第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。
(1) 関数f(x)=3xの導関数はf’(x)= ア であり、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2f\ (x)\ dx\end{align*}}$ = イ である。したがって、座標平面内において、
点(1，3)における曲線C：y=f(x)の接線Lの方程式はy= ウ
であり、法線mの方程式はy= エ である。さらに、曲線C、
接線L、y軸と直線x=2で囲まれた部分の面積は オ であり、
法線mとx軸の交点の座標は( カ ，0)である。
(2) 1から9までの番号札9枚を入れた箱がある。その箱から番号札
を1枚ずつ2回取り出して、その順にx、yとする。ただし、1度取り
出した札はもとに戻さないとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\end{align*}}$ が整数になる確率は キ
であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ となる確率は ク であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\geqq 3\end{align*}}$ となる確率は
ケ である。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3\end{align*}}$ となる確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log 3\cdot 3^x\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{\log 3}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( 3\log 3\right)x+3-3\log 3\end{align*}}$
エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{3\log3}\ x+3+\frac{1}{3\log3}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{\log3}-6\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+9\log3\end{align*}}$
キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{36}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{18}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{9}\end{align*}}$
【解説】
(1)
f(x)=3xに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\underline{\ \log3\cdot 3^x\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^23^xdx=\left[\frac{3^x}{\log3} \right]_0^2=\underline{\ \frac{8}{\log3}\ }\end{align*}}$
接線L
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-3=\left(\log3 \right)\cdot 3\cdot\left(x-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{\ \left(3\log3 \right)\ x+3-3\log3\ }\end{align*}}$
法線m
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-3=-\frac{1}{3\log3}\left(x-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{\ -\frac{1}{3\log3}\ x+3+\frac{1}{3\log3}\ }\end{align*}}$
求める面積は、右図の水色部分なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\ 3^xdx-\int_0^2\left\{\left(3\log 3 \right)\ x+3-3\log 3 \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{\log3}-\left[ \frac{3\log3 }{2}\ x^2+\left(3-3\log3\right)x\right]_0^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{\log3}-6\ }\end{align*}}$ ．
法線mとx軸の交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3\log3}\ x+3+\frac{1}{3\log3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ 1+9\log3\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\end{align*}}$ の値を整理すると下表のようになる。
キ・・・ 表中に数値を記入してある部分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{14}{_9P_2}=\underline{\ \frac{7}{36}\ }\end{align*}}$
ク・・・ 表の緑色の部分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{20}{_9P_2}=\underline{\ \frac{5}{18}\ }\end{align*}}$
ケ・・・ 表のピンク色の部分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{_9P_2}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
コ・・・ ク、ケ以外の部分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{20+12}{_9P_2}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$
穴埋めなので説明はテキトーでスミマセン＾＾；；
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第2問
Aは0＜A＜$\small\sf{\pi}$ を満たす実数、n、kは正整数として、
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{A}{2n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\left(2k-1 \right)A}{2n}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\left(2k+1 \right)A}{2n}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ と極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\sin\frac{A}{2n}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{A}{2n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\cos \left( \frac{A}{2n}+\frac{kA}{n}\right)-\cos \left( \frac{A}{2n}-\frac{kA}{n}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left\{\cos \frac{\left(2k-1 \right)A}{2n}-\cos \frac{\left(2k+1 \right)A}{2n}\right\}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{A}{2n}\cdot\sum_{k=1}^n\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\sin\frac{A}{2n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left\{\cos \frac{\left(2k-1 \right)A}{2n}-\cos \frac{\left(2k+1 \right)A}{2n}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left( \cos\frac{A}{2n}-\cos\frac{3A}{2n}\right)+\frac{1}{2}\left( \cos\frac{3A}{2n}-\cos\frac{5A}{2n}\right)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\frac{1}{2}\left\{ \cos\frac{\left(2n-1 \right)A}{2n}-\cos\frac{\left(2n+1 \right)A}{2n}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{\cos \frac{A}{2n}-\cos\frac{\left(2n+1 \right)A}{2n}\right\}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\sin\frac{kA}{n}=\underline{\ \frac{1}{2\sin\frac{A}{2n}}\left\{\cos \frac{A}{2n}-\cos\frac{\left(2n+1 \right)A}{2n}\right\}\ }\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{A}{2n}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\sin\frac{A}{2n}=\lim_{\theta\rightarrow 0}\ \frac{A}{2\theta}\cdot \sin\theta=\underline{\ \frac{A}{2}\ }\end{align*}}$
(3)
区分求積法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\sin\frac{kA}{n}=\int_0^1\sin Ax\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[- \frac{1}{A}\cos Ax\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{A}\left(1-\cos A \right)\ }\end{align*}}$
(3)は、(2)の結論を使えということなんでしょうが、
面倒なので無視しました（笑）
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第3問
$\small\sf{\sf \theta_1\ ,\ \theta_2}$ 、a、bは$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、0＜a＜bを満たす実数とする。
連立不等式a2≦x2+y2≦b2、$\small\sf{0\leqq y\leqq (\tan\theta_1)x}$ の表す領域をDとし、
連立不等式a2≦x2+y2≦b2、$\small\sf{(\tan\theta_1)x\leqq y\leqq (\tan\theta_2)x}$ の表す領域
をEとする。次の問いに答えよ。
(1) Dをx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
(2) Eをx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Wを求めよ。
(3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta_2\rightarrow\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1} \end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
領域Dは、右図の水色部分であり、
直線y=(tan$\scriptsize\sf{\theta}$ 1)xと、2つの円x2+y2=a2 および
x2+y2=b2との第1象限内の共有点をそれぞれP、Q
とすると、P、Qのx座標はそれぞれacos$\scriptsize\sf{\theta}$ 1、bcos$\scriptsize\sf{\theta}$ 1
となる。
よって、Dの回転体の体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{a\cos\theta_1}^{b\cos\theta_1}\left\{\left(\tan\theta_1\right)x\right\}^2dx-\pi\int_{a\cos\theta_1}^a\left(a^2-x^2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\pi\int_{b\cos\theta_1}^b\left(b^2-x^2\right)dx\end{align*}}$
として求めることができる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{a\cos\theta_1}^{b\cos\theta_1}\left\{\left(\tan\theta_1\right)x\right\}^2dx=\left[\frac{\tan^2\theta_1}{3}\ x^3\right]_{a\cos\theta_1}^{b\cos\theta_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan^2\theta_1}{3}\cdot\left(b^3\cos^3\theta_1-a^3\cos^3\theta_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^2\theta_1\cos\theta_1}{3}\left(b^3-a^3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(1-\cos^2\theta_1\right)\cos\theta_1}{3}\left(b^3-a^3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{a\cos\theta_1}^a\left(a^2-x^2\right)dx=\left[a^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{a\cos\theta_1}^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a^3-\frac{1}{3}a^3\right)-\left(a^3\cos\theta_1-\frac{1}{3}a^3\cos^3\theta_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}a^3\left(2-3\cos\theta_1+\cos^3\theta_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{b\cos\theta_1}^b\left(b^2-x^2\right)dx=\frac{1}{3}b^3\left(2-3\cos\theta_1+\cos^3\theta_1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left\{\left(1-\cos^2\theta_1\right)\cos\theta_1+\left(2-3\cos\theta_1+\cos^3\theta_1\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left(1-\cos\theta_1\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V+W=\frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left(1-\cos\theta_2\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left(1-\cos\theta_2\right)-\frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left(1-\cos\theta_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\left(\cos\theta_1-\cos\theta_2\right)\ }\end{align*}}$
(3)
求める極限をLとすると、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{\theta_2\rightarrow\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\ \lim_{\theta_2\rightarrow\theta_1+0}\frac{\cos\theta_2-\cos\theta_1}{\theta_2-\theta_1}\end{align*}}$
であり、f ($\scriptsize\sf{\theta}$ )=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、f’($\scriptsize\sf{\theta}$ )=－sin$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta_2\rightarrow\theta_1+0}\frac{\cos\theta_2-\cos\theta_1}{\theta_2-\theta_1}=f\ '(\theta_1)=-\sin\theta_1\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\underline{\ \frac{2\pi}{3}\left(b^3-a^3\right)\ \sin\theta_1\ }\end{align*}}$
微分係数の定義は大丈夫ですか？
同志社ではよくあるパターンですので、常に意識しておいた方がいいですよ。
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第4問[ア]
i=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-1}\end{align*}}$ とし、zはzの共役複素数を表すとする。次の問いに答えよ。
(1) 複素数z=2+iに対して、複素数z1=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )zの値を求めよ。
(2) 実数kと複素数z=1+ti （tは実数）に対して、次の等式が成立
するk、tの組をすべて求めよ。
(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )z=kz
(3) 複素数w1に対し、w2、w2を
w2=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )w1、 w3=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )w2
によって定める。w3をw1を用いて表せ。
(4) 上の(1)で求めたz1に対して複素数zn （n=1，2，3，…）を
zn+1=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )zn （n=1，2，3，…）
によって定める。z2m-1 （m=1，2，3，…）をmを用いて表せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
z=2－iより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_1=\left(1+\sqrt3\ i \right)\left(2-i \right)=\underline{\ 2+\sqrt3+\left(2\sqrt3-1 \right)i\ }\end{align*}}$
(2)
z=1－tiより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\sqrt3\ i \right)\left(1-ti \right)=k\left(1+ti\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\sqrt3\ t-k+\left(\sqrt3-t-kt \right)i=0\end{align*}}$ ．
tは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt3\ t-k=\sqrt3-t-kt =0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k\ ,\ t \right)=\underline{\ \left( -2\ ,\ -\sqrt3\right)\ ,\ \left(2\ ,\ \frac{1}{\sqrt3}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_3=\left(1+\sqrt3\ i \right)\overline{\ \left( 1+\sqrt 3\ i\right)\overline{w_1}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+\sqrt3\ i \right)\left( 1-\sqrt 3\ i\right)\ w_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4w_1\ }\end{align*}}$
(4)
(3)と同様に、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_{n+2}=4z_n\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_{2m-1}=4\ z_{2m-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^2\ z_{2m-5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^{m-1}\ z_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4^{m-1}\left\{2+\sqrt3+ \left(2\sqrt3-1 \right)i\right\}\ }\end{align*}}$
計算していくだけです。
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第4問[イ]
行列Aを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) 行列Aの表す1次変換が点(2，1)を点P1に移すとする。
P1の座標を求めよ。
(2) 次の等式が成立する実数k，tの組をすべて求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{1}{t}=\binom{k}{kt}\end{align*}}$
(3) A2を求めよ。
(4) 行列An（n=1，2，3，…）の表す1次変換が点(2，1)を
点Pnに移すとする。P2m-1（m=1，2，3，…）の座標を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\binom{2}{1}=\binom{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\end{align*}}$
より、点P1の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_1\left(2+\sqrt3\ ,\ 2\sqrt3-1 \right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\binom{1}{t}=\binom{1+\sqrt3\ t}{\sqrt3-t}=\binom{k}{kt}\end{align*}}$
より、成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt3\ t-k=\sqrt3-t-kt =0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k\ ,\ t \right)=\underline{\ \left( -2\ ,\ -\sqrt3\right)\ ,\ \left(2\ ,\ \frac{1}{\sqrt3}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 4 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{2m-1}\binom{2}{1}=\left( A^2\right)^{m-1}A\binom{2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 4 \end{pmatrix}^{m-1}A\binom{2}{1}\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 4^{m-1}&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 4^{m-1} \end{pmatrix}\binom{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^{m-1}\binom{2+\sqrt3}{2\sqrt3-1}\end{align*}}$
となるので、点P2m-1の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_{2m-1}\left(4^{m-1}\left(2+\sqrt3\right)\ ,\ 4^{m-1}\left(2\sqrt3-1 \right)\right)\ }\end{align*}}$
これも計算するだけです。
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