第１問
次の小問の に適する数を解答欄に記せ
（分数は既約分数として表せ）。
(１) 赤球6個、白球3個の入った袋をよくかきまぜて、その中から
5個を取り出すとき、これらのうちに赤球が奇数個含まれている
確率は である。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}-\left(-1 \right)^n}{2^{3n+1}}=\end{align*}}$
(３) 関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$ に対し、
a＝ のとき、行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf f\ (a)&\sf f\ (a) \\ \sf -5 & \sf 8 \end{pmatrix}\end{align*}}$ は逆行列をもたない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
球の取り出し方の総数は、9C5＝126通り・
・赤球3個、白球2個の取り出し方は
6C3・3C2＝60通り
・赤球5個の取り出し方は
6C5＝6通り
よって、取り出した球に赤球が奇数含まれる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{60+6}{126}=\underline{\ \frac{11}{21}\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}-\left(-1 \right)^n}{2^{3n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{n}-\left(-1 \right)^n}{2\cdot 8^{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{9}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{24}\right)^{n}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left( -\frac{1}{8}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{9}{2}\cdot\frac{\frac{1}{24}}{1-\frac{1}{24}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{-\frac{1}{8}}{1-\left(- \frac{1}{8}\right)}\ \ \ \ \ \left( \because\ \left|\frac{1}{24}\right|<1\ ,\ \left|-\frac{1}{8}\right|<1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{52}{207}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1} \right)^3}\end{align*}}$
行列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf f\ (a)&\sf f\ (a) \\ \sf -5 & \sf 8 \end{pmatrix}\end{align*}}$ が逆行列をもたないとき、
デターミナントが0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 8f\ (a)+5f\ '(a)=\frac{8a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{5}{\left(\sqrt{a^2+1} \right)^3}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8a\left(a^2+1 \right)+5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8a^3+8a+5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2a+1 \right)\left(4a^2-2a+5 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1\pm\sqrt{19}\ i}{4}\end{align*}}$ ．
aは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=-\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
ここは確実に！
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第２問
自然数を要素とする集合Aに対して、Aに属する偶数をそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ で置きかえて得られる集合をA’とかく（Aが偶数を含まなけれ
ばA’＝Aとする）。例えば、A＝{3，4，6，7，8}のとき、
A’＝{3，2，3，7，4}＝{2，3，4，7}である。自然数を要素とす
る集合A、Bについて、次の問いに答えよ。
(１) (A∩B)’⊂A’∩B’を示せ。
(２) A＝{3，4，6，7，8}で、7∉Bかつ14∈Bであるとき、
(A∩B)’≠A’∩B’を示せ。
(３) Aが空集合でなく、しかも奇数を一つも含まないとき、
A’≠Aであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n∈(A∩B)’である自然数nについて
・2n∈A∩Bのとき
2n∈Aより n∈A’
2n∈Bより n∈B’
なので、n∈A’∩B’である。
・2n∉A∩Bのとき
nは奇数であり、
n∈Aより n∈A’
n∈Bより n∈B’
なので、n∈A’∩B’である。
以上より、(A∩B)’⊂A’∩B’が成り立つ。
(２)
7∉Bより 7∉A∩B
14∉Aより 14∉A∩B
なので、7∉(A∩B)’
一方、
14∈Bより 7∈B’
7∈Aより 7∈A’
なので、7∈A’∩B’
以上より、(A∩B)’≠A’∩B’である。
(３)
題意より、Aの要素はすべて偶数であり、
そのうちで最小のものを2nとおくと、n∈A’である。
一方、2nがAの最小の要素であることから
n∉Aなので、A’≠Aである。
この手の証明は、高校生は苦手でしょうね・・・
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第３問
(１) 複素数zの共役複素数を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}\end{align*}}$ の定義に従って、次のことを証明せよ：
任意の複素数z0、z1に対し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0+z_1}=\overline{z_0}+\overline{z_1}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0z_1}=\overline{z_0}\ \overline{z_1}\end{align*}}$
(２) 記号△は二種類の演算＋(加法)、×(乗法)のいずれかを表すと
して、次のことを数学的帰納法によって証明せよ：
(n＋1)個の複素数z0、z1、z2、・・・、znに対し、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_n}=\overline{z_0}\triangle \overline{z_1}\triangle \overline{z_2}\triangle \ldots\triangle\overline{z_n}\end{align*}}$
(３) (n＋1)個の実数a0，a1、a2、・・・、anにおいて、a0≠0である
とき、n次方程式a0xn＋a1xn－1＋・・・＋an-1x＋an＝0の
複素数解zに対し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}\end{align*}}$ も同じ方程式の解であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x0、x1、y0、y1を実数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_0=x_0+y_0i\ \ ,\ \ z_1=x_1+y_1i\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0+z_1}=\overline{\left(x_0+y_0i \right)+\left(x_1+y_1i \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\overline{\left(x_0+x_1 \right)+\left(y_0+y_1 \right)i}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(x_0+x_1 \right)-\left(y_0+y_1 \right)i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(x_0+x_1 \right)-\left(y_0+y_1 \right)i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(x_0-y_0i \right)+\left(x_1-y_1 i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\overline{z_0}+\overline{z_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0z_1}=\overline{\left(x_0+y_0i \right)\left(x_1+y_1i \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\overline{\left(x_0x_1-y_0y_1 \right)+\left(x_0y_1+x_1y_0 \right)i}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(x_0x_1-y_0y_1 \right)-\left(x_0y_1+x_1y_0 \right)i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =x_0x_1-\left(x_0y_1+x_1y_0 \right)i+y_0y_1i^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(x_0-y_0i \right)\left(x_1-y_1i \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\overline{z_0}+\overline{z_1}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)
(ⅰ)n＝1のとき
(１)より自明
(ⅱ)n＝kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k}=\overline{z_0}\triangle \overline{z_1}\triangle \overline{z_2}\triangle \ldots\triangle\overline{z_k}\end{align*}}$
が成り立つと仮定する。
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{\left(z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k\right)+z_{k+1}}=\overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k}+\overline{z_{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\overline{z_0}\triangle\overline{z_1}\triangle\overline{z_2}\triangle \ldots \overline{\triangle z_k}+\overline{z_{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{\left(z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k\right)z_{k+1}}=\overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k}\ \overline{z_{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\overline{z_0}\triangle\overline{z_1}\triangle\overline{z_2}\triangle \ldots \overline{\triangle z_k}\right) \overline{z_{k+1}}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_k\triangle z_{k+1}}=\overline{z_0}\triangle\overline{z_1}\triangle\overline{z_2}\triangle \ldots \overline{\triangle z_k}\triangle \overline{z_{k+1}}\end{align*}}$
より、n＝k＋1のときも成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_n}=\overline{z_0}\triangle \overline{z_1}\triangle \overline{z_2}\triangle \ldots\triangle\overline{z_n}\end{align*}}$
が成り立つ。
(３)
複素数zは方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots a_{n-1}x+a_n=0\end{align*}}$ ……(#)
の解なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots a_{n-1}z+a_n=0\end{align*}}$
となり、両辺の共役複素数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots a_{n-1}z+a_n}=\overline{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a_0}\ \overline{z}^n+\overline{a_1}\ \overline{z}^{n-1}+\ldots \overline{a_{n-1}}\ \overline{z}+\overline{a_n}=\overline{0}\end{align*}}$ ←(２)より
ここで、ak（k＝0，1，・・・，n）は実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{a_k}=a_k\end{align*}}$．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_0\overline{z}^n+a_1\overline{z}^{n-1}+\ldots a_{n-1}\overline{z}+a_n=0\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}\end{align*}}$ も方程式(#)の解である。
これは書きやすいと思います。
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第４問
aおよびbを正の実数とし、$\small\sf{0\lt |\theta-\alpha|\lt\pi}$ を満たす実数
$\small\sf{\theta,\ \alpha}$ について、座標平面上に二点$\small\sf{A(a\cos\theta,b\sin\theta)}$ 、
$\small\sf{\sf P(a\cos\alpha,b\sin\alpha)}$ をとる。原点O(0，0)に対し、次の問い
に答えよ。
(１) 点Pと直線OAの距離を求めよ。
(２) $\small\sf{\alpha}$ が与えられているとして、△OAPの面積が最大になる
ような$\small\sf{\theta}$ を求めよ。
(３) $\small\sf{\theta}$ を(２)の条件を満たすように定めるとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
の内積$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の（$\small\sf{\alpha}$ を変化させたときの）最大値を求めよ。
（$\small\sf{\alpha}$ の値は不要）。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線OAの式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b\sin\alpha-a\cos\alpha=0\end{align*}}$
なので、点Pからこの直線までの距離をdとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{\left|ab\sin\alpha\cos\theta-ab\cos\alpha\sin\theta \right|}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{ab\left|\sin\alpha\cos\theta-\cos\alpha\sin\theta \right|}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}}\ \ \ \ \left(\because\ a,b>0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{ab\left|\sin\left(\alpha-\theta \right)\right|}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}}\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{ab\sin\left|\theta-\alpha\right|}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}}}\end{align*}}$ ←0＜|θ－α|＜πより
(２)
△OAPの面積をSとすると、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}\cdot\frac{ab\sin\left|\theta-\alpha\right|}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}ab\sin\left|\theta-\alpha\right|\end{align*}}$
となり、これが最大になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left|\theta-\alpha\right|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\theta-\alpha\right|=\frac{\pi}{2}\ \ \ \left(\because\ 0 \left| \theta-\alpha\right|<\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=\alpha\pm\frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
以下、すべて複号同順
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=a^2\cos\alpha\cos\theta+b^2\sin\alpha\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a^2\cos\alpha\cos\left(\alpha\pm\frac{\pi}{2}\right)+b^2\sin\alpha\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\mp a^2\cos\alpha\sin\alpha\pm b^2\sin\alpha\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\mp \left(a^2-b^2\right)\sin\alpha\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\mp \frac{1}{2}\left(a^2-b^2\right)\sin 2\alpha\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{-1\leqq\sin2\alpha\leqq 1}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{1}{2}\left|a^2-b^2 \right|\ }\end{align*}}$
である。
上から順に解いていくだけです！
この年の問題は難問が無いので、高得点勝負でしょうね。
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第５問
xy平面において、曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=x\log\frac{x+1}{x^2+1}\end{align*}}$
とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた曲線をC：y＝f(x)とする。
定義域は、対数の真数条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x+1}{x^2+1}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\lt x\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x\log\frac{x+1}{x^2+1}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ or\ \ \frac{x+1}{x^2+1}=1\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x+1}{x^2+1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ 1\end{align*}}$
なので、Cとx軸との交点は、(0，0)と(1，0)である。
・－1＜x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\lt 0\ ,\ \log\frac{x+1}{x^2+1}\lt 0\end{align*}}$ なので、f(x)＞0
・0＜x＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\gt 0\ ,\ \log\frac{x+1}{x^2+1}gt 0\end{align*}}$ なので、f(x)＞0
・1＜xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\gt 0\ ,\ \log\frac{x+1}{x^2+1}\lt 0\end{align*}}$ なので、f(x)＜0
これらよりCとx軸との位置関係は、
右図のようになる。
よって、Cとx軸で囲まれた図形の面積を
Sとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1x\log\frac{x+1}{x^2+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1x\log\left(x+1 \right)dx-\int_0^1x\log\left(x^2+1 \right)dx\end{align*}}$
である。
t＝x＋1と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1x\log\left(x+1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_1^2\left(t-1 \right)\log t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_1^2t\log t\ dt-\int_1^2\log t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{1}{2}t^2\log t \right]_1^2-\int_1^2\frac{1}{2}t\ dt-\bigg[t\log t-t\bigg]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\log 2-\left[\frac{1}{4}t^2\right]_1^2-\left(2\log 2-2 \right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\end{align*}}$
s＝x\ltsup>2\lt/sup>＋1と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1x\log\left(x^2+1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_1^2x\log s\cdot\frac{ds}{2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\int_1^2\log s\ ds\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg[s\log s-s\bigg]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\log 2-\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{4}-\left(\log 2-\frac{1}{2} \right)=\underline{\ \frac{3}{4}-\log 2\ }\end{align*}}$
導関数がキレイな式になりません。
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