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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015関西学院大 理系(全学部日程) 数学1


第1問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\end{align*}}$ の導関数は f’(x)= ア  であり、第2次
    導関数はf”(x)= イ  である。曲線y=f(x)の変曲点
    における接線の傾きは ウ  である。

 (2) 三角形ABCの重心をGとし、辺ACの中点をMとする。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf GB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GC}"\ ,\ \overrightarrow{\sf AM}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表すと、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GC}\end{align*}}$ = エ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AM}\end{align*}}$ = オ  となる。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ ,\end{align*}}$
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{3}\end{align*}}$ とすると、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|\end{align*}}$ = カ  である。

 (3) 3次方程式x3+8=0の解は、-2, キ  ± ク  iで
    ある。複素数$\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\alpha}$ = $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ( キ  + ク  i)とおくと、
    $\small\sf{\alpha}$ 2-$\small\sf{\alpha}$ + ケ  =0であり、$\small\sf{\alpha}$ 999= コ  となる。



2015関西学院大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

   次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
   ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

   関数f(x)と定数aに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-a}^af\ (x)\ dx\end{align*}}$
   とおく。さらに、f(x)は偶関数とする。すなわち、任意のxに対して
   f(-x)=f(x)が成り立つとする。このとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-a}^axf\ (x)\ dx=\end{align*}}$  ア 
   である。定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{2a}u\ f\left(u-a\right) du\end{align*}}$ の値は、u=x-aと置換して計算
   すると、aとIを用いて
             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{2a}u\ f\left(u-a\right) du=\end{align*}}$  イ    ……(*)
   と表せる。以下では3つの例に(*)をあてはめる。


 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^2\ ,\ a=1\end{align*}}$ の場合.
    (*)より、
             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{2}u \left(u-1\right)^2 du=\end{align*}}$  ウ 
    である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\cos x\ ,\ a=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の場合.
    (*)より、
             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{\pi}u\cos \left(u-\frac{\pi}{2}\right) du=\end{align*}}$  エ 
    である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{4\cos x}{4-\sin^2x}\ ,\ a=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の場合.
    sinx=tと置換すると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-1}^{1}g\ (t)\ dt\end{align*}}$ となる。
    ここで、g(t)=  オ  である。一般に定数$\small\sf{\alpha}$ に対して
             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{t+\alpha}dt=\end{align*}}$  カ  +C (Cは積分定数)
    だから
             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int g\ (t)\ dt=\end{align*}}$  キ  +C 
    である。したがってIの値は、I= ク  であり、(*)より

             $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{\pi}u\cos \left(u-\frac{\pi}{2}\right) du=\end{align*}}$  ケ 
    である。ここでpの分数関数 h(p)= コ  について
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(u- \frac{\pi}{2}\right)=h\ (\sin u)\end{align*}}$
    が成り立つ。以上より
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}u\ h\left(\sin u \right)du=\end{align*}}$  ケ 
    である。



2015関西学院大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

   次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
   ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

   焼きいも屋さんが京都・大阪・神戸の3都市を次のような確率で
   移動して店を出す(2日以上続けて同じ年で出すこともありうる)。
    ・京都で出した翌日は、大阪・神戸で出す確率はそれぞれ
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
    ・大阪で出した翌日は、京都・大阪で出す確率はそれぞれ
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
    ・神戸で出した翌日は、京都・神戸で出す確率はそれぞれ
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
   今日を1日目として、n日目に京都・大阪・神戸で店を出す確率を、
   それぞれpn、qn、rnとすると、pn+qn+rn= ア  である。
   p1=1であるとする。このときp2= イ  、p3= ウ  である。
   n≧2のときpn、qn、rnをpn-1、qn-1、rn-1で表すとそれぞれ
        pn= エ  、qn= オ  、rn= カ 
   である。pn+qn+rn= ア  を用いると、n≧3のときpnをpn-2
   のみで表すことができる。すなわちpn= キ  である。
   したがって、pnの一般項は、nが奇数のときpn= ク  、nが
   偶数のときpn= ケ  である。以上より $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_n\end{align*}}$=  コ  である。






2015関西学院大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  放物線y=x2+4x上の3点A(-4,0)、B(1,5)、P(p,p2+4p)
  (-4<p<1)を考える。△ABPの外接円Cの中心の座標を(s,t)
  とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。

 (2) 線分APの垂直二等分線の方程式を求めよ。
    また、sをpの式で表せ。

 (3) pは-4<p<1の範囲を動くとき、sの取り得る値の範囲を求めよ。

 (4) pは-4<p<1の範囲を動くとき、円Cの半径の最小値とそのときの
    pの値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/07(金) 02:08:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2015(全学)
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