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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015同志社大 生命医科学部 数学1



第1問

   次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の
   ついた    の中に記入せよ。

 (1) 初項がa1で公差がdである等差数列{an}について、a=27=20、
    a37=15が成り立っている。このとき、a1= ア  であり、
    d= イ  である。したがってa1+a2+a3+…+an= ウ 
    なる。

 (2) 2曲線 y=4x (x≧0)とy=8x (x≧0)と直線x=1に囲まれた
    部分をDとする。Dの面積は エ  であり、Dをx軸のまわりに1回
    転してできる回転体の体積は オ  であり、Dをy軸のまわりに1
    回転してできる回転体の体積は カ  である。

 (3) 双曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\end{align*}}$
    上の点 $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{3}{\cos\theta}\ ,\ \tan\theta\right)\ \left(0<\theta <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ における接線Lの方程式は、
     キ  であり、法線mの方程式は ク  である。また、mと
    x軸の交点を(X,0)とし、mとy軸の交点を(0,Y)とすると、
    Xの範囲は ク  、Yの範囲は ケ  である。


2015同志社大 生命医科学部 数学2



第2問

  nを正整数とし、eを自然対数の底とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) a、bを定数として、次の関数f(x) (x>0)の導関数f’(x)を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{n+1}\left\{a\cos\left(\pi\log x\right)+b\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\end{align*}}$

 (2) 次の定積分の値をそれぞれ求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_1^ex^n\cos\left(\pi\log x\right)dx\ \ ,\ \ J_n=\int_1^ex^n\sin\left(\pi\log x\right)dx\end{align*}}$

 (3) 次の極限値をそれぞれ求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\rm I_{\sf n+1} }{\rm I_{\sf n}}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n+1}}{J_n}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n}}{\rm I_{\sf n}}\end{align*}}$


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/02/15(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2015(生命医科)
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2015同志社大 生命医科学部 数学3



第3問

  座標空間内の4点A(1,2,3)、B(2,1,5)、C(2,3,-1)、
  $\small\sf{\sf P(2\cos\theta\ ,\ \sin\theta\ ,\ 0)}$ を考える。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\lt 2\pi}$ とする。
  次の問いに答えよ。

 (1) △ABCの面積を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直で、大きさが1のベクトルをすべて求
    めよ。

 (3) 点Pから、3点A、B、Cを通る平面$\small\sf{\alpha}$ に、下ろした垂線の足H
    の座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (4) 四面体PABCの体積Vを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (5) 四面体PABCの体積Vの最大値と最小値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/02/16(月) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2015(生命医科)
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2015同志社大 生命医科学部 数学4



第4問

   数列{an}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
   によって定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt x}\ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
   として、次の問いに答えよ。

 (1) 閉区間4≦x≦9において、f(x)の最大値と最小値、導関数
    f’(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

 (2) 4<an<9を数学的帰納法を用いて示せ。

 (3) c=f(c)を満たす正の実数cを求めよ。

 (4) 上の(3)で決定したcに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
    を示せ。

 (5) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2015/02/16(月) 23:57:00|
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