第2問
nを正整数とし、eを自然対数の底とするとき、次の問いに答えよ。
(1) a、bを定数として、次の関数f(x) (x＞0）の導関数f’(x)を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{n+1}\left\{a\cos\left(\pi\log x\right)+b\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\end{align*}}$
(2) 次の定積分の値をそれぞれ求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_1^ex^n\cos\left(\pi\log x\right)dx\ \ ,\ \ J_n=\int_1^ex^n\sin\left(\pi\log x\right)dx\end{align*}}$
(3) 次の極限値をそれぞれ求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\rm I_{\sf n+1} }{\rm I_{\sf n}}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n+1}}{J_n}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n}}{\rm I_{\sf n}}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{n+1}\left\{a\cos\left(\pi\log x\right)+b\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\end{align*}}$
の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left(n+1\right)x^{n}\left\{a\cos\left(\pi\log x\right)+b\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +x^{n+1}\left\{-a\sin\left(\pi\log x\right)\cdot\frac{\pi}{x}+b\cos\left(\pi\log x\right)\cdot\frac{\pi}{x}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left\{a\left(n+1\right)+\pi b\right\}x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)+\left\{b\left(n+1\right)-\pi a\right\}x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^ef\ '(x)\ dx=\bigg[x^{n+1}\left\{a\cos\left(\pi\log x\right)+b\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\bigg]_1^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{n+1}\left(a\cos\pi+b\sin\pi\right)-\left(a\cos 0+b\sin 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(e^{n+1}+1\right)a\end{align*}}$
となり、これは任意のa、bに対して成り立つ。
a=0、b=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\pi x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)+\left(n+1\right)x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e \left\{\pi x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)+\left(n+1\right)x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\ dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi\int_1^e x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)dx+\left(n+1\right)\int_1^e x^{n}\sin\left(\pi\log x\right) dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi \ \rm I_{\sf n}\sf +\left(n+1\right) J_n=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
a=1、b=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left(n+1\right)x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)-\pi \ x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e \left\{\left(n+1\right)x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)-\pi \ x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)\right\}\ dx=-\left(e^{n+1}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(n+1\right)\int_1^e x^{n}\cos\left(\pi\log x\right)dx-\pi \int_1^e x^{n}\sin\left(\pi\log x\right)dx=-\left(e^{n+1}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(n+1\right)\ \rm I_{\sf n}\sf -\pi \ J_n=-\left(e^{n+1}+1\right)\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅰ)、(ⅱ)を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \rm I_{\sf n}\sf =-\frac{\left(n+1\right)\left(e^{n+1}+1\right)}{\left(n+1\right)^2+\pi^2}\ \ ,\ \ J_n=\frac{\pi\ \left(e^{n+1}+1\right)}{\left(n+1\right)^2+\pi^2}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\rm I_{\sf n+1}}{\rm I_{\sf n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n+2\right)\left(e^{n+2}+1\right)\left\{\left(n+1\right)^2+\pi^2\right\}}{\left(n+1\right)\left(e^{n+1}+1\right)\left\{\left(n+2\right)^2+\pi^2\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(e+\frac{1}{e^{n+1}}\right)\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{\pi}{n}\right)^2\right\}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{e^{n+1}}\right)\left\{\left(1+\frac{2}{n}\right)^2+\left(\frac{\pi}{n}\right)^2\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1\cdot e\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n+1}}{J_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(e^{n+2}+1\right)\left\{\left(n+1\right)^2+\pi^2\right\}}{\left(e^{n+1}+1\right)\left\{\left(n+2\right)^2+\pi^2\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(e+\frac{1}{e^{n+1}}\right)\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{\pi}{n}\right)^2\right\}}{\left(1+\frac{1}{e^{n+1}}\right)\left\{\left(1+\frac{2}{n}\right)^2+\left(\frac{\pi}{n}\right)^2\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e\cdot 1}{1\cdot 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{J_{n}}{\rm I_{\sf n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-\frac{\pi}{n+1}\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
これまた計算がイヤですねぇ・・・・
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- 2015/02/15(日) 23:57:00|
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第3問
座標空間内の4点A(1，2，3)、B(2，1，5)、C(2，3，－1)、
$\small\sf{\sf P(2\cos\theta\ ,\ \sin\theta\ ,\ 0)}$ を考える。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\lt 2\pi}$ とする。
次の問いに答えよ。
(1) △ABCの面積を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直で、大きさが1のベクトルをすべて求
めよ。
(3) 点Pから、3点A、B、Cを通る平面$\small\sf{\alpha}$ に、下ろした垂線の足H
の座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(4) 四面体PABCの体積Vを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(5) 四面体PABCの体積Vの最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(1\ ,\ -1\ ,\ 2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(1\ ,\ 1\ ,\ -4\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2=1+1+4=6\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf AC}\right|^2=1+1+16=18\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=1-1-8=-8\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 18-\left(-8\right)^2}=\underline{\ \sqrt{11}\ }\end{align*}}$
(2)
求めるベクトルを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=\left(X\ ,\ Y\ ,\ Z\right)\end{align*}}$ とおくと、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf e}\right|=1\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2+Z^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\perp\overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=X-Y+2Z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\perp\overrightarrow{\sf AC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=X+Y-4Z=0\end{align*}}$ ．
これら3式を連立させて解くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=Z=\pm\frac{1}{\sqrt{11}}\ \ ,\ \ Y=\pm\frac{3}{\sqrt{11}}\end{align*}}$ （複号同順）
となるので、求めるベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{11}}\left(1\ ,\ 3\ ,\ 1\right)\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}//\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ より、実数kを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=k\left(1\ ,\ 3\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\left(k+2\cos\theta\ ,\ 3k+\sin\theta\ ,\ k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=\left(k+2\cos\theta- 1\ ,\ 3k+\sin\theta-2\ ,\ k-3\right)\end{align*}}$ ．
PH⊥平面ABCより、PH⊥AHなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf AH}=k\left(k+2\cos\theta- 1\right)+3k\left(3k+\sin\theta-2\right)+k\left(k-3\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(11k+2\cos\theta+3\sin\theta-10\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{11}\left(-2\cos\theta-3\sin\theta+10\right)\ \left(>0\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{1}{11}\left(20\cos\theta-3\sin\theta+10 , -6\cos\theta+2\sin\theta+30 , -2\cos\theta-3\sin\theta+10\right)\end{align*}}$
となるので、垂線の足Hの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{20\cos\theta-3\sin\theta+10}{11} , \frac{-6\cos\theta+2\sin\theta+30}{11} , \frac{-2\cos\theta-3\sin\theta+10}{11}\right)\ }\end{align*}}$
(4)
(1)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot\triangle ABC\cdot \left|\overrightarrow{\sf PH}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}\ k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\left(-2\cos\theta-3\sin\theta+10\right)\ }\end{align*}}$
(5)
(4)で求めたVの( )内の三角関数を合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2^2+3^3}=\sqrt{13}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\left\{10-\sqrt{13}\ \sin\left(\theta+\alpha\right)\right\}\end{align*}}$
と変形できる。ただし、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}\ \ ,\ \ \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}\end{align*}}$
である。
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\theta\lt2\pi}$ より、Vの最大値・最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\underline{\ \frac{1}{3}\left(10+\sqrt{13}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{min}=\underline{\ \frac{1}{3}\left(10-\sqrt{13}\right)\ }\end{align*}}$
となる。
これまた計算が面倒ですな＾＾；；
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- 2015/02/16(月) 23:54:00|
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第4問
数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt x}\ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
として、次の問いに答えよ。
(1) 閉区間4≦x≦9において、f(x)の最大値と最小値、導関数
f’(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。
(2) 4＜an＜9を数学的帰納法を用いて示せ。
(3) c=f(c)を満たす正の実数cを求めよ。
(4) 上の(3)で決定したcに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
を示せ。
(5) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{2}-\frac{6}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{6}{\sqrt{x^3}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{9}{2\sqrt{x^5}}\end{align*}}$
4≦x≦9の範囲では常にf’(x)＞0、f”(x)＞0となるので、
この範囲では、f(x)、f’(x)どちらも単調に増加する。
よって、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{max}=f\ (9)=\frac{9}{2}+\frac{6}{3}=\underline{\ \frac{13}{2}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{min}=f\ (4)=\frac{4}{2}+\frac{6}{2}=\underline{\ 5\ }\end{align*}}$
また、f’(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)_{max}=f\ '(9)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{6}{27}\right)=\underline{\ \frac{7}{18}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)_{min}=f\ '(4)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{6}{8}\right)=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(2)
(ⅰ) n=1のときは、a1=5より自明
(ⅱ) n=kのとき
4＜ak＜9
が成り立つと仮定すると、ak+1=f(ak)なので、
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\lt a_{k+1}<\frac{13}{2}\end{align*}}$
となるので、4＜ak+1＜9が成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して 4＜an＜9 が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=f\ (c)=\frac{c}{2}+\frac{6}{\sqrt c}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt c\right)^3=12\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ c=\sqrt[3]{144}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)で求めたcについて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]{125}<\sqrt[3]{144}<\sqrt[3]{216}\ \ \Leftrightarrow\ \ 5\lt c<6\end{align*}}$ ……(#)
が成り立つ。
an＜cとなることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
(#)より、a1=5＜cは自明
(ⅱ) n=kのとき
ak＜c が成り立つと仮定すると、
(1)より、f(x)は区間4≦x≦9で単調に増加
するので、
4＜ak＜c＜9 ⇔ f(ak)＜f(c)
⇔ ak+1＜c
が成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して、an＜cとなる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n+1}=f(c)-f(a_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{c}{2}+\frac{6}{\sqrt{c}}\right)-\left(\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{c-a_n}{2}-\frac{6}{\sqrt{c a_n}}\left(\sqrt c-\sqrt{a_n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{c-a_n}{2}\ \ \ \left(\because c>a_n\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
(5)
(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{2}<\frac{c-a_{1}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{3}<\frac{c-a_{2}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{4}<\frac{c-a_{3}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n-1}<\frac{c-a_{n-2}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n}<\frac{c-a_{n-1}}{2}\end{align*}}$
が成り立つので、これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c-a_{n}<\frac{c-a_{1}}{2^{n-1}}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c-a_{1}}{2^{n-1}}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(c-a_n\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c=\underline{\ \sqrt[3]{144}\ }\end{align*}}$
(4)が難しいでしょうね。
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