第1問
数列{an}は a1=1、(an+1－an)2=an+1+an、an+1＞an
（n=1，2，3，…）を満たしている。
(1) a2を求めよ。
(2) bn=an+1－an （n=1，2，3，…） とするとき、数列{bn}は
公差が1の等差数列であることを示せ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(an+1－an)2=an+1+an ……(#)
(1)
(#)にn=1 を代入すると、
(a2－a1)2=a2+a1
⇔ a22－2a2+1=a2+1
⇔ a22－3a2=0
⇔ a2=0，3
題意より、a2＞a1=1なので、a2=3である。
(2)
bn=an+1－anと(#)より
bn2=an+1+an
であり、同様に
bn+12=an+2+an+1
も成り立つので、これら2式の差をとると、
bn+12－bn2=(an+2－an+1)+(an+1－an)
⇔ (bn+1+bn)(bn+1－bn)=bn+1+bn ．
ここで、an+1＞anより、bn＞0なので、
両辺をbn+1+bnで割ると、
bn+1－bn=1
これが任意のnに対して成り立つので、数列{bn}は、
公差1の等差数列である。
(3)
(2)と、b1=a2－a1=2より、{bn}の一般項は、
bn=2+(n－1)=n+1．
{bn}は数列{an}の階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( k+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{1}{2}\left(n-1 \right)n+\left(n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\end{align*}}$
これは、n=1のときも成り立つので、数列{an}の一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\ }\end{align*}}$
である。
誘導に乗って漸化式を解くだけです！
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- 2014/12/25(木) 23:57:00|
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第2問
正の実数xに対して、a≦x＜a+1を満たす整数aを[x]で表し、
f(x)=x－[x]
と定める。次の問いに答えよ。
必要ならば、1.584＜log23＜1.585 を用いてよい。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{7}{3}\right]\ \ ,\ \ \left[\log_2\left( \frac{3}{2}\right)^4 \right]\ \ ,\ \ \left[\log_2\frac{5}{4}\right]\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(\log_2\frac{5}{4}\right)\lt f\left( \frac{7}{3}\right)\lt f\left(\log_2\left( \frac{3}{2}\right)^4 \right)\end{align*}}$ を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
底が2（＞1）の対数では、0＜a＜bのとき、
log2a＜log2b
が成り立つ。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2<\frac{7}{3}<3\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{7}{3}\right]=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^2<\left( \frac{3}{2}\right)^4=\frac{81}{16}<2^3\ \ \Leftrightarrow\ \ 2<\log_2\left(\frac{3}{2}\right)^4<3\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\log_2\left(\frac{3}{2} \right)^4\right]=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^0<\frac{5}{4}<2^1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\log_2\frac{5}{4}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\log_2 \frac{5}{4}\right]=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{7}{3}\right)-f\left(\log_2\frac{5}{4}\right)=\left( \frac{7}{3}-2\right)-\left(\log_2\frac{5}{4}-0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(1-3\log_2\frac{5}{4} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\log_22-\log_2\frac{5^3}{4^3} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\log_2\frac{128}{125}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1}{3}\log_21=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\log_2\left(\frac{3}{2} \right)^4 \right)-f\left( \frac{7}{3}\right)=\left\{\log_2\left(\frac{3}{2} \right)^4-2\right\}-\left( \frac{7}{3}-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\log_2\frac{3}{2}-\frac{7}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(\log_23-1\right)-\frac{7}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\log_23-\frac{19}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >4\times 1.584-\frac{19}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6.336-6.3333\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >0\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\log_2\frac{5}{4}\right)\lt f\left( \frac{7}{3}\right)\lt f\left(\log_2\left( \frac{3}{2}\right)^4 \right)\end{align*}}$
ガウス記号に関する問題デス
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- 2014/12/26(金) 23:57:00|
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第4問
3次関数 f(x)=x3+3ax2+3bx+1はx=－1で極大値をとる。
(1) f(x)がx=pで極小値をとるとき、bとpをaで表せ。
(2) f(x)の極大値と極小値の差が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、aの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)=x3+3ax2+3bx+1
f’(x)=3x2+6ax+3b
(1)
f(x)は x=－1とx=pで極値をとるので、
f’(－1)=f’(p)=0．
すなわち、x=－1，pは2次方程式f’(x)=0の解なので、
解と係数の関係より、
－1+p=－2a かつ －p=b ……(ⅰ)
また、f(x)は、x3の係数が正の3次関数なので、
x=－1で極大、x=pで極小となるためには、
－1＜p ……(ⅱ)
であればよい。
(ⅰ)、(ⅱ)より
p=1－2a、 b=2a－1 （a＜1）
(2)
極大値と極小値の差は、
f(－1)－f(p)
=(－1－p3)+3a(1－p2)+3b(－1－p)
=－(1+p)(1－p+p2)+3a(1+p)(1－p)－3b(1+p)
=－(1+p){(1－p+p2)－3a(1－p)+3b}
=－2(1－a){2a+(1－2a)2－3a・2a+3(2a－1)}
=2(1－a)(2a2－4a+2)
=4(1－a)3
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left(1-a \right)^3=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(1)は、(ⅱ)が必要です。
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- 2014/12/28(日) 23:57:00|
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