FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015関西大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  数列{an}が条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ \ ,\ \ a_{n+1}=\left(n+2 \right)a_n+n!\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
  によって定められている。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{\left( n+1\right)!}\end{align*}}$ とおくとき、数列{bn}の漸化式を求めよ。

 (2) {an}の一般項を求めよ。

 (3) 和 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n2^{k-1}a_k\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/30(金) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015(2/2)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  nを正の整数とする。第1象限において、点P(x,y)が曲線
  x2+n2y2=2上動くとき、xyの最大値anをnを用いて表すと、
  an= ①  である。また、xyが最大になるPの座標を(xn,yn)
  とすると、
       (xn,yn)=( ②  ③  )
  である。さらに、曲線x2+n2y2=2の点(xn,yn)における接線の
  方程式は、y= ④  、法線の方程式はy= ⑤  である。この
  接線とx軸、およびy軸で囲まれた三角形の面積Snをnを用いて表
  すと、Sn= ⑥  である。このとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left(\sum_{k=1}^nka_{n+k} \right)S_n\right\}=\end{align*}}$  ⑦ 
  である。




2015関西大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数を求めよ。さらにf(x)の極値を求めよ。

 (2) f(x)の第2次導関数を求めよ。さらに曲線y=f(x)の変曲点を
    求めよ。

 (3) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2f\ (x)\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{2}{2}}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^ax^2f\ (x)\ dx \end{align*}}$ の値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/30(金) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015(2/2)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015関西大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 虚数aが a3=-1を満たすとする。実数p、qに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^{10}}+\frac{1}{a^{9}}+\frac{p}{a^{8}}+\frac{q}{a^{7}}=0\end{align*}}$
    が成り立つとき、p= ①  、q= ②  である。

 (2) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \log 2=\log\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}+\log\frac{1+\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{y}}\end{align*}}$
    および不等式x≦yを満たす自然数x、yの組をすべて求めると、
    (x,y)= ③  である。

 (3) sは0<s<1を満たす定数とし、P、Qはx座標がそれぞれt、
    t+1である放物線y=x2上の点とする。tがすべての実数値を
    とって変化するとき、線分PQをs:(1-s)に内分する点Rの軌跡
    は曲線y= ④  である。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(2\cos x \right)}{x-\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$ の値は ⑤  である。

 (5) a>1とし、Lを2点(1,0)、(a,loga)を通る直線とする。Lと
    曲線y=logxで囲まれた図形の面積が2より大きくなるのは、
    a< ⑥  のときである。