青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2015(2/2)

2015立命館大　理系（2月2日）　数学１

第1問

　　Oを原点とする座標平面上に点P(2cost，sint)から直線
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf ax+\sqrt{1-a^2}\ y=0\end{align*}}$
　　におろした垂線の足をHとする。ただし、－1≦a≦1とする。
　　
　　線分PHの長さｈは
　　　　　　　　h=|　ア　 cost+　イ　 sint|
　　である。
　　　tが0≦t≦2$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くとき、点Pの座標が
　　(±　ウ　，±　エ　 )　（複号同順）のときhは最大値　オ　
　　をとる。このときの∠OPHを$\small\sf{\theta}$ ₀とする。cos$\small\sf{\theta}$ ₀はaを用いて表すと、
　　　　　　　　cos$\small\sf{\theta}$ ₀=　カ　
　　である。
　　　関数f(a)=　カ　は定義域－1≦a≦1において、a=　キ　
　　のとき最小値　ク　をとり、a=　ケ　のとき最大値　コ　をとる。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 2a　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-a^2}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$　

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+3a^2}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\frac{1}{\sqrt{5}}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\end{align*}}$

　　ケ 0、±1　　　　コ 1　　　　

【解説】

　　　点と直線の距離の公式より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{\left| 2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\ \sin t\right|}{\sqrt{a^2+\left(\sqrt{1-a^2} \right)^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left| 2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\ \sin t\right|\ }\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( 2a\right)^2+\left(\sqrt{1-a^2} \right)^2}=\sqrt{1+3a^2}\end{align*}}$
　　　なので、hは加法定理を用いて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\sqrt{1+3a^2}\left| \frac{2a}{\sqrt{1+3a^2}}\cos t+\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\sin t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+3a^2}\left| \sin A\cos t+\cos A\sin t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+3a^2}\left| \sin \left(t+A \right)\right|\end{align*}}$　　……(#)
　　　と変形できる。ただし、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin A=\frac{2a}{\sqrt{1+3a^2}}\ \ ,\ \ \cos A=\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$
　　　とする。
　　　hが最大になるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin \left(t+A \right)=\pm 1\ \ \Leftrightarrow\ \ t+A=\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi\end{align*}}$　　（n：整数）
　　　のときなので、このときのPのx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\left(-A\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\pm2\sin A=\underline{\ \pm\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\ }\end{align*}}$
　　　Pのy座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(-A\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\pm\cos A=\underline{\ \pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\ }\end{align*}}$
　　　hの最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_{max}=\underline{\ \sqrt{1+3a^2}\ }\end{align*}}$
　　　である。

　　　また、∠PHO=90°なので
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_0=\frac{PH}{OH}=\frac{\sqrt{1+3a^2}}{\sqrt{\left( \pm\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\right)^2+\left( \pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\right)^2}}=\underline{\ \frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}}\ }\end{align*}}$

　　　これをf(a)とおくと、導関数は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=\frac{6a\sqrt{1+15a^2}-\left(1+3a^2 \right)\cdot\frac{30a}{2\sqrt{1+15a^2}}}{\left(\sqrt{1+15a^2}\right)^2}=\frac{9a\left(5a^2-1 \right)}{\left( \sqrt{1+15a^2}\right)^3}\end{align*}}$
　　　となり、f(a)の増減は次のようになる。

　　　　

　　　よって、f(a)は
　　　　　　　　a=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt5}\ }\end{align*}}$ のとき最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　a=0，±1 のとき最大 1

　　一問目からグチャっとしてますねぇ・・・　　

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2018/12/04(火) 01:05:00|

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2015立命館大　理系（2月2日）　数学２

第2問

　　y=f(x)をy=sinx （0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の逆関数とする。

　(1) f(x)の定義域は　サ　 ≦x＜　シ　であり、f’(x)=　ス　
　　　である。部分積分法を用いると、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \int f(x)\ dx=x\ f(x)-\int x\ f\ '(x)\ dx=x\ f(x)+\end{align*}}$ 　セ　 +C
　　　を得る。ただし、Cは積分定数とする。

　(2) 　サ　 ≦x＜　シ　を満たすxについての関数g(x)を
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x f\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　と定める。このとき、
　　　　　　　　g(x)=xf(x)+　セ　
　　　であり、とくに $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ =　タ　である。また、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$ 　ソ　 dx=　チ　
　　　である。以上の結果と部分積分法を用いると、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx\end{align*}}$ =　ツ　
　　　である。
　　　　（　ス　、　セ　、　ソ　はxを用いて答えよ。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　サ 0　　　　シ 1　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-x^2}\end{align*}}$　

　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-x^2}-1\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\end{align*}}$　　　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac{1}{2}\end{align*}}$

　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{16}+\frac{3\sqrt3}{16}-\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)
　　　　y=sinx （0≦x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の値域は0≦y＜1なので、
　　　　f(x)の定義域は、0≦x＜1である。
　　　　また、x=sinyに対して
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ }\end{align*}}$ ．
　　　　これより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x\ f\ '(x)dx=\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx\end{align*}}$
　　　　に対して、t=1－x²と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-2x\end{align*}}$
　　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x\ f\ '(x)dx=\int\frac{x}{\sqrt{t}}\cdot\frac{dt}{-2x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\int\ t^{-\frac{1}{2}}dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}}+C\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{1-x^2}+C\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int f(x)dx=x\ f(x)+\underline{\ \sqrt{1-x^2}}+C\end{align*}}$　　……セ

　(2)
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x f(t)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[ t\ f(t)+ \sqrt{1-t^2}\bigg]_0^x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ f(x)+ \underline{\ \sqrt{1-x^2}-1\ }\end{align*}}$　　……ソ
　　　これと $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6}+\sqrt{1-\left( \frac{1}{2}\right)^2}-1=\underline{\ \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\ }\end{align*}}$　　……タ

　　　また、 x=sin$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1-x^2} -1\right)dx=\int_0^{\pi /6}\sqrt{1-\sin^2\theta}\cdot \cos\theta\ d\theta-\int_0^{\frac{1}{2}}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /6}\cos^2\theta\ d\theta-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\pi /6}\left(1+\cos 2\theta\right) d\theta-\frac{1}{2}\end{align*}}$　　←半角公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\pi /6}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$　……チ

　　　部分積分法より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx=\bigg[ x\ g(x)\bigg]_0^{\frac{1}{2}}-\int_0^{\frac{1}{2}}x\ g\ '(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}g\left( \frac{1}{2}\right)-\int_0^{\frac{1}{2}}x\ f(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}g\left( \frac{1}{2}\right)-\int_0^{\frac{1}{2}}\left\{g(x)-\left(\sqrt{1-x^2}-1 \right)\right\}dx\end{align*}}$　　←ソの式より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx=\frac{1}{2}g\left( \frac{1}{2}\right)+\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1-x^2}-1 \right)dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx=\frac{1}{4}g\left( \frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1-x^2}-1 \right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left( \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac{1}{2} \right)\end{align*}}$　　←タ、チより
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{16}+\frac{3\sqrt3}{16}-\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$　　……ツ

　　これまたグチャっとした問題ですね・・・・・＾＾；；　　

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2018/12/04(火) 01:06:00|

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2015立命館大　理系（2月2日）　数学３

第3問

　　2つの数列{a_n}、{b_n}に対して
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\left(a_k \right)^2\ \ ,\ \ T_n=\sum_{k=1}^n\left( b_k\right)^2\ \ ,\ \ U_n=\sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$
　　とおく。

　(1) a_n=2ⁿ、 b_n=rⁿ （r＞1）のとき、S_n=　テ　であり、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}\end{align*}}$ =　ト　
　　　である。この右辺は、r=　ナ　、のとき、最大値　ニ　をとる。

　(2) a_n=2ⁿ、 b_n=n+1のとき、T_n=　ヌ　、U_n=　ネ　である。
　　　また、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}\end{align*}}$ =　ノ　
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\left(4^n-1 \right)\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\left(r^2-1 \right)}{\left(2r-1 \right)^2}\end{align*}}$　　　　ナ 2　　　　ニ 1

　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}n\left(2n^2+9n+13 \right)\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\cdot 2^{n+1}\end{align*}}$　　　　ノ 9　　　　

【解説】

　(1)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\left( 2^n\right)^2=\sum_{k=1}^n4^n=\frac{4\left( 4^n-1\right)}{4-1}=\underline{\ \frac{4}{3}\left(4^n-1 \right)\ }\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n\left( r^n\right)^2=\sum_{k=1}^n r^{2n}=\frac{r^2\left( r^{2n}-1\right)}{r^2-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_n=\sum_{k=1}^n 2^n\cdot r^n=\sum_{k=1}^n \left( 2r\right)^{n}=\frac{2r\left\{\left( 2r\right)^{n}-1\right\}}{2r-1}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left[ \frac{2r\left\{\left( 2r\right)^{n}-1\right\}}{2r-1}\right]^2}{\frac{4}{3}\left(4^n-1 \right)\cdot\frac{r^2\left( r^{2n}-1\right)}{r^2-1}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12r^2\left(r^2-1 \right)}{4r^2\left(2r-1 \right)^2}\cdot\frac{\left\{ \left(2r \right)^n-1\right\}^2}{\left(4^n-1 \right)\left(r^{2n}-1 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\left(r^2-1 \right)}{\left(2r-1 \right)^2}\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\{ 1-\frac{1}{\left(2r \right)^2}\right\}^2}{\left(1-\frac{1}{4^n} \right)\left(1-\frac{1}{r^{2n}} \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3\left(r^2-1 \right)}{\left(2r-1 \right)^2}\ }\end{align*}}$　　……ト
　　　トの式をf(r)とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(r)=3\cdot\frac{2r\left(2r-1 \right)^2-\left(r^2-1 \right)\cdot 2\left(2r-1 \right)\cdot 2}{\left(2r-1 \right)^4}=-\frac{6\left( r-2\right)}{\left(2r-1 \right)^3}\end{align*}}$
　　　となるので、f(r)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　よって、r=2のとき、f(r)は最大値1をとる。

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n\left(k^2+2k+1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}n\left(n+1 \right)\left(2n+1 \right)+\frac{2}{2}n\left( n+1\right)+n\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}n\left(2n^2+9n+13 \right)\ }\end{align*}}$
　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_n=\sum_{k=1}^n\left( k+1\right)2^k=2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+\ldots +\left(n+1 \right)\cdot 2^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2U_n=2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\ldots +n\cdot 2^n+\left(n+1 \right)\cdot 2^{n+1}\end{align*}}$
　　　これら2式を辺々引くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -U_n=2\cdot 2^1+2^2+2^3+2^4+\ldots +2^n-\left(n+1 \right)\cdot 2^{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\left(2+2^2+2^3+\ldots +2^n \right)-\left(n+1 \right)\cdot 2^{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\frac{2\left(2^n-1 \right)}{2-1}-\left(n+1 \right)\cdot 2^{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n\cdot 2^{n+1}\ }\end{align*}}$

　　　これらより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot\frac{\left( U_n\right)^2}{S_nT_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left( n\cdot 2^{n+1}\right)^2}{\frac{4}{3}\left(4^n-1 \right)\cdot\frac{1}{6}n\left(2n^2+9n+13 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\cdot 4^{n+1}}{\left(4^n-1 \right)\left(2n^2+9n+13 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =18\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{4^n} \right)\left(2+\frac{9}{n}+\frac{13}{n^2} \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 9\ }\end{align*}}$

　　これまた面倒な問題ですね。　　

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2018/12/04(火) 01:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2015(2/2)

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2015立命館大　理系（2月2日）　数学４

第4問

　　1個のサイコロを投げる試行により、点Aが数直線上を動く。
　　点Aは始め原点にあり、3以上の目が出たら正の方向に1移動し、
　　1、2の目が出たら負の方向に1移動する。

　(1) 3回目の試行で点Aの座標が1となる確率は　ハ　である。
　　　また、3回目の試行で点Aの座標が1となり、かつ6回目の試
　　　行で点Aが原点にある確率は　ヒ　である。

　(2) n－1回までの試行では点Aの座標が4より小さく、n回目の
　　　試行で点Aの座標が初めて4になる確率をP(n)とする。
　　　このとき、P(6)=　フ　であり、P(8)=　ヘ　である。
　　　また、8回までの試行で点Aの座標が少なくとも1回4となる
　　　確率は　ホ　である。

　(3) 100回目の試行で点Aの座標がmとなる確率をQ(m)とする。
　　　－50≦k＜50を満たす整数kに対して、Q(2K+1)=　マ　
　　　であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}\end{align*}}$ =　ミ　である。よって、Q(m)は
　　　 m=　ム　において最大値をとる。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{9}\end{align*}}$　　　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{81}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{128}{729}\end{align*}}$　　　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{896}{6561}\end{align*}}$　　　　ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3344}{6561}\end{align*}}$　　　　

　　マ 0　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\left(50-k \right)}{51+k}\end{align*}}$　　　　ム 34

【解説】

　　　　　以下、右へ1移動することを→、左へ1移動することを←の
　　　　　記号で表すことにする。

　　ハ
　　　　3回のうち、→2回と←1回　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3!}{2!}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{4}{9}\ }\end{align*}}$

　　ヒ
　　　　1～3回目はハと同じ。4～6回目に ←2回と→1回
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{9}\cdot\frac{3!}{2!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{8}{81}\ }\end{align*}}$

　　フ
　　　　5、6回目はどちらも→。1～4回目に、→3回と←1回
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(6)=\frac{4!}{3!}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{128}{729}\ }\end{align*}}$

　　ヘ
　　　　7、8回目はどちらも→
　　　　1～6回目に、→4回と←2回（ただし、→→→→←←はダメ）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(8)=\left(\frac{6!}{4!\ 2!}-1\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{896}{6561}\ }\end{align*}}$

　　ホ
　　　　点Aの座標が初めて4になるのは、4回目、6回目、8回目、・・・
　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(4)=\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81}\end{align*}}$ ．
　　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(4)+P(6)+P(8)=\frac{16}{81}+\frac{128}{729}+\frac{896}{6561}=\underline{\ \frac{3344}{6561}\ }\end{align*}}$

　　マ
　　　　偶数回の試行で、Aの座標が奇数になることはないので、
　　　　　　　　　　Q(2k+1)=0

　　ミ
　　　　100回のうち→がx回、←が100－x回だとすると、
　　　　Aの座標が2kになるとき
　　　　　　　　x－(100－x)=2k　 ⇔　x=50+k．
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)=\frac{100!}{\left(50+k \right)!\ \left(50-k \right)!}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{50+k}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{50-k}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k+2 \right)=\frac{100!}{\left(51+k \right)!\ \left(49-k \right)!}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{51+k}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{49-k}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}=\frac{\left(50+k \right)!\ \left(50-k \right)!}{\left(51+k \right)!\ \left(49-k \right)!}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\left(50-k \right)}{51+k}\ }\end{align*}}$

　　ム
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)\lt Q\left(2k+2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}=\frac{2\left(50-k \right)}{51+k}>1\ \ \Leftrightarrow\ \ k<\frac{49}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)>Q\left(2k+2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ k>\frac{49}{3}\end{align*}}$
　　　　より、　　　　　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q(-100)\lt Q(-98)<\ldots \lt Q(32)\lt Q(34)>Q(36)>\ldots >Q(100)\end{align*}}$
　　　　となるので、m=34のときQ(m)は最大となる。

　　雑な解説でスミマセンm(_ _)m　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/12/04(火) 01:08:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2015(2/2)

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