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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  Oを原点とする座標平面上に点P(2cost,sint)から直線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf ax+\sqrt{1-a^2}\ y=0\end{align*}}$
  におろした垂線の足をHとする。ただし、-1≦a≦1とする。
  
  線分PHの長さhは
        h=| ア  cost+ イ  sint|
  である。
   tが0≦t≦2$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くとき、点Pの座標が
  (± ウ  ,± エ  ) (複号同順)のときhは最大値 オ 
  をとる。このときの∠OPHを$\small\sf{\theta}$ 0とする。cos$\small\sf{\theta}$ 0はaを用いて表すと、
        cos$\small\sf{\theta}$ 0= カ 
  である。
   関数f(a)= カ  は定義域-1≦a≦1において、a= キ 
  のとき最小値 ク  をとり、a= ケ  のとき最大値 コ  をとる。



2015立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  y=f(x)をy=sinx (0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )の逆関数とする。

 (1) f(x)の定義域は サ  ≦x< シ  であり、f’(x)= ス 
    である。部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f(x)\ dx=x\ f(x)-\int x\ f\ '(x)\ dx=x\ f(x)+\end{align*}}$  セ  +C
    を得る。ただし、Cは積分定数とする。

 (2)  サ  ≦x< シ  を満たすxについての関数g(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x f\ (x)\ dx\end{align*}}$
    と定める。このとき、
        g(x)=xf(x)+ セ 
   であり、とくに $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ = タ  である。また、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$  ソ  dx= チ 
    である。以上の結果と部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx\end{align*}}$ = ツ 
    である。
    ( ス  セ  ソ  はxを用いて答えよ。)



2015立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  2つの数列{an}、{bn}に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\left(a_k \right)^2\ \ ,\ \ T_n=\sum_{k=1}^n\left( b_k\right)^2\ \ ,\ \ U_n=\sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$
  とおく。

 (1) an=2n、 bn=rn (r>1)のとき、Sn= テ  であり、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}\end{align*}}$ = ト 
    である。この右辺は、r= ナ  、のとき、最大値 ニ  をとる。

 (2) an=2n、 bn=n+1のとき、Tn= ヌ  、Un= ネ  である。
    また、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}\end{align*}}$ = ノ 
    である。




2015立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  1個のサイコロを投げる試行により、点Aが数直線上を動く。
  点Aは始め原点にあり、3以上の目が出たら正の方向に1移動し、
  1、2の目が出たら負の方向に1移動する。

 (1) 3回目の試行で点Aの座標が1となる確率は ハ  である。
    また、3回目の試行で点Aの座標が1となり、かつ6回目の試
    行で点Aが原点にある確率は ヒ  である。

 (2) n-1回までの試行では点Aの座標が4より小さく、n回目の
    試行で点Aの座標が初めて4になる確率をP(n)とする。
    このとき、P(6)= フ  であり、P(8)= ヘ  である。
    また、8回までの試行で点Aの座標が少なくとも1回4となる
    確率は ホ  である。

 (3) 100回目の試行で点Aの座標がmとなる確率をQ(m)とする。
    -50≦k<50を満たす整数kに対して、Q(2K+1)= マ 
    であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}\end{align*}}$ = ミ  である。よって、Q(m)は
    m= ム  において最大値をとる。