第1問
平面上の原点を始点とするベクトルの列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\ ,\ \overrightarrow{\sf v_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf v_2}\ ,\ \ldots\end{align*}}$ は、
任意の自然数nに対し、関係式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}=\overrightarrow{\sf v_{n-1}}+\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$
をみたすとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ の式で表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}=\left(1\ ,\ 0\right)\ ,\ \overrightarrow{\sf v_1}=\left(0\ ,\ 1\right)\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ のなす角は135°
より小さいことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた関係式は、任意の自然数nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}=\overrightarrow{\sf v_{0}}+\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_2}=\overrightarrow{\sf v_{1}}+\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_3}=\overrightarrow{\sf v_{2}}+\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}=\overrightarrow{\sf v_{n-1}}+\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$
であり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}=\overrightarrow{\sf v_{0}}+n\left(\overrightarrow{\sf v_1}-\overrightarrow{\sf v_0}\right)=\underline{\ n\overrightarrow{\sf v_1}-\left(n-1\right)\overrightarrow{\sf v_0}\ }\end{align*}}$
(2)
・n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ とは90°の角をなすので題意を満たす。
・n≧2のとき
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}=n\left(0\ ,\ 1\right)-\left(n-1\right)\left(1\ ,\ 0\right)=\left(-n+1\ ,\ n\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf v_n}\right|=\sqrt{\left(n-1\right)^2+n^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\cdot\overrightarrow{\sf v_n}=-\left(n-1\right)\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_0}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_n}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ （0°≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦180°）と
おくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{-\left(n-1\right)}{1\cdot\sqrt{\left(n-1\right)^2+n^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{-\left(n-1\right)}{\sqrt{\left(n-1\right)^2+\left(n-1\right)^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\left(n-1\right)}{\sqrt2\ \left(n-1\right)}\ \ \ \left(\because\ n-1>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos 135^{\circ}\end{align*}}$
0°≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦180°の範囲で、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ は単調に減少するので、
0°≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜135°
以上より、題意は示された。
(2)は、図形的に考えることも可能です。
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- 2015/01/25(日) 23:57:00|
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第2問
座標平面において、2点P(p，p2)、Q(q，q2)を通る直線と
放物線y=x2で囲まれる部分の面積をSとする。ただし、
q＜pとする。a=p－q、b=p－qとおくとき、次の問いに答
えよ。
(1) Sをaで表せ。
(2) 線分PQの長さが1であるとき、Sをbで表せ。
(3) 2点P、Qが(2)の条件を満たしながら動くとき、Sの最大
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
p≠qより、直線PQの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-p^2=\frac{p^2-q^2}{p-q}\left(x-p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(p+q\right)x-pq\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_q^p\left\{\left(p+q\right)x-pq-x^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_q^p\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(p-q\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\ a^3\ }\end{align*}}$
(2)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\sqrt{\left(p-q\right)^2+\left(p^2-q^2\right)^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-q\right)^2+\left(p-q\right)^2\left(p+q\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+a^2b^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}\ \ (>0)\end{align*}}$
これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{1}{6\left(\sqrt{b^2+1}\right)^3}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より、Sが最大になるのは、 b2+1が最小になるとき、
すなわちb=0のときである。
よって、Sの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
これは外せません！
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- 2015/01/26(月) 23:57:00|
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第3問
実数の定数a、b （b＞0）に対し、2次方程式x2－2ax+b=0と
3次方程式x3－(2a2+b)x－4ab=0を考える。この2次方程式
の解のうち1つだけが、この3次方程式の解になるための必要十分
条件をaとbの関係式で表せ。また、その共通な解をaで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-2ax-b=0\ \ \ \ \ldots\ldots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3-\left(2a^2+b\right)x-4ab=0\ \ \ \ \ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)の左辺をそれぞれf(x)、g(x)とおく。
筆算を用いてg(x)をf(x)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=f\ (x) \ \left(x+2a\right)+2a^2x-2ab\ \ \ \ \ldots\ldots (*)\end{align*}}$
となり、(ⅰ)と(ⅱ)の共通解をpとおくと、
f(p)=g(p)=0
なので、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=0+2a^2p-2ab\ \ \Leftrightarrow\ \ a\left(ap-b\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=0\ \ or\ \ p=\frac{b}{a}\end{align*}}$
(ア) a=0のとき
(ⅰ)、(ⅱ)はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{b}\ \ \ \left(\because \ b>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3-bx=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{b}\ ,\ 0\end{align*}}$
となり、共通な解を2つもつので不適。
(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{b}{a}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-3b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=3a^2\ \ \left(\because\ b\ne 0\right)\end{align*}}$ ．
逆にこのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2ax-3a^2=\left(x-3a\right)\left(x+a\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=3a\ ,\ -a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^3-5a^2x-12a^3=\left(x-3a\right)\left(x^2+3ax+4a^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=3a\ ,\ \frac{-3a\pm\sqrt{7a^2}\ i}{2}\end{align*}}$
であり、aは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a\ne\frac{-3a\pm\sqrt{7a^2}\ i}{2}\end{align*}}$ ．
よって、(ⅰ)と(ⅱ)はただ1つの共通解を持つことになるので、
題意を満たす。
以上より、(ⅰ)と(ⅱ)が共通解をただ1つ持つための必要十分条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b=3a^2\ }\end{align*}}$
であり、そのときの共通解は、x=3aである。
a=0の場合を忘れないように。
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- 2015/01/27(火) 23:57:00|
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第4問
さいころを投げたとき、3の目が出れば得点は－3、その他の
目が出れば得点はその目の数とする。さいころを4回投げた
とき、次の問いに答えよ。
(1) 得点の和が0となる確率を求めよ。
(2) 得点の和が正となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
目の出方の総数は、64通りある。
(1)
(ア) 3の目が4回出るとき
得点の和は－12点
(イ) 3の目が3回出るとき
得点の和の最大値は
－3－3－3+6=－3点
なので、得点の和は常に負である。
(ウ) 3の目が2回出るとき
得点の和が0になるのは
－3－3+1+5=0
－3－3+2+4=0
の2つの場合がある。
よって、4つの目の出方の順列は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4!}{2!}\cdot 2=24\end{align*}}$ 通り
(エ) 3の目が1回出るとき
得点の和が0になるのは
－3+1+1+1=0
の場合のみである。
よって、4つの目の出方の順列は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4!}{3!}=4\end{align*}}$ 通り
(オ) 3の目が1回も出ないとき
明らかに得点の和は正である。
(ア)～(オ)より、得点の和が0になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{24+4}{6^4}=\frac{28}{1296}=\underline{\ \frac{7}{324}\ }\end{align*}}$
(2)
得点の和が負になる場合を考える。
(ア) 3の目が4回出るとき
得点の和は負であり、目の出方は1通り
(イ) 3の目が3回出るとき
得点の和は常に負であり、目の出方は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4!}{3!}\cdot 5=20\end{align*}}$ 通り
(ウ) 3の目が2回出るとき
得点の和が負になるのは
－3－3+1+1=－4
－3－3+2+2=－2
－3－3+1+2=－3
－3－3+1+4=－1
の4つの場合がある。
よって、順序も考慮に入れると、4つの目の出方は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4!}{2!\ 2!}\cdot 2+\frac{4!}{2!}\cdot 2=36\end{align*}}$ 通り
(エ) 3の目が1回出るとき
得点の和の最小値が
－3+1+1+1=0点
なので、負にはならない。
これらより、得点の和が負になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+20+36}{6^4}=\frac{57}{1296}\end{align*}}$
となるので、これと（1）より、得点の和が正になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{28}{1296}+\frac{57}{1296}\right)=\underline{\ \frac{1211}{1296}\ }\end{align*}}$
(2)は、直接求めるより余事象を考える方が楽です。
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- 2015/01/28(水) 23:57:00|
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