青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2015（2/2）

2015関西大　理系（2月2日）　数学１

第1問

　　数列{a_n}が条件
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ \ ,\ \ a_{n+1}=\left(n+2 \right)a_n+n!\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
　　によって定められている。次の問いに答えよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{\left( n+1\right)!}\end{align*}}$ とおくとき、数列{b_n}の漸化式を求めよ。

　(2) {a_n}の一般項を求めよ。

　(3) 和 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n2^{k-1}a_k\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

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2018/11/30(金) 01:01:00|

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2015関西大　理系（2月2日）　数学２

第2問

　　nを正の整数とする。第1象限において、点P(x，y)が曲線
　　x²+n²y²=2上動くとき、xyの最大値a_nをnを用いて表すと、
　　a_n=　①　である。また、xyが最大になるPの座標を(x_n，y_n)
　　とすると、
　　　　　　　(x_n，y_n)=(　②　，　③　 )
　　である。さらに、曲線x²+n²y²=2の点(x_n，y_n)における接線の
　　方程式は、y=　④　、法線の方程式はy=　⑤　である。この
　　接線とx軸、およびy軸で囲まれた三角形の面積S_nをnを用いて表
　　すと、S_n=　⑥　である。このとき、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left(\sum_{k=1}^nka_{n+k} \right)S_n\right\}=\end{align*}}$ 　⑦　
　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$　　　　② 1　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n}x+\frac{2}{n}\end{align*}}$　

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf nx-n+\frac{1}{n}\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{n}\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(1-\log 2 \right)\end{align*}}$　　　　

【解説】

　　①
　　　　x²＞0、n²y²＞0より、相加・相乗平均　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+n^2y^2\geqq 2\sqrt{x^2\cdot n^2y^2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\geqq 2nxy\ \ \ \ \left(\because\ n,x,y>0 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ xy\leqq \frac{1}{n}\end{align*}}$
　　　　よって、xyの最大値a_nの値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{n}\ }\end{align*}}$

　　②③
　　　　①の相加・相乗平均の関係で等号が成立するのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=n^2y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=ny\ \ \ \ \left(\because\ n,x,y>0 \right)\end{align*}}$
　　　　のときであり、これと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf xy=\frac{1}{n}\end{align*}}$
　　　　を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1\ ,\ y=\frac{1}{n}\end{align*}}$
　　　　となる。よって、xyが最大になるときのPの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(x_n\ ,\ y_n \right)=\left( 1\ ,\ \frac{1}{n}\right)\ }\end{align*}}$

　　④
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+n^2y^2=2\end{align*}}$
　　　　の両辺をxで微分すると、ny≠0なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x+2n^2y\cdot \frac{dy}{dx}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{n^2y}\end{align*}}$
　　　　となる。よって、②③で求めた点(x_n，y_n)における接線の
　　　　方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n^2\cdot\frac{1}{n}}\left(x-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{n}x+\frac{2}{n}\ }\end{align*}}$

　　⑤
　　　　点(x_n，y_n)における法線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{n}=n\left(x-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=nx-n+\frac{1}{n}\ }\end{align*}}$

　　⑥
　　　　④の接線のy切片は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{n}\ (>0)\end{align*}}$ であり、x切片は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{n}x+\frac{2}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\ (>0)\end{align*}}$
　　　　なので、求める三角形の面積は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{2}{n}=\underline{\ \frac{2}{n} \ }\end{align*}}$

　　⑦
　　　　①、⑥より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left(\sum_{k=1}^nka_{n+k} \right)S_n\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n+k}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}\end{align*}}$　　←分子・分母÷n
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^1\frac{x}{1+x}\ dx\end{align*}}$　　　←区分求積法
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right) dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[x-\log\left|1+x \right|\bigg]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\left(1-\log 2 \right) \ }\end{align*}}$

　　最後は区分求積法に気づきましょう。　　

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2015関西大　理系（2月2日）　数学３

第3問

　　関数
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
　　について、次の問いに答えよ。

　(1) f(x)の導関数を求めよ。さらにf(x)の極値を求めよ。

　(2) f(x)の第2次導関数を求めよ。さらに曲線y=f(x)の変曲点を
　　　求めよ。

　(3) 不等式
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2f\ (x)\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{2}{2}}\end{align*}}$
　　　が成り立つことを示せ。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^ax^2f\ (x)\ dx \end{align*}}$ の値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$

　(1)
　　　f(x)の第1次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2}+x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left( 1-x^2\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\ }\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　　極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\underline{\ e^{-\frac{1}{2}}\ }\end{align*}}$　　　　　極小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-1)=\underline{\ -e^{-\frac{1}{2}}\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　f(x)の第2次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-2xe^{-\frac{1}{2}x^2}+\left( 1-x^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ x\left( x^2-3\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\ }\end{align*}}$
　　　なので、f”(x)の符号は次のように変化する。

　　　　　
　　　よって、y=f(x)の変曲点の座標は、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-\sqrt3\ ,\ -\sqrt3\ e^{- \frac{3}{2}}\right)\ \ ,\ \ \left( 0\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\sqrt3\ ,\ \sqrt3\ e^{- \frac{3}{2}}\right)\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　関数h(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=x^2f\ (x)=x^3e^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
　　　とおく。

　　　・x＜0のときは常に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)<0<3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\ \ \ \ \ \left(\because\ e^{-\frac{1}{2}x^2}>0 \right)\end{align*}}$
　　　　が成り立つ。

　　　・x≧0のとき、h(x)の第1次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=3x^2e^{-\frac{1}{2}x^2}+x^3\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^2\left(x^2-3\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
　　　　なので、この範囲におけるh(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)\leqq h\left(\sqrt3 \right)=3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　となる。

　　　以上より、すべてのxに対して不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2f\ (x)\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　が成り立つ。

　(4)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{1}{2}x^2\end{align*}}$ と置換すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-x\end{align*}}$ なので、

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^ax^2f\ (x)\ dx \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^ax^3e^{-\frac{1}{2}x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}x\cdot\left( -2t\right)\ e^t\cdot \frac{dt}{-x}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}t\ e^t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[t\ e^t\bigg]_0^{-\frac{1}{2}a^2}-2\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}e^t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[\left(t-1\right)\ e^t\bigg]_0^{-\frac{1}{2}a^2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-2e^{-\frac{1}{2}a^2}-a^2\ e^{-\frac{1}{2}a^2}\end{align*}}$

　　　a→+∞の極限を考えるので、a＞0と考えてよい。
　　　(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 　h\ (a)=a^3e^{-\frac{1}{2}a^2}\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 　a^2e^{-\frac{1}{2}a^2}\leqq \frac{3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}}{a}\end{align*}}$
　　　となり、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}a^2e^{-\frac{1}{2}a^2}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}}{a}=0\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}e^{-\frac{1}{2}a^2}=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^ax^2f\ (x)\ dx =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$

　　(4)で上手く(3)を使いましょう！　　

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大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2015（2/2）

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2015関西大　理系（2月2日）　数学４

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) 虚数aが a³=－1を満たすとする。実数p、qに対して、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^{10}}+\frac{1}{a^{9}}+\frac{p}{a^{8}}+\frac{q}{a^{7}}=0\end{align*}}$
　　　が成り立つとき、p=　①　、q=　②　である。

　(2) 等式
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \log 2=\log\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}+\log\frac{1+\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{y}}\end{align*}}$
　　　および不等式x≦yを満たす自然数x、yの組をすべて求めると、
　　　 (x，y)=　③　である。

　(3) sは0＜s＜1を満たす定数とし、P、Qはx座標がそれぞれt、
　　　 t+1である放物線y=x²上の点とする。tがすべての実数値を
　　　とって変化するとき、線分PQをs：(1－s)に内分する点Rの軌跡
　　　は曲線y=　④　である。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(2\cos x \right)}{x-\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$ の値は　⑤　である。

　(5) a＞1とし、Lを2点(1，0)、(a，loga)を通る直線とする。Lと
　　　曲線y=logxで囲まれた図形の面積が2より大きくなるのは、
　　　 a＜　⑥　のときである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① －1　　　　② 2　　　　③ (4，11)、(5，7)　　　　④ x²－s²+s

　　⑤ －2　　　　⑥ e²　　　　

【解説】

　(1)
　　　aは虚数なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+1 \right)\left(a^2-a+1 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=a-1\end{align*}}$ ．
　　　これと、a³=－1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^{10}}+\frac{1}{a^{9}}+\frac{p}{a^{8}}+\frac{q}{a^{7}}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left( -a^3\right)^4}{a^{10}}+\frac{\left( -a^3\right)^3}{a^{9}}+\frac{p\left( -a^3\right)^3}{a^{8}}+\frac{q\left( -a^3\right)^3}{a^{7}}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-1-pa-qa^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-1 \right)-1-pa-q\left(a-1 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q-1 \right)a=q-2\end{align*}}$ ．
　　　ここで、aは虚数、p、qは実数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q-1=q-2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=-1\ ,\ q=2\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　x、y≧1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log 2=\log\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}+\log\frac{1+\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{y}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{x+1}{x-1}+\log\frac{y+1}{y-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)}{\left(x-1 \right)\left( y-1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2=\frac{\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)}{\left(x-1 \right)\left( y-1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(x-1 \right)\left( y-1\right)=\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ xy-3x-3y+1=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x-3\right)\left(y-3 \right)=8\end{align*}}$ ．
　　　x－3、y－3は－2≦x－3≦y－3を満たす整数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-3\ ,\ y-3 \right)=\left(1\ ,\ 8 \right)\ ,\ \left(2\ ,\ 4 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x\ ,\ y \right)=\underline{\ \left(4\ ,\ 11 \right)\ ,\ \left(5\ ,\ 7 \right)\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　R(X，Y)とおくと、Rは2点
　　　　　　P(t，t²)、　Q(t+1，(t+1)²)
　　　をs：(1－s)に内分する点なので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\left(1-s \right)t+s\left(t+1 \right)=s+t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\left(1-s \right)t^2+s\left(t+1 \right)^2=t^2+2st+s\end{align*}}$ ．
　　　これら2式からtを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\left(X-s \right)^2+2s\left(X-s \right)+s=X^2-s^2+s\end{align*}}$
　　　となるので、点R(X，Y)の軌跡の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=x^2-s^2+s\ }\end{align*}}$

　(4)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=x-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(2\cos x \right)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\cos \left( t+\frac{\pi}{2}\right) \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(-2\sin t \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{2\sin t}\cdot\frac{2\sin t}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{2\sin t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{2\sin t}\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2\sin t}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1\cdot 2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2\ }\end{align*}}$ ．

　(5)
　　　Lと曲線y=logxの位置関係は
　　　右図のようになるので、これらで
　　　囲まれる部分の面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^a\log x\ dx-\frac{1}{2}\left(a-1 \right)\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg[x\log x-x\bigg]_1^a-\frac{1}{2}\left(a-1 \right)\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\log a-a+1-\frac{1}{2}a\log a+\frac{1}{2}\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(a+1\right)\log a>a+1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log a>2\ \ \ \ \left(\because\ a>1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a>e^2\ }\ \ \ \ \left(\because\ e>1 \right)\end{align*}}$

　　特に難しい問題もなく、例年通りといった感じです。　　

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