第１問
関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=1+\sin x+\sin ^2x\ \ \left(0\leqq x\leqq 2\pi \right)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) y＝f(x)の増減表を作成し、極値を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{5}{12}\pi\end{align*}}$ のとき、和$\small\sf{\begin{align*}\sf \sin x +\cos x\end{align*}}$ と積$\small\sf{\begin{align*}\sf \sin x \cos x\end{align*}}$ の値をそれぞれ求めよ。
(３) 次の不等式(ⅰ)、(ⅱ)がそれぞれ成り立つことを証明せよ。また、
等号がいつ成立するか。それぞれ調べよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left( i\right)\ \ f\ (x)\geqq\sin x\left(1+\sqrt2+\cos x \right)\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \pi \right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left( ii\right)\ \ \left(\sin x+\cos x \right)\left(\frac{7}{4}-\sin x\cos x \right)\leqq\left(\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}}\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\cos x+2\sin x\cos x=\cos x\left(2\sin x+1 \right)\end{align*}}$
なので、f(x)の増減表は次のようになる。
これより f(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で、極大値 3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ で、極大値 1
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{7}{6}\pi\ ,\ \frac{11}{6}\pi\end{align*}}$ で、極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{4}\end{align*}}$
をとる。
(２)
三角関数を合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{5}{12}\pi+\cos\frac{5}{12}\pi=\sqrt2\sin\left( \frac{5}{12}\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\frac{2}{3}\pi=\underline{\ \frac{\sqrt6}{2}\ }\end{align*}}$ ．
また、sinの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{5}{12}\pi\cos\frac{5}{12}\pi=\frac{1}{2}\sin\frac{5}{6}\pi=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(３)(ⅰ)
区間0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ で、関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=f\ (x)-\sin x\left(1+\sqrt2+\cos x \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1+\sin^2x-\sqrt2\sin x-\sin x\cos x\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=2\sin x\cos x-\sqrt2 \cos x-\cos ^2x+\sin^2x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt2\cos x\left(\sqrt2\sin x-1\right)+2\sin^2x-1\ \ \ \ \left(\because\ \sin^2x\cos^2x=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt2\cos x\left(\sqrt2\sin x-1\right)+\left(\sqrt2\sin x-1\right)\left(\sqrt2\sin x+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\sqrt2\sin x-1\right)\left(\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\sqrt2\sin x-1\right)\left\{2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1\right\}\end{align*}}$
となり、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin x=\frac{1}{\sqrt2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4}=\frac{7}{6}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{11}{12}\pi\end{align*}}$ ．
よって、g(x)の増減は次のようになる。
ここで、加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{11}{12}\pi=\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\frac{11}{12}\pi=\cos\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(\frac{11}{12}\pi\right)=1+\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2-\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3}{4}\left(3-\sqrt3\right)>0\end{align*}}$ ．
よって、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ で常にg(x)≧0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)\geqq\sin x\left(1+\sqrt2+\cos x \right)\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \pi \right)\end{align*}}$
が成り立つ。等号成立は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき。
(３)(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq t\leqq\sqrt2\end{align*}}$となる。
与式の左辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\sin x+\cos x \right)\left(\frac{7}{4}-\sin x\cos x \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\sin x+\cos x \right)\left(\frac{7}{4}-\frac{\left(\sin x+\cos x\right)^2-\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)}{2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =t\left(\frac{7}{4}-\frac{t^2-1}{2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{1}{2}t^3+\frac{9}{4}t\end{align*}}$
と変形できる。これをh(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(t)=-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{4}=-\frac{3}{2}\left(t^2-\frac{3}{2} \right)\end{align*}}$
となるので、h(t)の増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (t)\leqq h\left( \sqrt{\frac{3}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3+\frac{9}{4}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left( \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\sin x+\cos x \right)\left(\frac{7}{4}-\sin x\cos x \right)\leqq\left(\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
が成り立つ。
また、等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\pi\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{12}\ ,\ \frac{5}{12}\pi\ }\end{align*}}$
ボリュームたっぷりですが、三角関数のいろいろな公式を駆使してください。
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第２問
24時間診療業務を休みなく行う病院において、40日間で1万個
使用される医療材料Aについて考える。Aの使用頻度は常に一定
であり、1日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする。
さて、病院における在庫管理では、「品切れ」が起きないこと、
「コスト」をできるだけ低くすること、この2つが肝要である。医療
材料Aの保管費は、その保管期間に比例し、1個につき10日間で
1円である。また、納入業者にAを注文すれば、注文量の多少に
関わらず、品物が届いた時点で200円の事務費がかかる。なお、
担当者はAの在庫量yの時間的推移を把握しており、品切れにな
る直前という最適のタイミングで、注文した量が届くものとする。
われわれは、保管費と事務費の和Sを最小にするような注文の
仕方を求める。以下の問いに答えよ。
(１) Aの在庫は最初1万個あったとする。そして注文する量は毎回
一定として、xで表す。このとき、時間tによる在庫量yの変化を
表すグラフを、横軸を時間のt軸とする座標平面上に図示せよ。
（図示する際には、適当なxの値を自ら設定すること。）
以下、1回目の注文によって品物の届く時点以降のyの変化に
ついて考察する。
(２) 周期的なyの変動に留意して、平均在庫量を求めよ。
(３) 長期にわたる保管費、事務費の総額をそれぞれ見積もり、
保管費と事務費の和Sの「1日当たりの平均コスト」を求めよ。
さらに、この1日当たりの平均コストを最小にするようなxの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1日あたり $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{10000}{40}=250\end{align*}}$ 個消費するので、
時間ｔと在庫量yの関係は下図のようなグラフになる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 40\leqq t<40+\frac{x}{250}\end{align*}}$ において、在庫量yは一定の速さで減少
していくので、平均の在庫量は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{x}{2}\ }\end{align*}}$ 個である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 40\leqq t<40+\frac{x}{250}\end{align*}}$ の間にかかる費用
保管費は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{250}\cdot\frac{1}{10}=\frac{x^2}{5000}\end{align*}}$ 円
事務費は、200円
よって、1日当たりの平均コストをTとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T=\frac{\frac{x^2}{5000}+200}{\frac{x}{250}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =250\left( \frac{x}{5000}+\frac{200}{x}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \geqq 250\cdot 2\sqrt{\frac{x}{5000}\cdot\frac{200}{x}}\end{align*}}$ ←相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =500\sqrt{\frac{1}{25}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =100\end{align*}}$
となる。
Tが最小になるのは、相加・相乗平均の等号が成立するとき
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{5000}=\frac{200}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1000000\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=1000\ }\end{align*}}$
問題文が長くてイヤになります（笑）
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第３問
nは自然数を表すとして、以下の問いに答えよ。
(１) 平面を次の条件を満たすn個の直線によって分割する。
【どの直線も他のすべての直線と交わり、どの3つの直線も
1点で交わらない。】
このようなn個の直線によって作られる領域の個数をL(n)と
すると、L(1)＝2、L(2)＝4は容易にわかる。次の問いに
答えよ。
(ⅰ) L(3)、L(4)、L(5)をそれぞれ求めよ。
(ⅱ) L(n)の漸化式を求めよ。
(ⅲ) L(n) を求めよ。
(２) 平面を次の条件を満たすn個の円によって分割する。
【どの円も他のすべての円と2点で交わり、どの3つの円も
1点で交わらない。】
このようなn個の円によって作られる領域の個数をD(n)と
すると、D(1)＝2は容易にわかる。次の問いに答えよ。
(ⅰ) D(2)、D(3)、D(4)をそれぞれ求めよ。
(ⅱ) D(n)の漸化式を求めよ。
(ⅲ) D(n)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ⅰ)
上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ L(3)=7\ \ ,\ \ L(4)=11\ \ ,\ \ L(5)=16\ }\end{align*}}$
(ⅱ)
条件に従ってn本の直線（a1～anとする）を引き、
L(n)個の領域が作られている状態に、n＋1本目の
直線(an+1とする)を引く場合を考える。
an+1は、a1～anとそれぞれ1つずつ交点を持つので、
これらn個の交点によって、an+1は2本の半直線と
n－1本の線分に分割される。
新しくできた半直線と線分によって、領域がさらに
n＋1個増えることになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ L(n+1)=L(n)+n+1\ }\end{align*}}$
(ⅲ)
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L(n)=L(1)+\sum_{k=1}^{n-1}\left(k+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2+\frac{1}{2}\left(n-1 \right)n+\left(n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1\ }\end{align*}}$ ．
この式はn＝1の時も成り立つ。
(２)
(ⅰ)
上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ D(2)=4\ \ ,\ \ D(3)=8\ \ ,\ \ D(4)=14\ }\end{align*}}$
(ⅱ)
条件に従ってn個の円（b1～bnとする）を描き、
D(n)個の領域が作られている状態に、n＋1個目の
円(bn+1とする)を描く場合を考える。
bn+1は、b1～bnとそれぞれ2つずつ交点を持つので、
これら2n個の交点によって、bn+1は2n個の弧に分割
される。
新しくできた弧によって、領域がさらに2n個増える
ことになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ D(n+1)=D(n)+2n\ }\end{align*}}$
(ⅲ)
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D(n)=D(1)+\sum_{k=1}^{n-1}2k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2+\frac{2}{2}\left(n-1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ n^2-n+2\ }\end{align*}}$ ．
この式はn＝1の時も成り立つ。 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \end{align*}}$
どちらも超のつく有名題です。
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第４問
1個のさいころを3回投げる。1回目、2回目、3回目に出る目の数
をそれぞれX1、X2、X3として、3つの確率変数
Y＝4X1＋X2、 Z1＝2X1＋3X2、 Z2＝2X1＋3X3
を定める。1から6までの目は等確率で出るものとするとき、以下の
問いに答えよ。
(１) 数の集合U＝{x|xは整数かつ5≦x≦30} を全体集合として、
S＝{x|x∈U かつ P(Y＝x)＞$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{36}\end{align*}}$ }
T＝{x|x∈U かつ P(Z1＝x)＞$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{36}\end{align*}}$ }
を定める。部分集合SとTの要素をそれぞれ列挙せよ。
(２) Yの値がSに属するという事象をAとし、i＝1，2に対してZiの値が
Tに属するという事象をBiとする。次の問いに答えよ。
(ⅰ) i＝1，2に対し、等式 P(A∩Bi)＝P(A)P(Bi) が成り立つか
どうか、それぞれ調べよ。
(ⅱ) 条件つき確率PA(B1∩B2)の定義式をかき，その値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
下表は、Y、Z1およびZ2の値を整理したものである。
よって、集合S、Tの要素は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\{9, 10,13,14,17,18,21,22,25,26\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T=\{11,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,24\}\end{align*}}$
である。
(２)(ⅰ)
【i＝1の場合】
事象Aを満たすのは、表１で緑色の部分なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)=\frac{20}{6^2}=\frac{5}{9}\end{align*}}$
事象B1を満たすのは、表２でピンク色の部分なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B_1)=\frac{24}{6^2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
事象A∩B1を満たすのは、表１、２で緑とピンクが
重なる部分、すなわち、表１の赤線で囲った部分なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B_1)=\frac{12}{6^2}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B_1)\ne P(A)\ P(B_1)\end{align*}}$
【i＝2の場合】
i＝1の場合と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)=\frac{5}{9}\ \ ,\ \ P(B_2)=\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
事象A∩B2を満たすのは、表１で緑色、表３で黄色
になる部分である。
・X1＝1のとき
X2の値は5または6の2通り、
X3の値は3，4，5，6の4通り考えられるので、
(X2，X3)の組は、2×4＝8通り
・X1＝2のとき
X2の値は1，2，5，6の4通り、
X3の値は3，4，5，6の4通り考えられるので、
(X2，X3)の組は、4×4＝16通り
以下、同様に
・X1＝3，4，5のとき、それぞれ16通り
・X1＝6のとき、8通り
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B_2)=\frac{8+16+16+16+16+8}{6^3}=\frac{10}{27}\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B_2)=P(A)\ P(B_2)\end{align*}}$ が成り立つ。
(２)(ⅱ)
事象A∩(B1∩B2)が起こるのは、
・X1＝1，2，3のとき
X2の値は5または6の2通り、
X3の値は3，4，5，6の4通り考えられるので、
(X1，X2，X3)の組は、3×2×4＝24通り
・X1＝4，5，6のとき
X2の値は1または2の2通り、
X3の値は1，2，3，4の4通り考えられるので、
(X1，X2，X3)の組は、3×2×4＝24通り
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_A\left(B_1\cap B_2 \right)=\frac{P\left(A\cap (B_1\cap B_2) \right)}{P(A)}=\frac{\frac{24+24}{6^3}}{\frac{20}{6^2}}=\underline{\ \frac{2}{5}\ }\end{align*}}$
表に整理して書くと、あとは数えるだけです。
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