青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2014

2014センター試験　数学ⅡB １[１]

第１問

　　　　　

　

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2015/01/06(火) 22:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2014

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2014センター試験　数学ⅡB１[２]

第１問

　　　　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm \log_2m^3+\log_3n^2\leq 3$ 　　　……④
　　　
　　m＝2、n＝1のとき
　　　　　　　　 $\rm \log_22^3+\log_31^2=3+0=\underline{\ 3\ }$ 　　……ア
　　m＝4、n＝3のとき
　　　　　　　　 $\rm \log_24^3+\log_33^2=6+2=\underline{\ 8\ }$ 　　……イ

　　④を変形すると、
　　　　　　　　 $\rm 3\log_2m+2\log_3n\leq 3$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \log_2m+\frac{2}{3}\log_3n\leq 1\ }$ 　　……チツテ
　　　n≧1より
　　　　　　　　 $\rm \log_3n\geq \log_31=0$
　　　となるので、log₃mの最小値は0である。　……ト
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \log_2m\leq1$
　　　より、自然数mの値はm＝1，2 となる。　　……ナニ

　　
　　　m＝1のとき
　　　　　　　　 $\rm \log_21+\frac{2}{3}\log_3n\leq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_3n\leq\underline{\ \frac{3}{2}\ }$ 　　……ヌネ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ n^2\leq 3^3=\underline{\ 27\ }$ 　　……ノハ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ n\leq \underline{\ 5\ }$ （nは自然数）　　……ヒ

　　　m＝2のとき
　　　　　　　　 $\rm \log_22+\frac{2}{3}\log_3n\leq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_3n\leq 0$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ n\leq\underline{\ 1\ }$ 　　……フ

　　以上より、④を満たす自然数m、nの組の個数は
　　　　　　　　5＋1＝6　　……ヘ
　　である。

　　いちいち書いてませんが、a＞1のとき、
　　　　　　　　　0＜p＜q　 ⇔　 log_ap＜log_aq
　　です。

　　　　　

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2015/01/07(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2014

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2014センター試験　数学ⅡB２

第２問

　　　　　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm f\ (x)=x^3-px$

　(１)
　　　f(x)の導関数は、　
　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=\underline{\ 3x^2-p\ }$ 　　……アイ
　　　なので、f(x)がx＝aで極値をとるとき、
　　　　　　　　 $\rm f\ (a)=3a^2-p=\underline{\ 0\ }$ 　　……ウ
　　　であり、x＝aの前後でf’(x)の符号が変わればよいので、
　　　p＞0である。　　……エ

　(２)
　　　題意より
　　　　　　　　 $\rm f\ '\left(\frac{p}{3}\right)=\frac{p^2}{3}-p=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=3\ \ \left(\because\ p>0\right)\ }$ 　　……オ
　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm f\ (x)=3x^2-3=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 1$
　　　であり、桁数から判断して（笑）、
　　　　　　　　x＝－1で極大値、x＝1で極小値をとる。　　……カキク

　　　
　　　また、
　　　　　　　　 $\rm f\ '(b)=3b^2-3$
　　　より、点(b，f(b))における接線Lの方程式は
　　　　　　 $\rm y=\underline{\ \left(3b^2-3\right)\left(x-b\right)+f\ (b)\ }=\left(3b^2-3\right)x-2b^3$ 　　……ケコ
　　　と表せる。
　　　これが点A(1，－2)を通るので、
　　　　　　　　 $\rm -2=3b^2-3-2b^3$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2b^3-3b^2+1\ }=\left(b-1\right)^2\left(2b+1\right)=0$ 　　……サシ
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\underline{\ 1\ ,\ -\frac{1}{2}\ }$ 　　……ス～タ
　　　b＝1のときは、f’(b)＝0となり不適なので、
　　　求めるLの方程式は
　　　　　　　　 $\rm y=\left\{3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-3\right\}x-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ -\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}\ }$ 　　……チ～ナ

　　　さらに続きます。
　　　Aを頂点とする放物線Dは、0でない実定数kを用いて
　　　　　　　　 $\rm y=k\left(x-1\right)^2-2$
　　　と表すことができ、これが原点を通るので、
　　　　　　　　 $\rm 0=k\cdot (-1)^2-2\ \ \Leftrightarrow\ \ k=2$ ．
　　　よって、Dの方程式は
　　　　　　　　 $\rm D:\ y=2\left(x-1\right)^2-2=\underline{\ 2x^2-4x\ }$ 　　……ニヌ
　　　DとLの位置関係は右図のようになるので、
　　　　　　　 $\rm S=\int_0^1\left\{\left(-\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}\right)-\left(2x^2-4x\right)\right\}dx$
　　　　　　　　 $\rm =\int_0^1\left\{-2x^2+\frac{7}{4}x+\frac{1}{4}\right\}dx$
　　　　　　　　 $\rm =\left[-\frac{2}{3}x^3+\frac{7}{8}x^2+\frac{1}{4}x\right]_0^1$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{11}{24}\ }$

　　センターの数ⅡBは時間がキツイですよね・・・・　　

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2015/01/08(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2014

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2014センター試験　数学ⅡB３

第３問

　　　　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　題意より
　　　　　　　　 $\rm a_2=6+9=\underline{\ 15\ }\ \ ,\ \ a_3=15+\left(9+4\right)=\underline{\ 28\ }$ 　　･･････ア～エ
　　　{a_n}の階差数列の一般項は
　　　　　　　　 $\rm 9+4\left(n-1\right)=\underline{\ 4n+5\ }$ 　　･･････オカ
　　　これとa₁＝6より
　　　　　　　　 $\rm a_n=6+\sum_{k=1}^{n-1}\left(4k+5\right)$
　　　　　　　　　 $\rm =6+\frac{4}{2}\left(n-1\right)n+5\left(n-1\right)$
　　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 2n^2+3n+1\ }$ 　　･･････キ～コ
　　　n＝1、2代入。計算が合ってるか確認して次へ！

　(２)
　　　　　　　　 $\rm b_1=\frac{2}{5}\ \ ,\ \ b_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n+1}-1}\ b_n$ 　　･･････②
　　　より
　　　　　　　　 $\rm b_2=\frac{a_1}{a_2-1}b_1=\frac{6}{15-1}\cdot\frac{2}{5}=\underline{\ \frac{6}{35}\ }$ 　　･･････サシス
　　　②と(１)より
　　　　　　　　 $\rm b_{n+1}=\frac{2n^2+3n+1}{2\left(n+1\right)^2+3\left(n+1\right)+1-1}\ b_n$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(2n+5\right)}\ b_n$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{2n+1}{2n+5}\ b_n \ }$ 　　･･････セソタ
　　　これに
　　　　　　　　 $\rm c_n=\left(2n+1\right)b_n\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{c_n}{2n+1}$ 　　……④
　　　を代入すると、
　　　　　　　　 $\rm \frac{c_{n+1}}{2n+3}=\frac{2n+1}{2n+5}\cdot\frac{c_n}{2n+1}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \left(2n+5\right)c_{n+1}=\left(2n+3\right)c_n\ }$ 　　……チツ
　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm \underline{\ d_n=\left(2n+3\right)c_n\ }$ 　　……テ
　　　とおくと、チツの式はd_n+1＝d_nと表されるので、
　　　　　　　　 $\rm d_1=\left(2+3\right)c_1=5\cdot 3b_1=\underline{\ 6\ }$ 　　……ト

　　　これらより
　　　　　　 $\rm b_n=\frac{6}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\underline{\ \frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3}\ }$ 　　……ナニ
　　　が成り立つので、
　　　　　　　 $\rm S_n=\left(\frac{3}{3}-\frac{3}{5}\right)+\left(\frac{3}{5}-\frac{3}{7}\right)+\ldots +\left(\frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3}\right)$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{3}{3}-\frac{3}{2n+3}$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{2n}{2n+3}\ }$ 　　……ヌネノ

　　トからナニまで少し話が飛んでいますが、詳しく書くと以下の通り

　　　任意の自然数nに対して
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}d_1=6\ \ ,\ \ d_{n+1}=d_n}$
　　　　　　 $\rm {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ d_n=\left(2n+3\right)c_n=6}$ 　　←テの式
　　　　　　 $\rm {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ c_n=\frac{6}{2n+3}}$
　　　　　　 $\rm {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{6}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}}$ 　　←④より
　　　　　　 $\rm {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3}}$ 　　←部分分数に分解

　　

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2015/01/09(金) 23:57:00|

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2014センター試験　数学ⅡB４

第４問

　　　　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　題意よりK(0，0，2)、、L(1，0，0)なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm LK}=\underline{\ \left(-1\ ,\ 0\ ,\ 2\right)\ }$ 　　……ア～エ
　　　四角形KLMNは平行四辺形なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm LK}=\underline{\ \overrightarrow{\rm MN}\ }$ 　　……オ
　　　であり、指示通りM(3，3，s)、N(t，3，3)とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm MN}=\left(t-3\ ,\ 0\ ,\ 3-s\right)=\left(-1\ ,\ 0\ ,\ 2\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=1\ \ ,\ \ t=2\ }$ 　　……カキ
　　　よって、点NはFGを1：2の比に内分する。　　……ク

　　　これらより、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm LM}=\left(2\ ,\ 3\ ,\ 1\right)$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm LK}\cdot\overrightarrow{\rm LM}=-2+0+2=\underline{\ 0\ }$ 　　……ケ　
　　　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm LK}\right|=\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}~\underline{\ \sqrt5\ }$ 　　……コ
　　　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm LM}\right|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}~\underline{\ \sqrt{14}\ }$ 　　……サシ
　　　LK⊥LMとなるので、平行四辺形KLMNの面積をSとおくと、
　　　　　　　　 $\rm S=\sqrt5\times\sqrt{14}=\underline{\ \sqrt{70}\ }$ 　　……スセ

　(２)
　　　P(p，q，r)とおくと、OP⊥LK、OP⊥LMより
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm LK}=\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm LM}=\underline{\ 0\ }$ 　　……ソ
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ -p+2r=2p+3q+r=0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=2r\ \ ,\ \ q=-\frac{5}{3}r\ }$ 　　……タ～テ

　　　また、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm LP}=\left(p-1\ ,\ q\ ,\ r\right)$
　　　であり、OP⊥LPより
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm LP}=p\left(p-1\right)+q^2+r^2=0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 2r\left(2r-1\right)+\left(-\frac{5}{3}r\right)^2+r^2=0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ r=0\ ,\ \underline{\ \frac{9}{35}\ }$ 　　……トナニ

　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}=\left(\frac{18}{35}\ ,\ -\frac{15}{35}\ ,\ \frac{9}{35}\right)=\frac{3}{35}\left(6\ ,\ -5\ ,\ 3\right)$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm OP}\right|=\frac{3}{35}\sqrt{6^2+(-5)^2+3^2}=\underline{\ \frac{3}{35}\sqrt{70}\ }$ 　　……ヌ～ヒ
　　　四面体OLMNの体積をVとおくと、
　　　　　　　 $\rm V=\frac{S}{2}\cdot\left|\overrightarrow{\rm OP}\right|\cdot\frac{1}{3}$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{\sqrt{70}}{2}\cdot\frac{3}{35}\sqrt{70}\cdot\frac{1}{3}$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 1\ }$ 　　……フ

　　この年のベクトルは、計算が楽ですね！　　

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2015/01/10(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2014

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