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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015関西学院大 理系(個別日程) 数学1


第1問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) 3つの定積分
      $\small\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^2\sqrt{4-x^2}dx\ \ ,\ \ J=\int_0^2\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx\ \ ,\ \ k=\int_0^2\frac{4+x-x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx\end{align*}}$
    の値を求めると、I= ア  、J= イ  、K= ウ  となる。

 (2) 数列{an}は、 
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3}\ \ \ \left(n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots \right)\end{align*}}$
    によって定義されている。$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{a_n}\end{align*}}$ とおくと、数列{bn+1}は
    初項 エ  、公比 オ  の等比数列になるから、数列{an}
    の一般項をnの式で表すと、an= カ  である。

 (3)    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2x^3-7x^2+11x-16}{x\left(x-2 \right)^3}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{\left(x-2 \right)^2}+\frac{d}{\left(x-2 \right)^3}\end{align*}}$
    がxについての恒等式となるように定数a、b、c、dを定めると、
    a= キ  、b= ク  、c= ケ  、d= コ  である。



2015関西学院大 理系(個別日程) 数学2



第2問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
  ただし、答えがnの多項式を因数として含む場合は、それを可能
  な限り因数分解した形で書け。
  [例]
       $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^2+3n+2}{5}\left( \frac{1}{9}\right)^n\end{align*}}$ のことは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left( n+1\right)\left(n+2 \right)}{5}\left( \frac{1}{9}\right)^n\end{align*}}$ あるいは
       $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)}{5}\left( \frac{1}{3}\right)^{2n}\end{align*}}$ と書け。

 
  0から3までの数字が一つずつ書かれた4枚のカードから1枚取り
  出して元に戻すという試行をn回行う。取り出したn枚に書かれて
  いた数の和をSnとし、Sn≦3となる確率をPnとする。
  P1= ア  、P2= イ  である。
  n≧3のときは、Sn=0、1、2、3に場合分けして考えよう。

  Sn=0となる確率は ウ  である。

  Sn=1となるのは0がn-1回、1が1回出る場合だから、その確率
  は エ  である。

  Sn=2となる場合をさらに2つに分けて考える。0がn-1回出て
  Sn=2となる確率は エ  に等しく、0がn-2回出てSn=2となる
  確率は オ  である。合計して、Sn=2となる確率は カ  である。

  Sn=3となる場合をさらに3つに分けて考える。0がn-1回出て
  Sn=3となる確率は エ  に等しく、0がn-2回出てSn=3となる
  確率は キ  、0がn-3回出てSn=3となる確率は ク  である。
  合計して、Sn=3となる確率は ケ  である。

  Sn=0、1、2、3の場合をまとめて、Pn= コ  となる。この式は
  n≧3に限らずn=1、2でも成り立つ。




2015関西学院大 理系(個別日程) 数学3



第3問

   次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
   ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

   四角形OABCは次の2つの条件をみたすものとする:
      ・辺OAと辺CBは平行でOA=1、CB=3である。
      ・△OACの面積は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ である。
   0<t<1を満たす定数tに対して、線分ACをt:(1-t)に内分する
   点をP、直線OPと直線CBの交点をQとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=x\end{align*}}$
   とおく。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ t\end{align*}}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ = ア  、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = イ  、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ = ウ 
   である。
   また、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$ はxを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$ = エ  と表せる。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ はxとtを
   用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = オ  と表せる。
   QがBに一致するとき、t= カ  である。また、点Qが線分CBを
   4:1に外分するとき、t= キ  である。tがこの値をとり、しかも
   $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$が直交するならば、x= ク  >0またはx= ケ  <0
   であり、さらに∠AOCが鈍角ならば、cos∠AOC= コ  である。



2015関西学院大 理系(個別日程) 数学4



第4問

  aを実数の定数とするとき、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+1 \right)e^{-ax^2}\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) 曲線y=f(x)上の点(1,f(1))における接線が原点を通るとき、
    aの値を求めよ。

 (2) f(x)がx=1で極値をとるようなaの値を求めよ。また、このとき
    f(x)の極値をすべて求めよ。

 (3) f(x)が極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{f\ (x)}\end{align*}}$ が極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/08(土) 01:04:00|
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