第2問
Oを原点とする座標平面内に曲線C：y=log(x+1)、点P(t，0)と
点Q(t，log(t+1))を考える。ただし、tは正の実数とする。次の
問いに答えよ。
(1) x軸、直線x=tと曲線Cで囲まれた部分の面積S(t)を求めよ。
(2) △OPQの面積をT(t)とする。次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{T\ (t)}{S\ (t)}\end{align*}}$
(3) 点Qにおける曲線Cの接線とy軸の交点をRとする。Rの座標を
求めよ。
(4) 台形OPQRの面積をU(t)とする。次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{U\ (t)}{S\ (t)}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\int_0^t\log\left(x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\left(x+1\right)\log\left(x+1\right)\bigg]_0^t-\int_0^t\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{x+1}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\left(x+1\right)\log\left(x+1\right)-x\bigg]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(t+1\right)\log\left(t+1\right)-t\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ (t)=\frac{1}{2}t\log\left(t+1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{T\ (t)}{S\ (t)}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t\log\left(t+1\right)}{\left(t+1\right)\log\left(t+1\right)-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\log\left(t+1\right)}{\left(1+\frac{1}{t}\right)\log\left(t+1\right)-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\log\left(t+1\right)}{\log\left(t+1\right)-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{\log\left(t+1\right)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{x+1}\end{align*}}$
より、点Qにおける接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\log\left(x+1\right)=\frac{1}{t+1}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{t+1}\ x+\log\left(t+1\right)-\frac{t}{t+1}\end{align*}}$
なので、y軸との交点Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(0\ ,\ \log\left(t+1\right)-\frac{t}{t+1}\right)\ }\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U\ (t)=\frac{1}{2}\ t\left\{2\log\left(t+1\right)-\frac{t}{t+1}\right\}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{U\ (t)}{S\ (t)}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t\left\{2\log\left(t+1\right)-\frac{t}{t+1}\right\}}{\left(t+1\right)\log\left(t+1\right)-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{2\log\left(t+1\right)-\frac{1}{1+\frac{1}{t}}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)\log\left(t+1\right)-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{2\log\left(t+1\right)-1}{\log\left(t+1\right)-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{1}{\log\left(t+1\right)}}{1-\frac{1}{\log\left(t+1\right)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
極限は、少し複雑な式になりますが、苦手な人は
上の解答のように、少しずつ処理していけば大丈夫だと思います。
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- 2015/02/17(火) 23:57:00|
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第3問
座標空間内のxy平面上に3点A(－1，5，0)、B(2，2，0)、
C(－2，0，0)がある。また、点P(p，q，r) （r＞0）があり、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\perp\overrightarrow{\sf PB}\ ,\ \overrightarrow{\sf PB}\perp\overrightarrow{\sf PC}\ ,\ \overrightarrow{\sf PC}\perp\overrightarrow{\sf PA}\end{align*}}$ であるとする。次の問いに答えよ。
(1) 点Pの座標(p，q，r)を求めよ。
(2) 四面体PABCの体積を求めよ。
(3) 点Pからxy平面に下ろした垂線の足H(p，q，0)に対して、
内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf CH}\ ,\ \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf AH}\ ,\ \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf BH}\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(p+1\ ,\ q-5\ ,\ r\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BP}=\left(p-2\ ,\ q-2\ ,\ r\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CP}=\left(p+2\ ,\ q\ ,\ r\right)\end{align*}}$
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}=\left(p+1\right)\left(p-2\right)+\left(q-5\right)\left(q-2\right)+r^2=p^2+q^2+r^2-p-7q+8=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf CP}=\left(p-2\right)\left(p+2\right)+\left(q-2\right)q+r^2=p^2+q^2+r^2-2q-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}\cdot\overrightarrow{\sf AP}=\left(p+2\right)\left(p+1\right)+q\left(q-5\right)+r^2=p^2+q^2+r^2+3p-5q+2=0\end{align*}}$
これら3式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{3}\ ,\ q=\frac{7}{3}\ ,\ r=\frac{2\sqrt7}{3}\ (>0)\end{align*}}$
となるので、点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{1}{3}\ ,\ \frac{7}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt7}{3}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(\frac{4}{3}\ ,\ -\frac{8}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt7}{3}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BP}=\left(-\frac{5}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt7}{3}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CP}=\left(\frac{7}{3}\ ,\ \frac{7}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt7}{3}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|=\frac{2}{3}\sqrt{4+16+7}=2\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf BP}\right|=\frac{1}{3}\sqrt{25+1+28}=\sqrt6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf CP}\right|=\frac{1}{3}\sqrt{49+49+28}=\sqrt{14}\end{align*}}$
AP⊥BPより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PAB=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf AP}\right|\left|\overrightarrow{\sf BP}\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt3\cdot\sqrt6=3\sqrt2\end{align*}}$
また、AP⊥CPかつBP⊥CPより、CP⊥△PABなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle PAB\cdot \left|\overrightarrow{\sf CP}\right|=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt2\cdot \sqrt{14}=\underline{\ 2\sqrt7\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(3\ ,\ -3\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CH}=\left(\frac{7}{3}\ ,\ \frac{7}{3}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf CH}=7-7+0=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}=\left(-4\ ,\ -2\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AH}=\left(\frac{4}{3}\ ,\ -\frac{8}{3}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf AH}=-\frac{16}{3}+\frac{16}{3}+0=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CA}=\left(1\ ,\ 5\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BH}=\left(-\frac{5}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf BH}=-\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+0=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
面倒ですが、ひたすら計算です！
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- 2015/02/18(水) 23:54:00|
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第4問
f(x)=2－xcosx とし、曲線C：y=f(x)と正整数nに対して、
次の問いに答えよ。
(1) 点P(n$\small\sf{\pi}$ ，f(n$\small\sf{\pi}$ ))におけるCの接線とx軸の交点をAとする。
Aの座標を求めよ。
(2) 点P(n$\small\sf{\pi}$ ，f(n$\small\sf{\pi}$ ))におけるCの法線とx軸の交点をBとする。
Bの座標を求めよ。
(3) 上の(1)と(2)で求めた点A、Bと点Pの3点でできる△ABPの
面積Tnをnを用いて表せ。
(4) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}T_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (n\pi)=2^{-n\pi}\cos n\pi=2^{-n\pi}\cdot\left(-1\right)^n=\left(-2^{-\pi}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-(\log2)\cdot2^{-x}\cos x-2^{-x}\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(n\pi)=-(\log2)\cdot2^{-n\pi}\cos n\pi-2^{-n\pi}\sin n\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(\log2)\cdot2^{-n\pi}\cdot\left(-1\right)^n-0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^n\end{align*}}$
より、Pにおける接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-2^{-\pi}\right)^n=-(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^n\left(x-n\pi\right)\end{align*}}$
であり、y=0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(-2^{-\pi}\right)^n=-(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^n\left(x-n\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1=(\log2)\left(x-n\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{\log2}+n\pi\end{align*}}$
なので、点Aの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A\left(\frac{1}{\log2}+n\pi\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
(2)
Pにおける法線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-2^{-\pi}\right)^n=\frac{1}{(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^n}\left(x-n\pi\right)\end{align*}}$
であり、y=0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(-2^{-\pi}\right)^n=\frac{1}{(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^n}\left(x-n\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -(\log2)\cdot\left(-2^{-\pi}\right)^{2n}=x-n\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=n\pi-(\log2)\cdot 2^{-2n\pi}\end{align*}}$
なので、点Bの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ B\left(n\pi-(\log2)\cdot 2^{-2n\pi}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\frac{1}{2}\left|\left(\frac{1}{\log2}+n\pi\right)-\left\{n\pi-(\log2)\cdot 2^{-2n\pi}\right\}\right|\cdot\left|\left(-2^{-\pi}\right)^n\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2^{-n\pi}}{2}\left\{\frac{1}{\log2}+(\log2)\cdot 2^{-2n\pi}\right\}}\ \ (>0) \end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ T_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{-n\pi}}{2}\left\{\frac{1}{\log2}+(\log2)\cdot 2^{-2n\pi}\right\} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\log 2}\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n\pi}+\frac{\log2}{2}\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-3n\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\log 2}\cdot\frac{2^{-\pi}}{1-2^{-\pi}}+\frac{\log2}{2}\cdot\frac{2^{-3\pi}}{1-2^{-3\pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2(\log 2)\left(2^{\pi}-1\right)}+\frac{\log2}{2\left(2^{3\pi}-1\right)}}\end{align*}}$
そのまま計算していくだけですが、(3)は、
長さを扱うので、絶対値が必要になってきます。
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- 2015/02/18(水) 23:57:00|
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