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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015同志社大 理工学部1



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
      の中に記入せよ。

 (1) さいころをn回投げて、第1回から第n回までに出た目n個の積を
    Xnとする。Xnが3で割り切れる確率は ア  であり、Xnが2で
    割り切れる確率は イ  である。また、Xnが6で割り切れる確率
    をpnとすると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(1-p_n\right)\end{align*}}$ = ウ  である。

 (2) 連立不等式
        x2+4y2≦4、 x+2y≧2
    の表す領域をDとする。点(x,y)がD内を動くとき、2x+yの最小
    値は エ  である。また、最大値は オ  であり、そのときの
    x、yはx= カ  、y= キ  である。

 (3) 正整数n=1,2,3,…に対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\sin^2nx\ dx\end{align*}}$ = ク  であり、
    異なる正整数m、nに対しては$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\sin mx\ \sin nx\ dx\end{align*}}$ = ケ  である。
    したがって、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sum_{n=1}^{15}n\sin nx\end{align*}}$ とすると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left\{f\ (x)\right\}^2dx\end{align*}}$ = コ 
    ある。



2015同志社大 理工学部2



第2問

  Oを原点とする座標平面内に曲線C:y=log(x+1)、点P(t,0)と
  点Q(t,log(t+1))を考える。ただし、tは正の実数とする。次の
  問いに答えよ。

 (1) x軸、直線x=tと曲線Cで囲まれた部分の面積S(t)を求めよ。

 (2) △OPQの面積をT(t)とする。次の極限値を求めよ。
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{T\ (t)}{S\ (t)}\end{align*}}$

 (3) 点Qにおける曲線Cの接線とy軸の交点をRとする。Rの座標を
    求めよ。

 (4) 台形OPQRの面積をU(t)とする。次の極限値を求めよ。
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{U\ (t)}{S\ (t)}\end{align*}}$




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  1. 2015/02/17(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2015(理工)
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2015同志社大 理工学部3



第3問

  座標空間内のxy平面上に3点A(-1,5,0)、B(2,2,0)、
  C(-2,0,0)がある。また、点P(p,q,r) (r>0)があり、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\perp\overrightarrow{\sf PB}\ ,\ \overrightarrow{\sf PB}\perp\overrightarrow{\sf PC}\ ,\ \overrightarrow{\sf PC}\perp\overrightarrow{\sf PA}\end{align*}}$ であるとする。次の問いに答えよ。

 (1) 点Pの座標(p,q,r)を求めよ。

 (2) 四面体PABCの体積を求めよ。

 (3) 点Pからxy平面に下ろした垂線の足H(p,q,0)に対して、
    内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf CH}\ ,\ \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf AH}\ ,\ \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf BH}\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。



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  1. 2015/02/18(水) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2015(理工)
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2015同志社大 理工学部4



第4問

  f(x)=2-xcosx とし、曲線C:y=f(x)と正整数nに対して、
  次の問いに答えよ。

 (1) 点P(n$\small\sf{\pi}$ ,f(n$\small\sf{\pi}$ ))におけるCの接線とx軸の交点をAとする。
    Aの座標を求めよ。

 (2) 点P(n$\small\sf{\pi}$ ,f(n$\small\sf{\pi}$ ))におけるCの法線とx軸の交点をBとする。
    Bの座標を求めよ。

 (3) 上の(1)と(2)で求めた点A、Bと点Pの3点でできる△ABPの
    面積Tnをnを用いて表せ。

 (4) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}T_n\end{align*}}$ の和を求めよ。



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  1. 2015/02/18(水) 23:57:00|
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