第1問
次の問いに答えよ。
(1) 自然数a、b、c、dに
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}=\frac{c}{a}+d\end{align*}}$
の関係があるとき、aとcが互いに素であれば、aとbも互いに素
であることを証明せよ。
(2) 任意の自然数nに対し、28n+5と21n+4は互いに素であること
を証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
aとbが1でない公約数mをもつと仮定すると、
自然数A、Bを用いて
a=mA、 b=mB
と表すことができる。
このとき与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{mB}{mA}=\frac{c}{mA}+d\ \ \Leftrightarrow\ \ mB=c+mdA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=m\left(B-dA\right)\end{align*}}$
となり、cもmを約数にもつことになる。
これは、aとcが互いに素であることに矛盾するので、
aとbは互いに素である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{28n+5}{21n+4}=\frac{7n+1}{21n+4}+1\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{21n+4}{7n+1}=\frac{1}{7n+1}+3\end{align*}}$ ……(ⅱ)
nは自然数なので、7n+1、21n+4、28n+5は
すべて自然数である。
(ⅱ)において、1と7n+1は互いに素なので、(1)より
7n+1と21n+4も互いに素である。
これより、(ⅰ)において、(1)の結果を用いると、
28n+5と21n+4も互いに素である。
(1)互いに素であることの証明は、背理法が書きやすいです。
(2) (1)の結論を2連発です！
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- 2015/01/21(水) 23:57:00|
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第2問
複素数平面において、点iを通り、実軸に平行な直線をLとする。
ただし、iは虚数単位とする。複素数zが直線L上を動くとき、複素
数w=iz4は下図の曲線C上を動く。ここで、w1、w2、w3、w4は
実数で、w5、w6は純虚数である。いま、zがL上を右から左の方
向に動くとき、複素数w=iz4は、曲線C上の点w1、w2、w3、w4、
w5、w6をどの順序で通過して動くかを説明せよ。また、複素数w1
とw6の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
直線L上の点zは、実数xを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=x+i\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=i\left(x+i\right)^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =i\left\{\left(x^2-1\right)+2xi\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =i\left\{\left(x^4-2x^2+1\right)+4x\left(x^2-1\right)i-4x^2\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-4x\left(x^2-1\right)+\left(x^4-6x^2+1\right)i\end{align*}}$
・wが実数になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^4-6x^2+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=3\pm2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{3\pm2\sqrt2}=\pm\left(\sqrt2\pm 1\right)\end{align*}}$ （複号任意）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt2+1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=-4\left(\sqrt2+1\right)\left(3+2\sqrt2-1\right)=-8\left(3+2\sqrt2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt2-1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=-4\left(\sqrt2-1\right)\left(3-2\sqrt2-1\right)=8\left(3-2\sqrt2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\sqrt2+1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=-4\left(-\sqrt2+1\right)\left(3-2\sqrt2-1\right)=-8\left(3-2\sqrt2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\sqrt2-1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=-4\left(-\sqrt2-1\right)\left(3+2\sqrt2-1\right)=8\left(3+2\sqrt2\right)\end{align*}}$
これら4つのwがw1、w2、w3、w4のいずれかであり、
w1＜w2＜w3＜w4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_1=-8\left(3+2\sqrt2\right)\ \ ,\ \ w_2=-8\left(3-2\sqrt2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_3=8\left(3-2\sqrt2\right)\ \ ,\ \ w_4=8\left(3+2\sqrt2\right)\end{align*}}$
・wが純虚数になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4x\left(x^2-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \pm 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\end{align*}}$ に対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm 1\end{align*}}$ に対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=-4i\end{align*}}$
これら2つのwがw5、w6のいずれかであり、w6＜w5なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_5=i\ \ ,\ \ w_6=-4i\end{align*}}$
zが直線上Lを右から左へ動くとき、実部xの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2+1\ \rightarrow 1\ \rightarrow \sqrt2-1\ \rightarrow 0\ \rightarrow -\sqrt2+1\ \rightarrow -1\ \rightarrow -\sqrt2-1\end{align*}}$
の順に変化するので、wは曲線C上を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ w_1\ \rightarrow w_6\ \rightarrow w_3\ \rightarrow w_5\ \rightarrow w_2\ \rightarrow w_6\ \rightarrow w_4\ }\end{align*}}$
の順に動くことになる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ w_1=-8\left(3+2\sqrt2\right)\ \ ,\ \ w_6=-4i\ }\end{align*}}$
大小を比較しなければならないので、
結局w1～w6のすべての値を求める必要があります。
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- 2015/01/22(木) 23:57:00|
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第3問
実数aは0＜a＜4をみたすとする。座標平面において、2曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{a}\cos x\ \ ,\ \ C_2:\ y=\sin 2x\end{align*}}$
の交点で、そのx座標が0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ となるものをPとする。
点Pにおいて、C1の接線とC2の接線のなす角を$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
とする。次の問いに答えよ。
(1) tan$\small\sf{\theta}$ をaで表せ。
(2) aが0＜a＜4の範囲を動くとき、$\small\sf{\theta}$ が最大になるようなaの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pのx座標をp （0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a}\cos p=\sin 2p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a}\cos p=2\sin p\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin p=\frac{\sqrt a}{2}\ \ \ \left(\because\ \cos p\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(#)
C1、C2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=-\sqrt a\sin x\ \ ,\ \ y\ '=2\cos 2x\end{align*}}$
なので、PにおけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2
とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y=-\sqrt{a}\left(\sin p\right)\left(x-p\right)+\sqrt a\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y=2\left(cos 2p\right)\left(x-p\right)+\sin 2p\end{align*}}$
L1、L2がx軸正方向となす角をそれぞれ$\scriptsize\sf{\theta}$ 1、$\scriptsize\sf{\theta}$ 2とおくと、
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_1=-\sqrt a\sin p=-\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_2=2\cos 2p=2\left(1-2\sin^2p\right)=2-a\end{align*}}$
L1とL2がなす角が$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\left|\tan\left(\theta_2-\theta_1\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{\left(2-a\right)-\left(-\frac{a}{2}\right)}{1+\left(2-a\right)\cdot\left(-\frac{a}{2}\right)}\right|\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{4-a}{a^2-2a+2}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4-a}{a^2-2a+2}\ }\ \ \left(\because\ 0\lt a<4\ ,\ a^2-2a+2=\left(a-1\right)^2+1>0\right)\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan\theta}=\frac{a^2-2a+2}{4-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a-2+\frac{10}{4-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4-a\right)+\frac{10}{4-a}-6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\left(4-a\right)\cdot\frac{10}{4-a}}-6\end{align*}}$ ←4－a＞0より相加相乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{10}-6\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta\leqq \frac{1}{2\sqrt{10}-6}\end{align*}}$
となるので、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ の最大値は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2\sqrt{10}-6}\end{align*}}$ である。
tan$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大になるのは、相加・相乗平均の等号が成立する
ときなので、aの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-a=\frac{10}{4-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4-a=\sqrt{10}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\ 4-\sqrt{10}\ }\end{align*}}$
(1) 絶対値を付けておきましょう
(2) tan$\scriptsize\sf{\theta}$ をaで微分しても構いません。
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- 2015/01/23(金) 23:57:00|
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第4問
自然数p、nに対し、座標平面において、曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x^p\end{align*}}$ と
直線y=0、x=2nで囲まれる部分（境界も含む）に含まれ
ている格子点の個数をLp(n)とする。ここで、格子点とは
x座標、y座標がともに整数の点である。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf L_p(n)=1+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{2n}k^p\end{align*}}$ であることを示せ。
(2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{L_p(n)}{n^{p+1}}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{2}x^p\end{align*}}$ とおき、y=f(x)、y=0、x=2nで囲まれる領域
（境界も含む）をDとおく。
(1)
(ⅰ) x=2k （0≦k≦n）のとき
(2k)pは偶数なので、f(2k)は整数となる。
よって、D内でx=2kとなる格子点は、y座標が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=0\ ,\ 1\ ,\ \ldots\ ,\ \frac{1}{2}\left(2k\right)^p\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(2k\right)^p+1\end{align*}}$ 個ある。
(ⅱ) x=2k－1 （1≦k≦n）のとき
(2k－1)pは奇数なので、f(2k－1)は整数とならない。
よって、D内でx=2k－1となる格子点は、y座標が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=0\ ,\ 1\ ,\ \ldots\ ,\ \frac{1}{2}\left\{\left(2k-1\right)^p-1\right\}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left\{\left(2k-1\right)^p-1\right\}+1=\frac{1}{2}\left(2k-1\right)^p+\frac{1}{2}\end{align*}}$ 個ある。
以上より、D内にある格子点の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_p(n)=\sum_{k=0}^n\left\{\frac{1}{2}\left(2k\right)^p+1\right\}+\sum_{k=1}^n\left\{\frac{1}{2}\left(2k-1\right)^p+\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\sum_{k=1}^n\left\{\frac{1}{2}\left(2k\right)^p+\frac{1}{2}\left(2k-1\right)^p+\frac{3}{2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left\{\left(2k-1\right)^p+\left(2k\right)^p\right\}\end{align*}}$
と表される。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left\{\left(2k-1\right)^p+\left(2k\right)^p\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1^p+2^p\right)+\left(3^p+4^p\right)+\ldots +\left\{\left(2n-1\right)^p+\left(2n\right)^p\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{2n}k^p\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_p(n)=1+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{2n}k^p\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(2)
求める極限をLとすると、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{2n}k^p}{n^{p+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{p+1}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{2 n^{p\ }}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k^p}{n^p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+0+\lim_{2n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\left(\frac{k}{2n}\right)^p\cdot 2^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2^p\int_0^1x^pdx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2^p\left[\frac{1}{p+1}x^p\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2^p}{p+1}\ }\end{align*}}$
(1) 面倒ですが偶奇で場合分けが必要です。
(2) 区分求積法です。
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- 2015/01/24(土) 23:57:00|
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