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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004奈良県立医科大 数学1



第1問

  次の小問の    に適する数を解答欄に記せ
  (分数は既約分数として表せ)。

 (1) 赤球6個、白球3個の入った袋をよくかきまぜて、その中から
    5個を取り出すとき、これらのうちに赤球が奇数個含まれている
    確率は    である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}-\left(-1 \right)^n}{2^{3n+1}}=\end{align*}}$    

 (3) 関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$ に対し、
    a=    のとき、行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf f\ (a)&\sf f\ (a) \\ \sf -5 & \sf 8 \end{pmatrix}\end{align*}}$ は逆行列をもたない。



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2004奈良県立医科大 数学2



第2問

  自然数を要素とする集合Aに対して、Aに属する偶数をそれぞれ
  $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ で置きかえて得られる集合をA’とかく(Aが偶数を含まなけれ
  ばA’=Aとする)。例えば、A={3,4,6,7,8}のとき、
  A’={3,2,3,7,4}={2,3,4,7}である。自然数を要素とす
  る集合A、Bについて、次の問いに答えよ。

 (1) (A∩B)’⊂A’∩B’を示せ。

 (2) A={3,4,6,7,8}で、7∉Bかつ14∈Bであるとき、
    (A∩B)’≠A’∩B’を示せ。

 (3) Aが空集合でなく、しかも奇数を一つも含まないとき、
    A’≠Aであることを示せ。



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2004奈良県立医科大 数学3



第3問

 (1) 複素数zの共役複素数を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}\end{align*}}$ の定義に従って、次のことを証明せよ:
    任意の複素数z0、z1に対し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0+z_1}=\overline{z_0}+\overline{z_1}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0z_1}=\overline{z_0}\ \overline{z_1}\end{align*}}$

 (2) 記号△は二種類の演算+(加法)、×(乗法)のいずれかを表すと
    して、次のことを数学的帰納法によって証明せよ:
   (n+1)個の複素数z0、z1、z2、・・・、znに対し、
     $\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_0\triangle z_1\triangle z_2\triangle \ldots \triangle z_n}=\overline{z_0}\triangle \overline{z_1}\triangle \overline{z_2}\triangle \ldots\triangle\overline{z_n}\end{align*}}$

 (3) (n+1)個の実数a0,a1、a2、・・・、anにおいて、a0≠0である
    とき、n次方程式a0xn+a1xn-1+・・・+an-1x+an=0の
    複素数解zに対し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}\end{align*}}$ も同じ方程式の解であることを示せ。



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2004奈良県立医科大 数学4



第4問

  aおよびbを正の実数とし、$\small\sf{0\lt |\theta-\alpha|\lt\pi}$ を満たす実数
  $\small\sf{\theta,\ \alpha}$ について、座標平面上に二点$\small\sf{A(a\cos\theta,b\sin\theta)}$ 、
  $\small\sf{\sf P(a\cos\alpha,b\sin\alpha)}$ をとる。原点O(0,0)に対し、次の問い
  に答えよ。

 (1) 点Pと直線OAの距離を求めよ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ が与えられているとして、△OAPの面積が最大になる
    ような$\small\sf{\theta}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ を(2)の条件を満たすように定めるとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
    の内積$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の($\small\sf{\alpha}$ を変化させたときの)最大値を求めよ。
    ($\small\sf{\alpha}$ の値は不要)。


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2004奈良県立医科大 数学5



第5問

  xy平面において、曲線
        $\small\sf{\begin{align*}\sf y=x\log\frac{x+1}{x^2+1}\end{align*}}$
  とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。



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