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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2015関西大　理系（2月5日）　数学１[A]



第1問[A]　

　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{5}{2}\end{align*}}$ ≦x≦5で定義された2つの曲線
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{2x+5}\ \ ,\ \ C_2:\ y=\sqrt{5-x}\end{align*}}$
　　　がある。点PはC1上にあり、そのx座標はt、点QはC2上にあり、
　　　そのx座標はt+3である。ただし、-1≦t≦1とする。また、点P、
　　　Qからそれぞれx軸に垂線を引き、交点をH1、H2とし、四角形
　　　PH1H2Qの面積をS(t)とおく。

　(1) S(0)を求めよ。また、S(t)をtを用いて表せ。

　(2) S(t)の増減を調べて、S(t)の最大値と最小値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/30(金) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2015（2/5）
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2015関西大　理系（2月5日）　数学１[B]



第1問[B]

　　次の問いに答えよ。

　(1) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1\sqrt{2x+5}\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

　(2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{ \frac{4k+3n}{n}}+\sqrt{\frac{3n-2k}{n}}\right)\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/30(金) 01:06:00|
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2015関西大　理系（2月5日）　数学２



第2問

　　∠AOB=∠BOC=∠COA=90°、OA=1の四面体OABCがある。
　　辺BCを1:2に内分する点をD、辺CAを3:5に内分する点をEとし、
　　線分ADと線分BEの交点をFとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と
　　するとき、次の　　　 をうめよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ =　①　 である。また、
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ =2のとき、OC=　②　 である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ =　③　 である。また、
　　　 OF⊥(平面ABC)のとき、OB=　④　 、OC=　⑤　 である。

　(3) OB=OC=2とする。Oから平面ABCに垂線を引き、交点をHと
　　　 すると、OH=　⑥　 である。また、△DEFの面積は　⑦　
　　　 であるから、四面体ODEFの体積は　⑧　 である。

　(4) (3)のとき、直線DEと直線FHの交点をGとする。このとき実数
　　　 p、qを用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf HG}=p\overrightarrow{\sf HF}\ ,\ \overrightarrow{\sf DG}=q\overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ と表すことができ、p=　⑨　
　　　 、q=　⑩　 である。



2015関西大　理系（2月5日）　数学３



第3問

　　Oを原点とする座標平面上に、媒介変数tを用いて
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t} \right)\ \ ,\ \ y=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t} \right)\end{align*}}$
　　で表された曲線Cがある。次の　　　 をうめよ。

　(1) 導関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をtを用いて表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ =　①　 であるから、
　　　 曲線Cに引いた接線のうち、傾きが $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である接線の方程式
　　　 は、y=　②　 である。

　(2) 曲線Cの方程式は、x、yを用いて　③　 （ただし、y＞0）
　　　 と表される。また、第2次導関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}\end{align*}}$ をyのみを用いて表すと、
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}\end{align*}}$ =　④　 である。

　(3) 曲線C上の点x=1における点Pを与えるtの値は　⑤　 である。
　　　 このとき、曲線Cと線分OPおよびy軸で囲まれた図形の面積は
　　　 　⑥　 である。




2015関西大　理系（2月5日）　数学４(１)～(３)



第4問

　　次の　　　 をうめよ。

　(1) aを実数とする。xの2次方程式x2+4ax-3a+7=0の解について、
　　　 -2より小さい解と-2より大きい解を1つずつもつようなaの値の
　　　 範囲は　①　 であり、2より大きい2つの異なる解を持つような
　　　 aの値の範囲は　②　

　(2) 袋の中に1のカードが1枚、2のカードが2枚、3のカードが3枚入っ
　　　 ている。袋から同時に2枚のカードを取り出し、カードに書かれた
　　　 数字を記録して袋に戻す操作を2回繰り返す。このとき、記録した
　　　 数字の合計を得点とする。例えば、1回目で3と3、2回目で2と3の
　　　 カードを取り出した場合、得点は11点である。得点が11点となる
　　　 確率は　③　 である。また、得点が8点以上となる確率は　④　
　　　 である。

　(3) $\small\sf{\theta}$ の関数 f($\small\sf{\theta}$ )=sin($\small\sf{\theta}$ +$\small\sf{\pi}$ /6)-cos$\small\sf{\theta}$ （0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ ）がある。
　　　 f(0)=　⑤　 であり、方程式f($\small\sf{\theta}$ )=0を解くと、$\small\sf{\theta}$ =　⑥　 である。




2015関西大　理系（2月5日）　数学４(４)(５)



第4問

　　次の　　　 をうめよ。

　(4)
　　 　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ ,\ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{4}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
　　　 で定義される数列{an}の一般項は an=　⑦　 であり、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=4\ ,\ b_2=20\ ,\ b_{n+2}-8b_{n+1}+16b_n=0\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
　　　 で定義される数列{bn}の一般項は bn=　⑧　 である。

　(5)
　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{2} \right)\left(1-\frac{1}{3} \right)\left(1-\frac{1}{4} \right)\ldots\left(1-\frac{1}{n-1} \right)\left(1-\frac{1}{n} \right)\end{align*}}$ =　⑨　 であり、
　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{2^2} \right)\left(1-\frac{1}{3^2} \right)\left(1-\frac{1}{4^2} \right)\ldots\left\{1-\frac{1}{\left(n-1\right)^2} \right\}\left(1-\frac{1}{n^2} \right)\end{align*}}$ =　⑩　 である。