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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_{-\frac{\pi}{4}}^x\left(1-2\sin t\right)\sin t\ dt\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲で、f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ <a<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ で、点A(a,f(a))が曲線y=f(x)の変曲点である
    とする。曲線y=f(x)の点Aにおける接線の傾きを求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/29(木) 02:06:00|
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2015関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

   Oを座標空間の原点、rを正の定数とする。原点とは異なる座標
   空間内の点Pに対して点Qを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}//\overrightarrow{\sf OQ}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}>0\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|=r^2\end{align*}}$
   を満たすように定める。Pの座標を(x,y,z)とすると、Qの座標は
   r、x、y、zを用いて ①  と表される。
    aは0<a<rを満たす定数とする。Pの座標が(0,0,a)のとき、
   Qの座標は ②  である。このとき、xy平面に平行でPを通る
   平面上に点Rを、原点からの距離がr、x座標が0、y座標が正となる
   点とすると、Rの座標は ③  で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\cdot\overrightarrow{\sf QR}\end{align*}}$ = ④  となる。
    bを正の定数とし、Pをxy平面に平行で点(0,0,b)を通る平面上
   の点とする。このとき、Qの座標を(X,Y,Z)とすると、等式
          X2+Y2+Z2= ⑤  Z
   が成り立つ。よってQは、中心が ⑥  、半径が ⑦  の球面上
   の点となる。



2015関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

   x>0に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\end{align*}}$
   とおく。次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

 (2) 曲線y=f(x)の概形を解答欄の座標平面上にかけ。ただし、
    曲線の凹凸については調べなくてもよい。必要ならば、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ (x)=0\end{align*}}$ であることを用いてよい。

 (3) e$\small\sf{\pi}$ と$\small\sf{\pi}$ の大小を判定せよ。



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2015関西大 理系(全学部) 数学4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x-1}=3\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf 4^x+4^{-x-1}=\end{align*}}$  ①  である。

 (2) 数列{an}が条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=n+\left(-1\right)^{a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
    によって定められている。bn=a2n-1とおくと、bnはnの式を
    用いて、bn= ②  と表される。

 (3) 0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ とすると、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
    は$\small\sf{\theta}$ = ③  のとき、最小値 ④  をとる。



2015関西大 理系(全学部) 数学4(4)~(5)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 極方程式で表された2つの直線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf r\left(\cos\theta+\sqrt3\ \sin\theta\right)=4\ \ ,\ \ r\left(\cos\theta-\sin\theta\right)=2\end{align*}}$
    のなす角は、弧度法で表すと ⑤  である。

 (5) x(1+x)nの展開式を利用すると、等式
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n\left(k+1\right)_nC_k=1\cdot_nC_0+2\cdot_nC_1+3\cdot_nC_2+\ldots +\left(n+1\right)\cdot_nC_n=2^{17}\end{align*}}$
    を満たす自然数nの値は ⑥  であることがわかる。