第4問
次の をうめよ。
(4) 極方程式で表された2つの直線
$\small\sf{\begin{align*} \sf r\left(\cos\theta+\sqrt3\ \sin\theta\right)=4\ \ ,\ \ r\left(\cos\theta-\sin\theta\right)=2\end{align*}}$
のなす角は、弧度法で表すと ⑤ である。
(5) x(1+x)nの展開式を利用すると、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n\left(k+1\right)_nC_k=1\cdot_nC_0+2\cdot_nC_1+3\cdot_nC_2+\ldots +\left(n+1\right)\cdot_nC_n=2^{17}\end{align*}}$
を満たす自然数nの値は ⑥ であることがわかる。
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【解答】
⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{12}\pi\end{align*}}$ ⑥ 14
【解説】
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta\end{align*}}$ として直交座標に直すと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+\sqrt3\ y=4\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{\sqrt3}\ x+\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-y=2\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x-2\end{align*}}$
となる。
原点を通るようにこれら2直線をそれぞれ
平行移動させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt3}=\tan\frac{5}{6}\pi\ \ ,\ \ 1=\tan\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
より、位置関係は右図のようになる。
よって、2直線のなす角の大きさは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\underline{\ \frac{5}{12}\pi\ }\end{align*}}$
(5)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(1+x\right)^n=x\sum_{k=0}^n\ _nC_kx^{k}=\sum_{k=0}^n\ _nC_kx^{k+1}\end{align*}}$ ．
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=\sum_{k=0}^n\left(k+1\right)_nC_kx^{k}\end{align*}}$
となり、x=1を代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n+n\cdot 2^{n-1}=\sum_{k=0}^n\left(k+1\right)_nC_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(n+2\right)\cdot 2^{n-1}=2^{17}\end{align*}}$
この式の左辺はnについて単調に増加するので、
等式を満たすnの値は、n=14である。
(5)は、全然分からずに直観でn=17やn=16と書いた人も多いはず（笑）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/29(木) 02:10:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015（全学部）
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