pm 1\ \ &b}{0\ \ &\pm 1}$
　　　　　　このＡに対して、
　　　　　　　 $\rm \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A^{n+1}\binom{1}{0}=A\cdot A^n\binom{1}{0}=\binom{\pm 1\ \ &b}{0\ \ &\pm 1}\binom{x_n}{y_n}=\pm\binom{x_n}{y_n}$
　　　　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n+1}}|=|\overrightarrow{\rm OP_n}|$
　　　　　　よって、任意の自然数ｎに対して、
　　　　　　　 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-1}}|=|\overrightarrow{\rm OP_{n-2}}|=\ldots \ldots=|\overrightarrow{\rm OP_{1}}|=1$

　　　(ⅲ) ａ＝ｄかつｃ≠０のとき
　　　　　　①より、ｂｃ＝ａ²－１
　　　　　　これに③を代入して、両辺をｃで割ると、
　　　　　　　　　ｂ＝－ｃ
　　　　　　これと③より、ａ、ｂ、ｃ、ｄはαを用いて、
　　　　　　　　　ａ＝ｄ＝cosα 、ｃ＝－ｂ＝sinα
　　　　　　と表せる。
　　　　　　このとき、Ａは
　　　　　　　　　 $\rm A=\binom{\cos\alpha \ \ &-\sin\alpha }{\sin\alpha \ \ &\ \ \cos\alpha }$
　　　　　　となり、これは原点中心としてαだけ回転させる変換を表す行列となる。
　　　　　　よって、このときも常に $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=1$ が保たれる。

　　(ⅰ)～(ⅲ)より、
　　　　　任意の自然数に対して、 $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=1$

　　細かい場合分けが面倒ですが、丁寧に解いていきましょう。　　

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2011/12/10(土) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学(乙)５

昨日は朝10:30から夜23:00まで面談でした＾＾；；
さすがに疲れましたね････

第５問

　　ｘｙ平面上で原点を極、ｘ軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式
　　ｒ＝２＋cosθ （０≦θ≦π）により表される曲線をＣとする．Ｃとｘ軸とで囲まれ
　　た図形をｘ軸のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ．

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　ｒ＝２＋cosθ　････①

　　Ｃ上の点を直交座標で(ｘ，ｙ)と表すと、
　　　　　(ｘ，ｙ)＝(ｒcosθ，ｒsinθ)
　　これと①より
　　　　　　ｘ＝２cosθ＋cos²θ 、　ｙ＝(２＋cosθ)sinθ　････②
　　まず、０≦θ≦πなので、
　　この範囲で常にｙ≧０である。
　　また、ｘをθで微分すると、
　　　　 $\rm \frac{dx}{d\theta}$ ＝－２sinθ－２sinθcosθ
　　　　　　＝－２sinθ(１＋cosθ)
　　０≦θ≦πの範囲でｘについての増減表を書くと、下の通り。
　
θ ０･･･　π　
$\rm \frac{dx}{d\theta}$ 　－　
ｘ　３　 ↘ －１

　　これらをもとにＣのグラフを描くと、右図のような概形になる。

　　求める回転体の体積をＶとおくと、
　　　　　 $\rm V=\pi\int_{-1}^3\ y^2\ dx$
　　②のように置換する
　　　　　 $\rm V=\pi\int_{\pi}^0\ (2+\cos\theta)^2\sin^2\theta\cdot(-2)\sin\theta(1+\cos \theta)\ d\theta$
　　　　　　 $\rm =2\pi\int_0^{\pi}\ (2+\cos\theta)^2(1+\cos \theta)\sin^3\theta\ d\theta$
　　ｔ＝cosθと置換
　　　　　 $\rm V=2\pi\int_1^{-1}\ (2+t)^2(1+t)\sin^3\theta\ \frac{dt}{-\sin \theta}$
　　　　　　 $\rm =2\pi\int_{-1}^{1}\ (2+t)^2(1+t)(1-t^2)\ \ dt$
　　奇関数・偶関数に注意して展開すると、
　　　　　 $\rm V=4\pi\int_{0}^{1}\ (-5t^4+t^2+4)\ dt$
　　　　　　 $\rm =4\pi\left[-t^5+\frac{1}{3}t^3+4t\right]_0^1$
　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{40}{3}\pi\ \ }$

　　これは比較的易しいのではないでしょうか。
　　　

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2011/12/11(日) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学(乙)６

冬期講座の時間割の調整をせねばなりません。

第６問

　　ａとｂは互いに素、すなわち１以外の公約数を持たない正の整数とし、さらに
　　ａは奇数とする．正の整数ｎに対して整数ａ_n、ｂ_nを(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )ⁿ＝ａ_n＋ｂ_n $\rm \sqrt2$
　　を満たすように定めるとき、次の(１)、(２)を示せ．ただし $\rm \sqrt2$ が無理数である
　　ことは証明なしに用いてよい。

　(１) ａ₂は奇数であり、ａ₂とｂ₂は互いに素である。

　(２) すべてのｎに対して、ａ_nは奇数であり、ａ_nとｂ_nは互いに素である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　(１)の前半
　　　　ａ₂＋ｂ₂ $\rm \sqrt2$ ＝(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )²
　　　　　　　　　　＝ａ²＋２ｂ²＋２ $\rm \sqrt2$ ａｂ
　　　　 $\rm \sqrt2$ は無理数で、ａ、ｂ、ａ₂、ｂ₂は整数なので、
　　　　　　　ａ₂＝ａ²＋２ｂ²　････①
　　　　　　　ｂ₂＝２ａｂ　　　　････②
　　　　ａは奇数なので、ａ²も奇数であり、２ｂ²は偶数なので、
　　　　ａ₂は奇数となる。

　　ａ₂が奇数であることの証明は、そんなに難しくないでしょう。
　　ａ₂とｂ₂が互いに素であることは、背理法を用いるときれいに書けます。　　

　　(１)の後半
　　　　ａ₂とｂ₂がある素数ｐを公約数としてもつと仮定すると、
　　　　整数ｍ_ａ、ｍ_ｂを用いて、
　　　　　　　　ａ₂＝ｐｍ_ａ、　ｂ₂＝ｐｍ_ｂ
　　　　と表せる。ここで、ａ₂は奇数なので、ｐ≠２である。
　　　　②に代入すると、
　　　　　　　　２ａｂ＝ｐｍ_ｂ
　　　　ｐ≠２なので、ａ、ｂのうち少なくとも一方はｐの倍数となる。

　　　(ア) ａがｐの倍数であるとき
　　　　　　整数ｋ_ａを用いて、ａ＝ｐｋ_ａと表せるので、
　　　　　　①より、
　　　　　　　　　ａ₂＝ｐ²ｋ_ａ²＋２ｂ²＝ｐｍ_ａ
　　　　　　　⇔　２ｂ²＝ｐ(ｍ_ａ－ｐｋ_ａ²)
　　　　　　ここで、ｐ≠２より、ｂ²はｐの倍数となるので、
　　　　　　ｂもｐの倍数である。
　　　　　　このことは、ａとｂが互いに素であることに矛盾する。

　　　(イ) ｂがｐの倍数であるとき
　　　　　　整数ｋ_ｂを用いて、ｂ＝ｐｋ_ｂと表せるので、
　　　　　　(ア)と同様に
　　　　　　　　　ａ²＝ｐ(ｍ_ｂ－２ｐｋ_ｂ²)
　　　　　　となるので、ａもｐの倍数であるといえる。
　　　　　　このことは、ａとｂが互いに素であることに矛盾する。

　　　(ア)、(イ)より、ａ₂とｂ₂は互いに素である。

　　「ａ、ｂのうち少なくとも一方がｐの倍数となる」ことに気づけばＯＫです。　　

　　(２)の前半
　　　　ａ_n+1＋ｂ_n+1 $\rm \sqrt2$ ＝(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )ⁿ⁺¹
　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )(ａ_n＋ｂ_n $\rm \sqrt2$ )
　　　　　　　　　　　　　　＝(ａａ_n＋２ｂｂ_n)＋ $\rm \sqrt2$ (ｂａ_n＋ａｂ_n)
　　　　 $\rm \sqrt2$ は無理数で、ａ、ｂ、ａ_n、ｂ_nは整数なので、
　　　　　　　ａ_n+1＝ａａ_n＋２ｂｂ_n　････③
　　　　　　　ｂ_n+1＝ｂａ_n＋ａｂ_n　　････④

　　　　ａ_nが奇数であることを数学的帰納法を用いて示す。
　　　　(ⅰ)ｎ＝１のとき
　　　　　　　ａ₁＝ａは奇数なのでＯＫ
　　　　(ⅱ)ｎ＝ｋのとき
　　　　　　ａ_nが奇数であると仮定する。
　　　　　　③において、
　　　　　　　ａ、ａ_nは奇数なので、ａａ_nは奇数であり、
　　　　　　　２ｂｂ_nは偶数である。
　　　　　　よって、ａ_n+1は奇数となり、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数ｎに対して、ａ_nは奇数である。

　　(２)の後半は、タイヘンなことになるので次の記事です。　　

　　　　
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2011/12/12(月) 23:54:00|

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2009京都大　理系数学(乙)６(２)

先ほどの記事の続きです。

第６問

　　ａとｂは互いに素、すなわち１以外の公約数を持たない正の整数とし、さらに
　　ａは奇数とする．正の整数ｎに対して整数ａ_n、ｂ_nを(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )ⁿ＝ａ_n＋ｂ_n $\rm \sqrt2$
　　を満たすように定めるとき、次の(１)、(２)を示せ．ただし $\rm \sqrt2$ が無理数である
　　ことは証明なしに用いてよい。

　(１) ａ₂は奇数であり、ａ₂とｂ₂は互いに素である。

　(２) すべてのｎに対して、ａ_nは奇数であり、ａ_nとｂ_nは互いに素である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　ａ_n+1＋ｂ_n+1 $\rm \sqrt2$ ＝(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )(ａ_n＋ｂ_n $\rm \sqrt2$ )　････(※)
　　　　　　ａ_n+1＝ａａ_n＋２ｂｂ_n　････③
　　　　　　ｂ_n+1＝ｂａ_n＋ａｂ_n　　････④

　　(２)の後半
　　　　ａ_nとｂ_nが互いに素であることを数学的帰納法を用いて示す。

　　　(ⅰ) ｎ＝１のとき
　　　　　　　仮定より、ａ₁＝ａとｂ₁＝ｂは互いに素なのでＯＫ
　　　　　ｎ＝１のとき
　　　　　　　(１)よりＯＫ
　　　(ⅱ) ｎ＝ｋとｎ＝ｋ＋１のとき成立すると仮定する。
　　　　　　すなわち、ａ_ｋとｂ_ｋおよびａ_ｋ+1とｂ_ｋ+1が
　　　　　　それぞれ互いに素であると仮定する。
　　　　　　この仮定のもとで、ａ_ｋ+2とｂ_ｋ+2が互いに素であることを
　　　　　　背理法を用いて示す。
　　　　　　
　　　　　　ａ_k+2とｂ_k+2がある素数ｐを公約数としてもつと仮定すると、
　　　　　　整数ｍ_ａ、ｍ_ｂを用いて、
　　　　　　　　ａ_k+2＝ｐｍ_ａ、　ｂ_k+2＝ｐｍ_ｂ　････⑤
　　　　　　と表せる。
　　　　　　ここで、ａ₂は奇数なので、ｐ≠２である。

　　　　　　ｂ≠０と④より、
　　　　　　　　　 $\rm a_k=\frac{1}{b}\ b_{k+1}-\frac{a}{b}\ b_k$
　　　　　　これを③に代入してａ_kを消去し、整理すると
　　　　　　　　　２ａｂ_k+1＝ｂ_k+2＋(ａ²－２ｂ²)ｂ_k　････⑥
　　　　　　同様にして、ｂ_kを消去すると、
　　　　　　　　　２ａａ_k+1＝ａ_k+2＋(ａ²－２ｂ²)ａ_k　････⑦

　　　ここまでは、連立タイプの漸化式を解くときの変形です。　　　

　　　　　　　　　
　　　　　　一方、(※)より
　　　　　　　　　ａ_k+2＋ｂ_k+2 $\rm \sqrt2$ ＝(ａ＋ｂ $\rm \sqrt2$ )(ａ_k+1＋ｂ_k+1 $\rm \sqrt2$ )
　　　　　　この両辺にａ－ｂ $\rm \sqrt2$ をかけると、
　　　　　　　　　(ａ－ｂ $\rm \sqrt2$ )(ａ_n+1＋ｂ_n+1 $\rm \sqrt2$ )＝(ａ²－２ｂ²)(ａ_n＋ｂ_n $\rm \sqrt2$ )
　　　　　　展開して係数を比較すると、
　　　　　　　　　ａａ_k+2－２ｂｂ_k+2＝ａ_k+1(ａ²－２ｂ²)
　　　　　　　　　－ｂａ_k+2＋ａｂ_k+2＝ｂ_k+1(ａ²－２ｂ²)
　　　　　　これに⑤を代入すると、
　　　　　　　　　ｐ(ａｍ_ａ－２ｂｍ_ｂ)＝ａ_k+1(ａ²－２ｂ²)
　　　　　　　　　ｐ(－ｂｍ_ａ＋ａｍ_ｂ)＝ｂ_k+1(ａ²－２ｂ²)
　　　　　　となり、ａ_k+1(ａ²－２ｂ²)とｂ_k+1(ａ²－２ｂ²)はともにｐの倍数である。
　　　　　　ここで、ａ_k+1とｂ_k+1は互いに素なので、
　　　　　　これらがともにｐの倍数となることはあり得ない。　････⑧
　　　　　　よって、ａ²－２ｂ²がｐの倍数となり、
　　　　　　　　　　ａ²－２ｂ²＝ｐＮ　(Ｎは整数) ････⑨
　　　　　　と表せる。

　　　　　　⑤と⑨を⑥、⑦に代入して整理すると、
　　　　　　　　　２ａｂ_k+1＝ｐ(ｍ_ｂ＋Ｎｂ_k)
　　　　　　　　　２ａａ_k+1＝ｐ(ｍ_ａ＋Ｎａ_k)
　　　　　　となり、２ａｂ_k+1と２ａａ_k+1はともにｐの倍数である。
　　　　　　⑧より、２ａはｐの倍数となり、ｐ≠２よりａはｐの倍数である。
　　　　　　整数Ｍを用いて、
　　　　　　　　　ａ＝ｐＭ
　　　　　　と表せるので、これを⑨に代入して整理すると、
　　　　　　　　　２ｂ²＝ｐ(ｐＭ²－Ｎ)
　　　　　　ここで、ｐ≠２より、ｂ²はｐの倍数となるので、
　　　　　　ｂもｐの倍数である。
　　　　　　このことは、ａとｂが互いに素であることに矛盾する。
　　　　　
　　　　　　よって、ａ_ｋ+2とｂ_ｋ+2が互いに素となるので、
　　　　　　任意の自然数ｎに対して、ａ_ｎとｂ_ｎが互いに素である。

　　　(※)の両辺にａ－ｂ ${\color{blue}\rm \sqrt2}$ をかけるというのは、思いつきにくいでしょうね。
　　私もたまたま式をいじっていたら出てきただけですので････
　　いやぁ、これは難しい！　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/12/12(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2009乙

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