青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2015

2015京都大　理系数学１

第１問

　　2つの関数
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　のグラフの0≦x≦ $橿原学習塾青木ゼミ$ の部分で囲まれる領域を、x軸のまわりに
　　1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、x＝0とx＝ $橿原学習塾青木ゼミ$
　　は領域を囲む線とは考えない。

解答はこちら↓

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2015/05/01(金) 23:54:00|

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2015京都大　理系数学２

第２問

　　次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの
　　面積を求めよ。
　　　(ａ) 少なくとも2つの内角は90°である。
　　　(ｂ) 半径1の円が内接する。ただし、円が四角形に内接するとは、
　　　　　円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　(ⅰ) 隣り合う2角が90°の四角形の場合

　　　　　∠A＝∠B＝90°とし、内接円との接点を
　　　　　右図のようにP、Q、R、Sとおくと、
　　　　　　　　AS＝AP＝BP＝BQ＝1．
　　　　　AD≦BCとしても一般性を失わないので、
　　　　　DからBCに下ろした垂線の足をHとする。
　　　　　　　　　　CQ＝CR＝x
　　　　　　　　　　DS＝DR＝y
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　　　CD＝x＋y、 CH＝x－y
　　　　　なので、△CDHにおける三平方の定理より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)
　　　　　このとき、台形ABCDの面積をSとすると、
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←x、y＞0より相加相乗平均
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←(#)より
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　よって、Sの最小値は4であり、これはx＝y＝1すなわち
　　　　　四角形ABCDが正方形にあるときである。

　　(ⅱ) 向かい合う2角が90°の四角形の場合

　　　　　∠B＝∠D＝90°とし、内接円との接点を
　　　　　右図のようにP、Q、R、Sとおくと、
　　　　　　　　BP＝BQ＝DR＝DS＝1．
　　　　　内接円の中心をIとすると、IP⊥ABより
　　　　　△ABC∽△APIとなる。
　　　　　　　　　　AP＝AS＝ｘ
　　　　　　　　　　CQ＝CR＝y
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　　　となる。
　　　　　また、△ABC≡△ADCとなるので、
　　　　　四角形ABCDの面積をSとすると、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←x、y＞0より相加相乗平均
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←'*)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　よって、Sの最小値は4であり、これはx＝y＝1すなわち
　　　　　四角形ABCDが正方形にあるときである。

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、Sの最小値は4である。

　　まぁ予想通りの結果ですが（笑）、場合分けに気をつけましょう！　　

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2015/05/01(金) 23:57:00|

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2015京都大　理系数学３

第３問

　(１) aを実数とするとき、(a，0)を通り、y＝e^x＋1に接する直線が
　　　ただ1つ存在することを示せ。

　(２) a₁＝1として、n＝1，2，…について、(a_n，0)を通り、y＝e^x＋1
　　　に接する直線の接点のx座標をa_n+1とする。このとき $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　曲線Cを
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、f(x)の第1次および2次導関数は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、Cと2点で接する直線は存在しない。

　　　C上の点(t，f(t))における接線の方程式は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、これが点(a，0)を通るとき、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)

　　　(#)の右辺をh(t)とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、h(t)は単調に増加する。また、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、任意の実数aに対して曲線y＝h(t)と直線y＝aは
　　　ただ1点で交わる。
　　　よって、(#)を満たすｔがただ1つ存在するので、点(a，0)を通り、
　　　Cに接する直線はただ1つ存在する。

　(２)
　　　(#)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　この不等式は、任意の自然数nに対して成り立つので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、これらを辺々加えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　これより、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、(*)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　これもそれほど難しくはないです。　　

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2015/05/02(土) 23:57:00|

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2015京都大　理系数学４

第４問

　　一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、Pを辺ABの中点とし、
　　点Qが辺AC上を動くとする。このとき、cos∠PDQの最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　PはABの中点なので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　AQ＝x （0＜x＜1）とおいて、△APQと△ADQ
　　　および△DPQに余弦定理を適用すると、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　ここで、xの関数f(x)を
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　cos∠PDQが最大になるのはf(x)が最大になるときなので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　よくありそうな問題ですね。　　

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2015/05/03(日) 23:57:00|

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2015京都大　理系数学５

第５問

　　a、b、c、d、eを正の実数として整式
　　　　　f(x)＝ax²＋bx＋c
　　　　　g(x)＝dx＋c
　　を考える。すべての正の整数nに対して $橿原学習塾青木ゼミ$ は整数であるとする。
　　このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、題意より、任意の自然数nに対してa_nは整数となる。

　　　2次式f(x)を1次式f(x)で割ったときの商をpx＋q、余りをr
　　　とおくと
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(*)
　　　と表せる。
　　　d＞0、e＞0より任意の自然数nに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　この式は、任意の自然数nに対して成り立つので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅰ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅱ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅲ)

　　　(ⅱ)－(ⅰ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅳ)
　　　(ⅲ)－(ⅱ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅴ)
　　　(ⅴ)－(ⅳ)より
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(#)

　　　a_n、a_n+1、a_n+2はすべて整数なので、
　　　任意の自然数nに対して、(#)の右辺（R_nとする）は整数となる。

　　　ここで、d、e、n＞0より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　この不等式は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　を満たすようなnに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、R_nは整数なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、(*)は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、f(x)はg(x)で割り切れる。

　　p、qを消去してrだけの式に持ちこむとことがミソです。
　　医学部医学科以外は普通に「捨て問題」でしょｗｗ　　

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2015/05/04(月) 23:57:00|

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2015京都大　理系数学６

第６問

　　2 つの関数を
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　とおく。x₀＝ $橿原学習塾青木ゼミ$ から始め、各n＝1，2，… について、それぞれ確率 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　でx_n＝f₀(x_n-1)またはx_n＝f₁(x_n-1)と定める。このとき、x_n＜ $橿原学習塾青木ゼミ$ と
　　なる確率P_nを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A、B、Cを　
　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおく。
　　　x_k （k＝0，1，2，…）が集合A、B、Cに属する確率をそれぞれ
　　　a_k、b_k、c_kとおくと、 $橿原学習塾青木ゼミ$ より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅰ)

　　　自然数nに対して、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅱ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅲ)
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅳ)
　　　また、任意の自然数nに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　……(ⅴ)
　　　が成り立つ。

　　　(ⅲ)、(ⅴ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、数列 $橿原学習塾青木ゼミ$ は等比数列をなす。
　　　よって、(ⅰ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅵ)

　　　一方、(ⅱ)、(ⅳ)2式の差をとると
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、数列 $橿原学習塾青木ゼミ$ は等比数列をなす。
　　　よって、(ⅰ)より　　　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(ⅶ)

　　　(ⅴ)、(ⅵ)、(ⅶ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、求める確率は、
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　x₀の値から順にx₁、x₂、x₃、・・・と計算していくと、
　　規則性に気づくはずです。　　

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2015/05/05(火) 23:57:00|

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