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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  aを実数とし、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=ax^2+e^{-x^2}\end{align*}}$
  について考える。必要ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ te^{-t}=0\end{align*}}$ を用いてよい。

 (1) a=0のとき、f(x)はx=± ア  で変曲点をもつ。

 (2) a=0のとき、f”(x)はx= イ  で最小値 ウ  をとり、
    x= エ  で最大値 オ  をとる。

 (3) 0<a< カ  のとき、f(x)は異なる2つのx=± キ 
    最小値 ク  をとる。

 (4) f(x)は ケ  <a<0のとき変曲点を コ  個もち、
    0≦a< サ  のとき変曲点を シ  個もち、それ以外の
    ときは変曲点をもたない。




2015立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  座標空間において原点をOとし、3点
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(1\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ B\left(0\ ,\ 0\ ,\ 1 \right)\ \ ,\ \ C\left(1\ ,\ 0\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
   を考える。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}+s\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を位置ベクトルにもつ点をPとし、
   $\small\sf{\begin{align*} \sf t\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ を位置ベクトルにもつ点をQとする。s、tが実数全体を
   動くとき、点P、Qはそれぞれ直線BC、直線OA上を動く。

 (1) 2点P、Q間の距離はs、tを用いて表すと ス  である。
    s1を実数とし、s=s1のときの点PをP1とすると、点Qが
    点P1に最も近づくのは t= セ  s1+ ソ  のときで
    ある。このときの点QをQ1、tをt1とする。
   さらに、点Pが点Q1に最も近づくのは s= タ 1+ チ 
    のときである。

 (2) さらに、m≧2のとき、sm、tm
        sm= タ  tm-1+ チ 
        tm= セ  sm+ ソ 
    と定める。数列{sm}の一般項はs1を用いて表すと、
        sm= ツ 
   であり、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ s_m\end{align*}}$ = テ  、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ t_m\end{align*}}$ = ト 
    となる。

 (3) s= テ  、t= ト  のときの点P、QをそれぞれP
    Qとする。このとき、任意のs、tについて
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\infty}Q_{\infty}}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ナ 
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\infty}Q_{\infty}}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ = ニ 
    が成り立つ。



2015立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

   -1<x<1で定義された関数ft(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f_t(x)=\frac{tx-1}{x-t}\end{align*}}$
   と定める。ただしt>1とする。
   ft(x)の値域は ヌ  <ft(x)< ネ  である。
   また、
         ft(ft(x))= ノ 
   であり、実数sでs≠t、s<1を満たすものについて
         g(x)=fs(ft(x))
   とおくと、
         図07図08
   とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1-R^n}{1+R^n}\right)\end{align*}}$ をRを用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1-R^n}{1+R^n}\right)\end{align*}}$ = ヘ 
   である。ただしnは自然数とする。

   数列{an}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1-R}{1+R}\ \ , \ \ a_{n+1}=g\left(a_n \right)\ \ \ \left(n\geqq 1 \right)\end{align*}}$
   と定めると、s<tのとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ = ホ 
   であり、s>tのとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ = マ 
   である。


2015立命館大 理系(2月3日) 数学4



第4問

   2個のサイコロを投げて出た目をそれぞれm、nとする。3次関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-\frac{3}{m^2}\ x+\frac{n}{m^3}\end{align*}}$
   について考える。

 (1) f(x)はx=図10 で極大値 ム  をとる。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left( -\frac{k}{m}\right)<0\end{align*}}$
    がどんなnに対しても成り立つような最小の自然数kは メ 
    ある。したがって、xについての3次方程式f(x)=0の解が
        図09
    の範囲に少なくとも一つ存在する。また、m= モ  のとき、
    この範囲に整数が存在する。

 (2) f(x)の極大値が整数となる確率は ヤ  である。

 (3) xについての3次方程式f(x)=0が相異なる3つの実数解をもつ
    確率は ユ  であり、2重解をもつ確率は ヨ  である。

 (4) f(x)=0が整数解をもつ確率は ラ  である。