第3問
次の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
焼きいも屋さんが京都・大阪・神戸の3都市を次のような確率で
移動して店を出す（2日以上続けて同じ年で出すこともありうる）。
・京都で出した翌日は、大阪・神戸で出す確率はそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
・大阪で出した翌日は、京都・大阪で出す確率はそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
・神戸で出した翌日は、京都・神戸で出す確率はそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
今日を1日目として、n日目に京都・大阪・神戸で店を出す確率を、
それぞれpn、qn、rnとすると、pn+qn+rn= ア である。
p1=1であるとする。このときp2= イ 、p3= ウ である。
n≧2のときpn、qn、rnをpn-1、qn-1、rn-1で表すとそれぞれ
pn= エ 、qn= オ 、rn= カ
である。pn+qn+rn= ア を用いると、n≧3のときpnをpn-2
のみで表すことができる。すなわちpn= キ である。
したがって、pnの一般項は、nが奇数のときpn= ク 、nが
偶数のときpn= ケ である。以上より $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_n\end{align*}}$= コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 1 イ 0 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{9}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{2}{3}r_{n-1}\end{align*}}$
オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}r_{n-1}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{9}\end{align*}}$
ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^{n}+\frac{1}{3}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^{n+1}+\frac{1}{3}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
【解説】
どの日も京都・大阪・神戸のいずれかに店を出すので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n+r_n=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ……ア
1日目が京都のとき、2日目は大阪か神戸のいずれかである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$ ……イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$ ……ウ
n日目に京都に出すためには、前日には大阪または神戸に
出す必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ \frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{2}{3}r_{n-1}\ }\end{align*}}$ ……エ
n日目に大阪に出すためには、前日には京都または大阪に
出す必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\underline{\ \frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\ }\end{align*}}$ ……オ
n日目に神戸に出すためには、前日には京都または神戸に
出す必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\underline{\ \frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}r_{n-1}\ }\end{align*}}$ ……カ
n≧3のとき、オ、カの式をエに代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{3}q_{n-2} \right)+\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}p_{n-2}+\frac{1}{3}r_{n-2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{9}p_{n-2}+\frac{2}{9}q_{n-2}+\frac{2}{9}r_{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{9}\ }\ \ \left(\because\ p_{n-2}+q_{n-2}+r_{n-2}=1 \right)\end{align*}}$ ……キ
となり、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{n-2}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ ……(#)
と変形できる。
nが偶数のとき、n=2N （N：2以上の自然数）とおくと、
(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{2(N-1)}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_{2N}-\frac{1}{3} \right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N}-\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3} \right)^{N-1}\left(p_2-\frac{1}{3} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{2N}=-\left(\frac{1}{3}\right)^N+\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=-\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n}{2}}+\frac{1}{3}=\underline{\ -\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{n}+\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ……ク
これは、n=2のときも満たす。
nが奇数のとき、n=2N-1 （N：2以上の自然数）とおくと、
(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N-1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{2(N-1)-1}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_{2N-1}-\frac{1}{3} \right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N-1}-\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3} \right)^{N-2}\left(p_3-\frac{1}{3} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{2N-1}=2\left(\frac{1}{3}\right)^N+\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{3}=\underline{\ 2\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{n+1}+\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ……ケ
これは、n=1のときも満たす。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{3}<1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}p_{2N}=\lim_{N\rightarrow\infty}p_{2N-1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}=\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ……コ
この手の問題は、一度くらい解いたことあるでしょ。
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- 2018/12/07(金) 02:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2015(全学)
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第4問
放物線y=x2+4x上の3点A(－4，0)、B(1，5)、P(p，p2+4p)
（－4＜p＜1）を考える。△ABPの外接円Cの中心の座標を(s，t)
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2) 線分APの垂直二等分線の方程式を求めよ。
また、sをpの式で表せ。
(3) pは－4＜p＜1の範囲を動くとき、sの取り得る値の範囲を求めよ。
(4) pは－4＜p＜1の範囲を動くとき、円Cの半径の最小値とそのときの
pの値を求めよ。
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【解答】
(1)
線分ABの垂直二等分線をL1とすると、L1上の点(x，y)は
2点A、Bから等距離にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( x+4\right)^2+y^2}=\sqrt{\left( x-1\right)^2+\left(y-5 \right)^2}\end{align*}}$ ．
両辺を2乗して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x+y-1=0\ }\end{align*}}$
となり、これが求めるL1の方程式である。
(2)
線分APの垂直二等分線をL2とすると、L2上の点(x，y)は
2点A、Pから等距離にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( x+4\right)^2+y^2}=\sqrt{\left( x-p\right)^2+\left\{y-\left(p^2+4p \right) \right\}^2}\end{align*}}$ ．
両辺を2乗して整理すると、p≠－4より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2p+8 \right)x+\left(2p^2+8p \right)y-p^4-8p^3-17p^2+16=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(p+4 \right)x+2p\left(p+4 \right)y-\left( p+4\right)\left(p^3+4p^2+p-4 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2x+2py-p^3-4p^2-p+4=0\ }\end{align*}}$
となり、これが求めるL2の方程式である。
△ABPの外接円Cの中心はL1とL2の交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t-1=0\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s+2pt-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
であり、これらからtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s+2p\left( -s+1\right)-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2 -2p\right)s=p^3+4p^2-p-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(p-1\right)s=\left( p-1\right)\left(p^2+5p+4 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\ -\frac{1}{2}\left(p^2+5p+4 \right)\ }\ \ \left(\because\ p\ne 1\right)\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたsの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-\frac{1}{2}\left(p+\frac{5}{2} \right)^2+\frac{9}{8}\end{align*}}$
と変形できるので、－4＜p＜1の範囲において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -5\lt s\leqq \frac{9}{8}\ }\end{align*}}$
である。
(4)
円Cの中心は直線L1上にあるので、半径が最小になるのは、
中心が線分ABの中点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( -\frac{3}{2}\ ,\ \frac{5}{2}\right)\end{align*}}$ （Mとする）と一致するとき
である。
よって、半径rの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{min}=AM=\sqrt{\left\{ -\frac{3}{2}-(-4)\right\}^2+\left(\frac{5}{2}-0 \right)^2}=\underline{\ \frac{5\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$ ．
円Cの中心はL2上にもあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cdot\left(- \frac{3}{2}\right)+2p\cdot\frac{5}{2}-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^3+4p^2-4p-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-1 \right)\left(p^2+5p+1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\ \ \ }\left(\because\ -4\lt p<1 \right)\end{align*}}$
今年の関学は、記述が1題だけでしたね。
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- 2018/12/07(金) 02:08:00|
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