第５問
n、a、bを0以上の整数とする。a、bを未知数とする方程式
(＊) a2＋b2＝2n
を考える。
(１) n≧2とする。a、bが方程式(＊)を満たすならば、a、bは
ともに偶数であることを証明せよ。（ただし、0は偶数に
含める。）
(２) 0以上の整数nに対して、方程式(＊)を満たす0以上の
整数の組(a，b)をすべて求めよ。
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【解答】
(＊) a2＋b2＝2n
(１)
・a、bの一方が奇数、他方が偶数のとき
(奇数)2＋(偶数)2＝奇数
となり、明らかに(＊)は成り立たない。
・a、bがともに奇数のとき
a＝2A＋1、 b＝2B＋1 （A、Bは0以上の整数）
とおくと、
a2＋b2＝4(A2＋A＋B2＋B)＋2
となり、a2＋b2は4で割って2余る数になる。
n≧2のとき、2nは4の倍数となので、(＊)は成り立たない。
以上より、a、bが(＊)を満たすとき、a、bはともに偶数である。
(２)
(ⅰ) n＝0のとき
(＊) a2＋b2＝20＝1
となるので、これを満たす0以上の整数a、bの組は、
(a，b)＝(0，1)、(1，0)
(ⅱ) n＝1のとき
(＊) a2＋b2＝2
となるので、これを満たす0以上の整数a、bの組は、
(a，b)＝(1，1)
(ⅲ) nが2以上の偶数のとき
n＝2N （N：1以上の整数）とおくと、
(＊) a2＋b2＝22N
このとき、(１)よりa、bはともに偶数なので
a＝2a1、 b＝2b1
とおくと、
(2a1)2＋(2b1)2＝22N ⇔ a12＋b12＝22(N-1)
N－1≧1のとき、(１)よりa1、b1はともに偶数なので
a1＝2a2、 b1＝2b2
とおくと、
(2a2)2＋(2b2)2＝22(N-1) ⇔ a22＋b22＝22(N-2)
以下も同様に、
a2＝2a3、a3＝2a4、・・・・、aN-1＝2aN
b2＝2b3、b3＝2b4、・・・・、bN-1＝2bN
とおいて、同じ操作を繰り返すと、
aN2＋bN2＝22(N-N)＝1
を得る。
このとき(ⅰ)より、(aN，bN)＝(0，1)、(1，0)
であり、
a＝2a1＝22a2＝・・・＝2NaN
b＝2b1＝22b2＝・・・＝2NbN
なので、
(a，b)＝(0，2N)、(2N，0)
(ⅳ) nが2以上の奇数のとき
n＝2N＋1 （N：1以上の整数）とおくと、
(＊) a2＋b2＝22N+1
となり、(ⅲ)と同様に考えると、
aN2＋bN2＝22(N-N)+1＝2
を得る。
このとき(ⅱ)より、(aN，bN)＝(1，1)
なので、
(a，b)＝(2N，2N)
(ⅰ)、(ⅲ)より、nが偶数のとき
=\underline{\ \left(0\ ,\ 2^{\frac{n}{2}}\right)\ \ ,\ \ \left(2^{\frac{n}{2}}\ ,\ 0\right)\ })
(ⅱ)、(ⅳ)より、nが奇数のとき
=\underline{\ \left(2^{\frac{n-1}{2}}\ ,\ 2^{\frac{n-1}{2}}\right)\ })
これは書きにくい問題ですね。
(２)は(１)を上手く使う必要があります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/01/20(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2004
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