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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015同志社大 理系(全学部日程) 数学1(1)



第1問

   次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の
   ついた    の中に記入せよ。

 (1) 関数f(x)=3xの導関数はf’(x)= ア  であり、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2f\ (x)\ dx\end{align*}}$ = イ  である。したがって、座標平面内において、
    点(1,3)における曲線C:y=f(x)の接線Lの方程式はy= ウ 
    であり、法線mの方程式はy= エ  である。さらに、曲線C、
    接線L、y軸と直線x=2で囲まれた部分の面積は オ  であり、
    法線mとx軸の交点の座標は( カ  ,0)である。

 (2) 1から9までの番号札9枚を入れた箱がある。その箱から番号札
    を1枚ずつ2回取り出して、その順にx、yとする。ただし、1度取り
    出した札はもとに戻さないとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\end{align*}}$ が整数になる確率は キ 
    であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ となる確率は ク  であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{x}\geqq 3\end{align*}}$ となる確率は
     ケ  である。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3\end{align*}}$ となる確率は コ  である。



2015同志社大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

   Aは0<A<$\small\sf{\pi}$ を満たす実数、n、kは正整数として、
   次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{A}{2n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\left(2k-1 \right)A}{2n}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\left(2k+1 \right)A}{2n}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ と極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\sin\frac{A}{2n}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\sin\frac{kA}{n}\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/02/09(月) 23:51:00|
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2015同志社大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  $\small\sf{\sf \theta_1\ ,\ \theta_2}$ 、a、bは$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、0<a<bを満たす実数とする。
  連立不等式a2≦x2+y2≦b2、$\small\sf{0\leqq y\leqq (\tan\theta_1)x}$ の表す領域をDとし、
  連立不等式a2≦x2+y2≦b2、$\small\sf{(\tan\theta_1)x\leqq y\leqq (\tan\theta_2)x}$ の表す領域
  をEとする。次の問いに答えよ。

 (1) Dをx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

 (2) Eをx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Wを求めよ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta_2\rightarrow\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1} \end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2015/02/10(火) 23:51:00|
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2015同志社大 理系(全学部日程) 数学4[ア]



第4問[ア]

  i=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-1}\end{align*}}$ とし、zはzの共役複素数を表すとする。次の問いに答えよ。

 (1) 複素数z=2+iに対して、複素数z1=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )zの値を求めよ。

 (2) 実数kと複素数z=1+ti (tは実数)に対して、次の等式が成立
    するk、tの組をすべて求めよ。
        (1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )z=kz

 (3) 複素数w1に対し、w2、w2
        w2=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )w1、 w3=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )w2
   によって定める。w3をw1を用いて表せ。

 (4) 上の(1)で求めたz1に対して複素数zn (n=1,2,3,…)を
        zn+1=(1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ i\end{align*}}$ )zn (n=1,2,3,…)
    によって定める。z2m-1 (m=1,2,3,…)をmを用いて表せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$

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  1. 2015/02/10(火) 23:54:00|
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2015同志社大 理系(全学部日程) 数学4[イ]



第4問[イ]

   行列Aを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
   とする。次の問いに答えよ。

 (1) 行列Aの表す1次変換が点(2,1)を点P1に移すとする。
    P1の座標を求めよ。

 (2) 次の等式が成立する実数k,tの組をすべて求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{1}{t}=\binom{k}{kt}\end{align*}}$

 (3) A2を求めよ。

 (4) 行列An(n=1,2,3,…)の表す1次変換が点(2,1)を
    点Pnに移すとする。P2m-1(m=1,2,3,…)の座標を
    求めよ。



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  1. 2015/02/10(火) 23:57:00|
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