青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

2004京都大　理系数学１

第１問

　　　　　　　　　 $\rm f\ (\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\theta$
　　　とする。0≦θ≦ $\rm \frac{3}{4}\pi$ におけるf(θ)の最大値および最小値を
　　　求めよ。

解答はこちら↓

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/11(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

2004京都大　理系数学２

第２問

　　a＞0とし、x＞0で定義された関数
　　　　　　　　　 $\rm f\ (x)=\left(\frac{e}{x^a}-1\right)\frac{\log x}{x}$
　　を考える。y＝f(x)のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積を
　　aで表せ。ただし、eは自然対数の底である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
　　　　
　　　a＞0、x＞0より
　　　　　　　　 $\rm \frac{e}{x^a}-1>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^a<e\ \ \Leftrightarrow\ \ x<e^{\frac{1}{a}}$
　　　であり、
　　　　　　　　 $\rm e^{\frac{1}{a}}=A$
　　　とおくことにすると、1＜e、0＜aより1＜Aとなる。

　　　　　・0＜x＜1のとき
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{e}{x^a}-1>0\ \ ,\ \ \log x<0$ 　よりf(x)＜0
　　　　　・1＜x＜Aのとき
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{e}{x^a}-1>0\ \ ,\ \ \log x>0$ 　よりf(x)＞0
　　　　　・A＜xのとき
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{e}{x^a}-1<0\ \ ,\ \ \log x>0$ 　よりf(x)＜0

　　　よって、求める部分の面積をSとすると、
　　　　　　　 $\rm S=\int_1^A\left(\frac{e}{x^a}-1\right)\frac{\log x}{x}\ dx$
　　　となる。
　　　ここで、 $\rm t=\log x$ と置換すると、
　　　　　　　　 $\rm \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$
　　　であり、x：1→Aに対して、t：0→ $\rm \frac{1}{a}$ となるので、
　　　　　　　 $\rm S=\int_0^{1/a}\left(\frac{e}{\left(e^t\right)^a}-1\right)\frac{t}{x}\cdot xdt$
　　　　　　　　 $\rm =e\int_0^{1/a}te^{-at}dt-\int_0^{1/a}t\ dt$
　　　　　　　　 $\rm =e\left[-\frac{1}{a}te^{-at}\right]_0^{1/a}+\frac{e}{a}\int_0^{1/a}e^{-at}dt-\left[\frac{1}{2}t^2\right]_0^{1/a}$
　　　　　　　　 $\rm =\left[-\frac{e}{a}te^{-at}-\frac{e}{a^2}e^{-at}-\frac{1}{2}t^2\right]_0^{1/a}$
　　　　　　　　 $\rm =\left(-\frac{e}{a^2}e^{-1}-\frac{e}{a^2}e^{-1}-\frac{1}{2a^2}\right)-\left(0-\frac{e}{a^2}e^{0}-0\right)$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{1}{a^2}\left(e-\frac{5}{2}\right)\ }$

　　ｘ軸との上下関係さえ分かればよいので、微分する必要はありません。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/12(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

2004京都大　理系数学３

第３問

　　nを2以上の自然数とする。x²ⁿを $\rm x^2-x+\frac{n-1}{n^2}$ で割った余りを
　　a_nx＋b_nとする。すなわち、多項式P_n(x)があって、
　　　　　　　　　 $\rm x^{2n}=P_n(x)\left(x^2-x+\frac{n-1}{n^2}\right)+a_nx+b_n$
　　が成り立っているとする。 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　 $\rm x^2-x+\frac{n-1}{n^2}=x^2-x+\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)=\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-1+\frac{1}{n}\right)$
　　　となるので、与式は
　　　　　　　　　 $\rm x^{2n}=P_n(x)\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-1+\frac{1}{n}\right)+a_nx+b_n$
　　　と変形できる。
　　　これに $\rm x=\frac{1}{n}$ および $\rm x=1-\frac{1}{n}$ を代入すると、

　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{n}\right)^{2n}=\frac{a_n}{n}+b_n$ 　　……(ⅰ)
　　　　　　　　 $\rm \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}=\left(1-\frac{1}{n}\right) a_n+b_n$ 　　……(ⅱ)
　　　となり、これら2式の差をとると、
　　　　　　　　 $\rm \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}-\left(\frac{1}{n}\right)^{2n}=\left(1-\frac{2}{n}\right) a_n$ 　　……(#)

　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}= \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\right\}^{-2}=\frac{1}{e^2}$
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{2n}= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2n}}=0$
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}=0$
　　　なので、(#)より
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right) a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}-\left(\frac{1}{n}\right)^{2n}\right\}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\underline{\ \frac{1}{e^2}\ }$ ．
　　　これと(ⅰ)より
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ 　
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\underline{\ 0\ }$

　　1行目の因数分解に気づくかが勝負の分かれ目です！　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/13(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

2004京都大　理系数学４

第４問

　　行列A、Bを
　　　　　　　　　 $\rm A=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 0 \\ \rm 1 & \rm 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \rm a&\rm 0 \\ \rm 0 & \rm b \end{pmatrix}$
　　とする。次の(＊)が成り立つための実数a、bについての
　　必要十分条件を求めよ。
　　　(＊) どんな2次正方行列Yに対しても、2次正方行列Xで、
　　　　　　AX－XB＝Yとなるものがある。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　行列X、Yを
　　　　　　　　　 $\rm X=\begin{pmatrix} \rm x&\rm y \\ \rm z & \rm w \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Y=\begin{pmatrix} \rm p&\rm q \\ \rm r & \rm s \end{pmatrix}$
　　とおくと、
　　　　　　　　 $\rm Y=AX-XB$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \rm p&\rm q \\ \rm r & \rm s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 0 \\ \rm 1 & \rm 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rm x&\rm y \\ \rm z & \rm w \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \rm x&\rm y \\ \rm z & \rm w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rm a&\rm 0 \\ \rm 0 & \rm b \end{pmatrix}$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\begin{pmatrix} \rm 2x-a x&\rm 2y-b y \\ \rm x+z-a z & \rm y+w-b w \end{pmatrix}$
　　両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　　 $\rm p=\left(2-a\right)x$ 　　……(ⅰ)
　　　　　　　　 $\rm q=\left(2-b\right)y$ 　　……(ⅱ)
　　　　　　　　 $\rm r=x+\left(1-a\right)z$ 　　……(ⅲ)
　　　　　　　　 $\rm s=y+\left(1-b\right)w$ 　　……(ⅳ)

　　a＝2のときは、(ⅰ)が任意のpに対して成り立つわけではないので
　　a≠2であり、このとき、
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{p}{2-a}$ ．
　　これを(ⅲ)に代入すると、
　　　　　　　　 $\rm \left(1-a\right)z=r-\frac{p}{2-a}$ 　　……(ⅲ)’
　　a＝1のときは、(ⅲ)’が常に成り立つわけではないので、
　　a≠1であり、
　　　　　　　　 $\rm z=\frac{r}{1-a}-\frac{p}{\left(1-a\right)\left(2-a\right)}$ ．

　　(ⅱ)、(ⅳ)についても同様に考えると、b≠1，2である必要があり、
　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm y=\frac{q}{2-b}\ \ ,\ \ w=\frac{s}{1-b}-\frac{q}{\left(1-b\right)\left(2-b\right)}$

　　逆に、a≠1，2 かつ b≠1，2のとき
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{p}{2-a}\ \ ,\ \ y=\frac{q}{2-b}$
　　　　　　　　 $\rm z=\frac{r}{1-a}-\frac{p}{\left(1-a\right)\left(2-a\right)}\ \ ,\ \ w=\frac{s}{1-b}-\frac{q}{\left(1-b\right)\left(2-b\right)}$
　　は、(ⅰ)～(ⅳ)すべて満たすことになるので、
　　(＊)を満たすための必要十分条件は、
　　　　　　　　a≠1，2 かつ b≠1，2
　　である。

　　ちゃんと十分性についても言及しておきましょう。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/14(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

2004京都大　理系数学５

第５問

　　複素数αに対してその共役複素数αであらわす。aを実数
　　ではない複素数とする。複素平面内の円Cが1，－1，aを
　　通るならば、Cは $\rm -\frac{1}{\overline{a}}$ も通ることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　円Cの中心を表す複素数をz、円の半径をrとおくと、
　　　点1，－1，aは円C上にあるので、
　　　　　　　　 $\rm r=\left|z-1\right|=\left|z+1\right|=\left|z-a\right|$ 　　……(#)
　　　(#)より
　　　　　　　　 $\rm \left|z-1\right|^2=\left|z+1\right|^2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z-1\right)\left(\overline{z}-1\right)=\left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}-z-\overline{z}+1=z\overline{z}+z+\overline{z}+1$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ z+\overline{z}=0$ 　　……(ⅰ)

　　　(#)と(ⅰ)より
　　　　　　　　 $\rm \left|z+1\right|^2=\left|z-a\right|^2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)=\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}+z+\overline{z}+1=z\overline{z}-\overline{a}z-a\overline{z}+a\overline{a}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a}z+a\overline{z}+1=a\overline{a}$ 　　　……(ⅱ)　

　　　さらに(#)と(ⅰ)より
　　　　　　　　 $\rm r^2=\left|z+1\right|^2=z\overline{z}+z+\overline{z}+1=z\overline{z}+1$ 　　……(ⅲ)

　　　以上より
　　　　　　　　 $\rm \left|z+\frac{1}{\overline{a}}\right|^2=\left(z+\frac{1}{\overline{a}}\right)\left(\overline{z}+\frac{1}{a}\right)$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =z\overline{z}+\frac{z}{a}+\frac{\overline{z}}{\overline{a}}+\frac{1}{a\overline{a}}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =z\overline{z}+\frac{\overline{a}z+a\overline{z}+1}{a\overline{a}}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =z\overline{z}+\frac{a\overline{a}}{a\overline{a}}$ 　　←(ⅱ)より
　　　　　　　　　　　　 $\rm =z\overline{z}+1$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =r^2$ 　　←(ⅲ)より
　　　となるので、点 $\rm -\frac{1}{\overline{a}}$ も円C上にある。

　　点aに対して点 $\rm {\color{blue}-\frac{1}{\overline{a}}}$ は下図の位置にあります。　

　　　　　　　　
　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/15(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

2004京都大　理系数学６

第６問

　　Nを自然数とする。N＋1個の箱があり、1からN＋1までの番号が
　　付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの
　　箱に入っている玉は白玉で、番号N＋1の箱に入っている玉は赤玉
　　である。次の操作(＊)を、おのおのk＝1，2，・・・，N＋1に対して、
　　kが小さい方から順番に1回ずつ行う。

　　(＊) k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と
　　　　番号kの箱の中身を交換する。（ただし、N個の箱から1個の箱を
　　　　選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。）

　　操作がすべて終了した後、赤玉が番号N＋1の箱に入っている確率を
　　求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　N＋1回目の操作の後に赤球が箱N＋1に入っている条件は、
　　　　(ア)N回目の操作の後に赤球が箱N＋1以外に入っており、
　　　　(イ)N＋1回目の操作で赤球が箱N＋1に入る。

　　(ア)について、
　　　　1～N回目の操作中に少なくとも1回、箱N＋1が選ばれれば
　　　　よいので、その確率は $\rm 1-\left(\frac{N-1}{N}\right)^N$

　　(イ)について、
　　　　N＋1回目の操作で、箱N＋1に入っている白球と箱1～Nの
　　　　いずれかに入っている赤球が入れかわればよいので、
　　　　確率は $\rm \frac{1}{N}$

　　以上より、求める確率は、
　　　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ \frac{1}{N}\left\{1-\left(\frac{N-1}{N}\right)^N\right\}\ }$

　　まずは、少ない数で実験してみましょう。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2015/01/16(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2004

| トラックバック:0

| コメント:0

日	月	火	水	木	金	土
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	-	-	-	-

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2004京都大　理系数学１

2004京都大　理系数学２

2004京都大　理系数学３

2004京都大　理系数学４

2004京都大　理系数学５

2004京都大　理系数学６

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004京都大 理系数学１

2004京都大 理系数学２

2004京都大 理系数学３

2004京都大 理系数学４

2004京都大 理系数学５

2004京都大 理系数学６

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2004京都大　理系数学１

2004京都大　理系数学２

2004京都大　理系数学３

2004京都大　理系数学４

2004京都大　理系数学５

2004京都大　理系数学６